必修二課后作業(yè)第一章立體幾何初步

1學(xué)習(xí)空間幾何體要“三會(huì)”一、會(huì)辨別例1下列說(shuō)法：①一個(gè)幾何體有五個(gè)面，則該幾何體可能是球、棱錐、棱臺(tái)、棱柱；②若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺(tái)；③直角三角形繞其任意一條邊旋轉(zhuǎn)一周都可以圍成圓錐．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．分析可根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體和球體的概念進(jìn)行判斷．解析一個(gè)幾何體有五個(gè)面，可能是四棱錐、三棱臺(tái)，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①錯(cuò)；由于棱臺(tái)的側(cè)棱是原棱錐側(cè)棱的一部分，所以棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，而②中的幾何體其側(cè)棱延長(zhǎng)線并不一定會(huì)交于一點(diǎn)，所以②錯(cuò)；③中如繞直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成圓錐，但繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，所以③錯(cuò)．故填0.答案0評(píng)注要準(zhǔn)確辨別各種幾何體，可從軸、側(cè)面、底面、母線、平行于底面的截面等方面入手，當(dāng)然掌握定義是大前提．二、會(huì)折展例2紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“Δ”的面的方位是________．分析將平面展開(kāi)圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可．解析將平面展開(kāi)圖折疊成正方體，如圖所示，標(biāo)“Δ”的面的方位應(yīng)為北．故填北．答案北評(píng)注將空間幾何體展開(kāi)成平面圖形，或?qū)⒄归_(kāi)圖折疊成空間幾何體，在后面的計(jì)算或證明中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮空間想象能力或親自動(dòng)手制作模型進(jìn)行實(shí)踐．三、會(huì)割補(bǔ)例3如圖所示是一個(gè)三棱臺(tái)ABC－A1B1C1.試用一個(gè)平面把這個(gè)三棱臺(tái)分成一個(gè)三棱柱和一個(gè)多面體，并用字母表示．分析三棱柱要求兩個(gè)底面為平行且全等的三角形，其余三個(gè)面為四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行．解作A1D∥BB1，C1E∥BB1，連結(jié)DE，則三棱柱為A1B1C1－DBE，多面體為ADECC1A1(如圖所示)．評(píng)注正確理解各類(lèi)幾何體的概念是將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)的前提在后面的空間幾何體的體積或面積計(jì)算中經(jīng)常要通過(guò)線、面將不規(guī)則的幾何體通過(guò)割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，從而可以利用公式求解．2空間幾何體中常見(jiàn)錯(cuò)例剖析在空間幾何體的解題中，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文將結(jié)合幾道具體的錯(cuò)例來(lái)談?wù)勅绾畏乐钩霈F(xiàn)類(lèi)似的錯(cuò)誤．一、空間幾何體概念不清例1下列結(jié)論中正確的是________．(填序號(hào))①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；②以三角形的一條邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐；③若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐；④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線．錯(cuò)解①②③④剖析①錯(cuò)誤，如兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起形成的幾何體的各個(gè)面都是三角形，但它不是棱錐．②錯(cuò)誤，如以一個(gè)直角三角形ABC的斜邊AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，其形成的曲面所圍成的幾何體是同底的兩個(gè)圓錐，但此幾何體不是圓錐．③錯(cuò)誤，若六棱錐的底面各邊長(zhǎng)相等，則其底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，且側(cè)棱長(zhǎng)相等，則棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必然大于底面邊長(zhǎng)．④顯然正確．正解④二、斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則錯(cuò)誤例2如圖所示的等腰直角三角形表示一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平面圖形的面積是________．錯(cuò)解2剖析與y軸平行的那條邊和在x軸上的邊垂直，且長(zhǎng)度應(yīng)是原長(zhǎng)的2倍，所以其面積應(yīng)為S＝eq\f(1,2)×|－2|×(2×eq\f(|－2|,\r(2)))＝2eq\r(2).正解2eq\r(2)三、空間想象能力不足致錯(cuò)例3用一個(gè)平面去截正方體，所得的截面不可能是_______________________．(填序號(hào))①正六邊形；②菱形；③直角三角形；④等腰梯形；⑤鈍角三角形．錯(cuò)解②剖析空間想象能力和作圖能力不強(qiáng)，沒(méi)有動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做截面問(wèn)題僅憑直覺(jué)．①④顯然可以得到．而截面可能是正方形，正方形是菱形，所以②也可得到．③⑤均為三角形，這時(shí)截面必與從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱相交，構(gòu)造一個(gè)“角”，如圖，截面三角形PQR必為銳角三角形．任選一個(gè)∠PQR為例，PQ2＋QR2－PR2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)－(a2＋c2)>0，所以∠PQR為銳角．同理，∠QPR，∠PRQ也為銳角．所以，本題答案為③⑤.正解③⑤3“三共”問(wèn)題的證法精析一、證明點(diǎn)共線例1如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，A1C與截面DBC1交于點(diǎn)O，AC與BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、M三點(diǎn)共線．證明因?yàn)镃1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)．又因?yàn)镸∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因?yàn)镸∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)，所以C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線．因?yàn)镺為平面A1ACC1與平面DBC1的交點(diǎn)，所以O(shè)∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，所以O(shè)∈C1M，即C1、M、O三點(diǎn)共線．評(píng)注證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)平面的交線上．