初中難度幾何100題

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初中難度幾何100題

第一題:

已知：AABC外接于。。，ABAC=60°,AE±BC,CFLAB,AE.CF相交

于點”，點。為弧BC的中點，連接AD?

求證：為等腰三角形

D

第二題:

如圖，尸為正方形ABC。邊C。上一點，連接AC、AF,延長轉(zhuǎn)交AC的平行線OE于

點E,連接CE,且AC=AE。

求證：CE=CF

第三題:

已知：MBC中，AB=AC,ABAC=20°,ZBDC=30°o

求證：AD=BC

D

BC

第四題:

已知：AABC中，。為AC邊的中點，NA=3NC,NADB=45°。

求證：ABIBC

第五題:

如圖，四邊形ABCZ）的兩條對角線AC、BD交于點E,ZBAC=50°,ZABD二

NCBD=20。,^CAD=30°,NADB=40。。求NACO。

A

2KD

C

第六題:

已知，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC.求證：AB1+BC2=BCr

第七題:

如圖，PC切00于c,AC為圓的直徑，PEF為€)0的割線，AE、AF與直線尸。相

交于B、D。

求證：四邊形ABC。為平行四邊形

BD

P

E

C

第八題:

已知：在AABC中，AB^AC,NA=80。，ZOBC=10°,NOC4=20°。

求證：AB=OB

A

第九題:

已知：正方形ABC。中，NQ4Z)=NOD4=15。，求證：AOBC為正三角形。

AD

BC

第十題:

已知：正方形ABC。中，E、尸為A。、0c的中點，連接BE、AF,相交于點P,連

接PC。

求證：PC=BC

第十一題:

如圖，AACB與AADE都是等腰直角三角形，ZADE=ZACB=90°,ZCDF=45°,DF

交BE于F,求證：ZCFD=90°

A

CB

第十二題:

已知：AABC中，NCBA=2NCAB,NCB4的角平分線8。與NC鉆的角平分線AO相

交于點。，且8C=A0。

求證：ZACB=60°

第十三題:

已知：在AABC中，AC^BC,ZC=100°,AO平分NC43。

求證：AD+CD=AB

第十四題:

已知：中，AB=BC,。是AC的中點，過。作DE_L3C于E,連接AE,取短E

中點F,連接8F。

求證：AELBF

第十五題:

已知：AABC中，NA=24。，NC=30°,。為AC上一點，AB=CD,連接

求證：AB?BC=BD?AC

B

第十六題:

已知：ABC。與A4GA均為正方形，&、與、。2、。2分別為44,、84、CCrDDi

的中點。

求證：A2B2c聲］為正方形

4

G

從2

AD

B2

C2

BC

第十七題:

如圖，在AABC三邊上，向外做三角形A8R、BCP、CAQ,使NCBP=NC4Q=45°,

NBCP=ZACQ=3b,NABR=NBA/i=15。。

求證：RQ與RP垂直且相等。

第十八題:

如圖，已知AD是。。的直徑，。是8C中點，A3、AC交。。于點E、F,EM、FM

是。。的切線，EM、KW相交于點M,連接DM。

求證：DMLBC

M

第十九題:

如圖，三角形ABC內(nèi)接于。。，兩條高AD、BE交于點、H,連接A°、OH。若A”=2,

80=3,CD=1,求三角形A0H面積。

第二十題:

如圖，ADAC=2x,ZACB=4x,NABC=3x,AD=BC,求NBA/）。

A

第二十一題:

已知：在中，乙4BC=90°,。為AC上一點，E是8。的中點，Nl=N2。

求證：ZADB=2ZABD

第二十二題:

已知正方形ABC。，P是C。上的一點，以AB為直徑的圓。。交PA、PB于E、F,

射線OE、CF交于點M。

求證：點M在。。上。

第二十三題:

已知，點。是A4BC內(nèi)一定點，且有ND4C=ZDCB=ZDB4=30。。

求證：AABC是正三角形。

A

D

BC

第二十四題：

如圖，過正方形的頂點A的直線交BCCD于M、N,DM與BN交于點L,BP工BN,

交DM于點P。

求證：(1)CL工MN；(2)AMON=NBPM

Af

/

第二十五題:

已知：在正方形ABC。中，￡是C。上一點，AE交BD于點、G,交BC的延長線于點尸，

連接0F，交CD于點H,連接GH。

求證：（1）當且僅當E為CO中點時，OG+GH=AO；

（2）S&HCF="一；H

第二十六題：

已知：ABC。與AEFG均為正方形，連接CF,取CF的中點M,連接￡>“、ME?

