2.2 基本不等式（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

2.2基本不等式（精練）1直接型1．（2022·江西）當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．）可得當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：D2．（2022·廣東茂名·高一期末）若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D3．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，故選：C.4．（2022·浙江杭州·高一期末）若為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：D5．（2022·廣東深圳·高一期末）已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即的最大值為0.故選：C6．（2022·北京通州·高一期末）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為【答案】A【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.7．（2022·北京東城·高一期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.故選：C.8．（2022·北京豐臺(tái)·高一期末）已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閍>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：D9．（2022·上海浦東新·高一期末）任意，下列式子中最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.當(dāng)時(shí)，，排除；B.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合；C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，排除；D.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故等號(hào)不能成立，則，排除.故選：B.2常數(shù)代換型1．（2022·四川?。┮阎?，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4.故選：D.2．（2022·河南信陽(yáng)·高一期末）設(shè)，且，則的最小值是（

）A． B．8 C． D．16【答案】B【解析】由題意，故則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B3．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立．所以的最小值為25，故選：B4．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試）已知a，b＞0，且a＋2b＝1，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號(hào)成立,故選：C.5．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A.6．（2022·甘肅·永昌縣）（多選）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對(duì)于，下列說(shuō)法準(zhǔn)確的是（

）A．取得最小值時(shí)a＝ B．最小值是5C．取得最小值時(shí)b＝ D．最小值是【答案】AD【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.7．（2022·江蘇淮安·高一期末）已知實(shí)數(shù)x，y>0，且，則的最小值是________．【答案】【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值是，故答案為：8．（2022·江西南昌·高一期末）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.3配湊型1．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以.當(dāng)且僅當(dāng)“”即時(shí)取“=”.故選：B.2．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第五中學(xué)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即y的最大值是.故選：D.3．（2022·浙江省樂(lè)清中學(xué)）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是2，故選：C4．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，則的最大值為_(kāi)________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故答案為：.5．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為_(kāi)__

.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，令，因?yàn)樵谏线f增，所以，故答案為：16．（2022·重慶·高一期末）已知，且，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故答案為：4消元型1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2.故選：D2．（2021·江蘇·常州市北郊高級(jí)中學(xué)）已知，且，則最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時(shí)，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．3．（2022·浙江）已知，若，則的最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】由條件可知，則，，，，設(shè)，，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故答案為：4（2021·浙江高三期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.5（2022云南）．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值為故答案為：6．（2021·全國(guó)高三）已知，，且，則的最小值為【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.7（2022年福建）.若正數(shù)滿足，則的最小值是?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立5求參數(shù)1．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期中）已知，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2022·河南）若對(duì)任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，的最大值為，所以，解得的取值范圍為．故選：B3．（2022·河南·虞城縣高級(jí)中學(xué)高一期末）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.所以，即實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴的最大值為．故答案為：5．（2022·江蘇·高一）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】或【解析】不等式有解，，，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”，，故，即，解得或，故答案為：或．6．（2021·河南·高一階段練習(xí)）已知x、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)閤、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，由可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：7．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案為：8．（2022·全國(guó)·高一）已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.【答案】36【解析】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時(shí)取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：6綜合運(yùn)用1．（2022·陜西安康·高一期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，因?yàn)椤郈錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，D正確；故選：D2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)A，可取負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確；故選：D3（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【解析】由得：，因?yàn)?，所以，所以，由基本不等式可得：?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得：或，因?yàn)椋陨崛?，故的最大值?，A錯(cuò)誤；由得：，因?yàn)?，所以，所以，由基本不等式可得：，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得：或，因?yàn)?，所以舍去，故的最小值?，B正確；由變形為，則，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，令，則由，解得：或（舍去）所以的最小值為，C正確；由可得：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，故最小值為16.故選：BCD，4．（2022·遼寧朝陽(yáng)·高一開(kāi)學(xué)考試）（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)?滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正確；對(duì)于C中，由基本不等式可得，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由正實(shí)數(shù)滿足，則，可得，故，所以D正確.故選：ABD.5．（2022·貴州·赫章縣教育研究室高一期末）（多選）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】AD【解析】選項(xiàng)A：由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），得，故有最大值.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則，則有最大值.判斷正確；選項(xiàng)C：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故有最小值4，判斷正確；選項(xiàng)D：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以有最小值.判斷錯(cuò)誤.故選：AD.6．（2022·福建龍巖·高一期末）（多選）設(shè)，且，則下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且，則，由，則，即，解得，故A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，且，則，即，由選項(xiàng)B可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：AC．7．（2022·貴州六盤(pán)水·高一期中）（多選）若x，．且，則（

）