二、證明線共點(diǎn)例2如圖，△ABC與△A1B1C1三條邊對(duì)應(yīng)平行，且兩個(gè)三角形不全等，求證：三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)．分析要證三線共點(diǎn)，可證其中兩條直線有交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在第三條直線上．證明由A1B1∥AB知，A1B1與AB可確定平面α.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分別確定平面β和γ.又△ABC與△A1B1C1不全等，則A1B1≠AB.若AA1，BB1的交點(diǎn)為P，則P∈AA1，且P∈BB1.又β∩γ＝CC1，BB1?β，則P∈β；AA1?γ，則P∈γ.所以點(diǎn)P在β∩γ的交線上，即P∈CC1，這樣點(diǎn)P在AA1，BB1，CC1上，即三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)．評(píng)注解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)也在其直線上．三、證明線共面例3求證：兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線共面．分析四條直線不共點(diǎn)，但有可能三線共點(diǎn)，或沒(méi)有三線共點(diǎn)，所以應(yīng)分兩種情況加以證明．證明分兩種情況證明：①有三條直線過(guò)同一點(diǎn)，如圖，因?yàn)锳?l4，所以過(guò)A，l4可確定平面α.因?yàn)锽，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.所以AB?α，AC?α，AD?α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面．②任意三條直線都不過(guò)同一點(diǎn)，如圖．因?yàn)閘1∩l2＝A，所以過(guò)l1，l2可以確定平面α.又因?yàn)镈，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α.由E∈α，B∈α，可得BE?α，即l3?α.同理可證l4?α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面．評(píng)注證明線共面問(wèn)題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個(gè)平面，再證明第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)；二是由其中兩條直線確定一個(gè)平面α，另兩條直線確定一個(gè)平面β，再證α，β重合，從而三線共面．4巧用輔助線(面)證明平行關(guān)系在證明線與線、線與面、面與面的平行關(guān)系時(shí)，從“看到結(jié)論想判定定理，看到條件想性質(zhì)定理”來(lái)分析題意和尋求證明思路，往往要根據(jù)定理的條件，通過(guò)構(gòu)造輔助線或輔助面來(lái)解決問(wèn)題．一、作輔助線來(lái)解題例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BB1D1D.證明如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連結(jié)OF，OB.因?yàn)镺F綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，所以O(shè)F綊BE，即四邊形OFEB為平行四邊形，所以EF∥BO.又EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.評(píng)注將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題的重要策略，關(guān)鍵是選擇或添加適當(dāng)?shù)闹本€．而本題通過(guò)巧作平行線，利用“有困難，找中點(diǎn)”來(lái)證明線面平行是最有效的方法之一．二、作輔助面來(lái)解題例2如圖，已知直線a∥平面α，直線a∥平面β，α∩β＝b，求證：a∥b.分析要證明線線平行，我們可以通過(guò)線面平行，或者面面平行來(lái)解決．條件里沒(méi)有提到面面平行，所以，我們利用線面平行來(lái)突破．證明過(guò)a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因?yàn)棣谩搔粒絚，直線a∥平面α，a?γ，所以a∥c.同理可證a∥d.所以c∥d.由d?β，c?β，得c∥β.因?yàn)閏?α，α∩β＝b，所以c∥b.又a∥c，所以a∥b.評(píng)注本題要使用線面平行的性質(zhì)定理，需要找出或作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的平面，以便使用性質(zhì)定理，因此常作輔助面．5轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運(yùn)用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．一、證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直．例1如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為點(diǎn)N.求證：AN⊥平面PBM.證明因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM.因?yàn)镸是圓周上一點(diǎn)，所以BM⊥AM.又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM，所以BM⊥AN.又因?yàn)锳N⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.評(píng)注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學(xué)的圓的特征，在求解時(shí)要注意線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．二、證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過(guò)求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時(shí)應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直．例2如圖，△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA.證明(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，易知DF∥BC.因?yàn)镋C⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，所以DE＝DA.(2)如圖，取CA的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又EC∥BD，且BD＝eq\f(1,2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD，所以四邊形BDMN是平行四邊形，所以點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)．因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，所以BN⊥平面ECA.因?yàn)锽N?平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.評(píng)注在證明面面垂直時(shí)通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問(wèn)題．三、證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直．例3如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分別為A，B，求證：CD⊥AB.證明因?yàn)镋A⊥α，CD?α，所以CD⊥EA.又因?yàn)镋B⊥β，CD?β，所以EB⊥CD.又因?yàn)镋A∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因?yàn)锳B?平面ABE，所以CD⊥AB.評(píng)注在證明空間中的垂直關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程之中．其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線垂直eq\o(????,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))線面垂直eq\o(????,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))面面垂直．6幾何法求空間角空間角的計(jì)算是對(duì)空間線與線、線與面、面與面位置關(guān)系的一種定量研究和精確的刻畫(huà)．利用幾何法求解空間角的過(guò)程可以將邏輯推理與運(yùn)算融為一體，能達(dá)到綜合考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力的目的．下面就舉例說(shuō)明利用幾何法求空間角的策略．一、求異面直線所成的角求異面直線所成的角主要是根據(jù)定義利用平移法作出所成角，平移的主要途徑有：(1)利用三角形和梯形的中位線；(2)利用平行線分線段成比例的性質(zhì)；(3)利用平行四邊形(矩形、正方形)的性質(zhì)；(4)利用線面平行和面面平行的性質(zhì)等．例1已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱都垂直于底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角為_(kāi)_______．分析考慮直線AC1在平面AA1C1C上平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C1移至A1時(shí)，點(diǎn)A自然移至CA的延長(zhǎng)線上，因此只需取AD＝AC即可順利求解．解析如圖，延長(zhǎng)CA到D，使得AD＝AC，連結(jié)A1D.由AC∥A1C1且AC＝A1C1，得AD∥A1C1且AD＝A1C1，所以四邊形ADA1C1為平行四邊形．所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，則A1D＝A1B＝BD＝eq\r(2)，即△A1DB為等邊三角形．所以∠DA1B＝60°.答案60°二、求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角關(guān)鍵是根據(jù)定義作出斜線在平面上的射影，強(qiáng)調(diào)“射影”，而射影又主要是通過(guò)作出斜線上一點(diǎn)在平面上的射影來(lái)實(shí)現(xiàn)．例2如圖，三棱錐A－BCD的棱長(zhǎng)都相等，Q是AD的中點(diǎn)，求CQ與平面BCD所成角的正弦值．分析為找出CQ與平面BCD所成的角，由線面所成角的定義，只需要找出CQ在平面BCD內(nèi)的射影．解過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面BCD，交平面BCD于點(diǎn)O，連結(jié)OD，OB，OC，則可以證明O是△BCD的中心．作QP⊥OD，則QP∥AO.所以QP⊥平面BCD.連結(jié)CP，則CP是CQ在平面BCD內(nèi)的射影，從而∠QCP就是CQ與平面BCD所成的角．設(shè)三棱錐的棱長(zhǎng)為a，則在等邊△ACD中，Q是AD的中點(diǎn)，所以CQ＝eq\f(\r(3),2)a.因?yàn)镼P∥AO，Q是AD的中點(diǎn)，所以QP＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)eq\r(a2－\f(\r(3),3)a2)＝eq\f(\r(6),6)a.所以sin∠QCP＝eq\f(QP,CQ)＝eq\f(\r(2),3).故CQ與平面BCD所成角的正弦值為eq\f(\r(2),3).三、求二面角求二面角是通過(guò)求其平面角的大小實(shí)現(xiàn)的，而平面角的作法中必須強(qiáng)調(diào)“垂直”，其常見(jiàn)途徑：(1)利用共底的兩個(gè)等腰三角形；(2)利用共公共邊的兩個(gè)全等三角形；(3)利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)；(4)對(duì)于“無(wú)棱”二面角一般需先確定棱，然后再利用上述方法作出平面角．例3在三棱錐S－ABC中，已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq\f(1,2)a，求二面角A－BC－S的大小．解如圖所示，因?yàn)锳B＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，所以SB＝SC.取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，則由等腰三角形的性質(zhì)，可得SD⊥BC，AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定義可知，∠ADS為二面角A－BC－S的平面角．因?yàn)锳S＝eq\f(1,2)a，AD＝eq\f(\r(3),2)BC＝eq\f(\r(3),2)a，所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(3),3).所以∠ADS＝30°，即所求二面角A－BC－S的大小為30°.評(píng)注在應(yīng)用二面角的定義時(shí)，常常要先在二面角的棱上取一個(gè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)(常取中點(diǎn))，然后再過(guò)這一點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線，找出二面角的平面角，然后通過(guò)解三角形求得二面角的大小.7空間幾何體體積的求法精析空間幾何體的體積公式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在具體求解過(guò)程中，僅僅記住公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要把握?qǐng)D形的內(nèi)在因素，掌握一些常見(jiàn)的求解策略，靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解．一、直接用公式求解根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體、球體的體積公式，明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個(gè)求出，再代入公式進(jìn)行求解．例1已知圓錐的表面積為15πcm2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為60°，求該圓錐的體積．分析根據(jù)錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh知，應(yīng)分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計(jì)算．解設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝15π，,2πr＝\f(60×2πl(wèi),360)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\r(\f(15,7))，,l＝6r.))所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6r2－r2)＝eq\r(35r2)＝eq\r(35)r＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3).所以V＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π(cm3)．故該圓錐的體積為eq\f(25\r(3),7)πcm3.評(píng)注直接利用幾何體的體積公式求體積時(shí)，需牢固掌握公式，明確各幾何量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．二、分割補(bǔ)形求解當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