求證：\MDE為等腰直角三角形

DE

第二十七題:

四邊形ABC。中，對角線AC、3。交于點0,且AB=AD,A。=0C。請你猜想

48+6。與8。+。。產(chǎn)數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

A

C

第二十八題:

已知1：四邊形ABDC中，NABC=ZACB=58°,ACAD=48°,NBCD=30。，求/期

的度數(shù)。

A

D

第二十九題:

在AABC中，。是48的中點，ADAC=2ZDCA,ZDCB=30°,求N3的度數(shù)。

第三十題:

在四邊形ABC。中，AD^CD,AC=BD,AB1AC,求NBEC的度數(shù)。

D

第三十一題：

在RfAABC中，ZACB=90°,ZCAB=60°,CD1AB,M、N為直線A3上的兩

點，且NMCA=Z.NCB=8。，求NEMD的度數(shù)。

C

第三十二題:

如圖，AABC中，3￡>_LAC于。，E為BD上一點、,且NABQ=38°,NCBQ=68°,

NBCE=14°,ADCE=8°,求ND4E的度數(shù)。

第三十三題:

CD為。。的直徑，A、B為半圓上兩點，DE為過點。的切線，AB交DE于E,連接

0E,交CB于M,交AC于N。

求證：ON=0M

N

M

第三十四題:

如圖，四邊形ABC。中，BC=CD,NBC4=21。，ACAD0,ZCDA=78°,求

NBAC的度數(shù)。

第三十五題:

如圖，四邊形ABC。中，AD^CD,ABAC=10°,NABO=50°,ZACD=20°,求

NCBD的度數(shù).

B

D

第三十六題:

如圖，BD=CE,G、H為BC、DE中點，AB=AC,FD=FE,NBAC=NDFE。

求證：AF//GH

A

￡

H

E

第三十七題:

如圖，在正方形ABC。中，有任意四點E、尸、G、H,且族=4、GH=3,四邊形

EFGH的面積為5,求正方形ABCO的面積。

第三十八題：

已知，2NC=3NB,2BC=AB,求NA。

c

第三十九題:

在AABC中，ZABC=60°,。是邊上一點，DC=AB,ZDAB=21°,求NC。

A

第四十題:

在\ABC中，AB=AC,。為BC邊上一點，E為AD上一點，且滿足

NBDE=2NCED=ZBAC。

求證：BD=2CD。

第四十一題:

已知，F(xiàn)C是正方形A6CD和正方形AEFG上的點F、C的連線，點”是FC的中點,

連接EH、DH。

求證：EH=DH且EH上DH。

第四十二題：

已知：ZCAD=ZDAB=\00,ZCBD=40°,ZDBA=20°,求證：ZCDB=70°

C

第四十三題:

如圖，E、尸分別是圓內(nèi)接四邊形A0BC的對角線A8、CD的中點、，若NDEB=NCEB。

求證：ZAFD=ZBFD

A

D

El

?O

BC

第四十四題：

已知：AB^AC,ZADB=60°,NBCE=30°。

求證：BA=BE

第四十五題:

流瑞黑端篇富的優(yōu)內(nèi)心’肛底分別為兩內(nèi)角平分線。

A

第四十六題:

AB=AC=且BE=30,求NEBO的度數(shù)。

第四十七題:

如圖，MBC\CDE,ZD=N/1BC=9O°,點B在C。上，AB,CE交于F,過B

作BG_LAC于G,交CE于H,連接A4并延長，交CD于1,設(shè)AB=x,BC=y.

(x>y)

求：(1)A”的長(用x,y表示)；(2)*上的值。

c

L

E1

DBC

第四十八題:

在AABC中，AD1BC,P是AABC外接圓。上一點，點尸關(guān)于AB、AC的對稱點為

點E、F,連接EF與交于點”，求證：”是AABC的垂心。

第四十九題:

如圖，點。、E分別在AC、AB上，8。與CE交于點0，AD=AE,OC=OB。

求證：AC=AB

（尋求直接證法）

K

第五十一題:

如圖，AABC為一普通三角形，求證：AB2-PC+AC2-PB=BC{AI^+PB-PC)

第五十二題:

\ABC中，D、E分別在AC、AB±,BD、CE交于P,AD=AE若

BE+PB=CD+PC,求證：AB=AC.（直接證明）

第五十三題:

如圖，。、/分別為A4BC的外心和內(nèi)心，A0是8C邊上的高,I在線段0。上,

AB^AC,求證：AABC的外接圓半徑等于8C邊上的旁切圓半徑。

第五十四題:

如圖,三角形6。。和三角形3EA都是等腰直角三角形，/班心=/的=90。，連接47,

取AC中點尸，連接E/、DF、DE,證明三角形DEF是等腰直角三角形。

第五十五題:

A4BC中,CA=C8,。、E分別在。、上，并且過C、Z）作AE的

垂線分別交48于G、H,若/ACB=90。,求證：BG=GH。

C

第五十七題:

已知，\ABC,ZBCA=90°,過C作A8的垂線，垂足為。點，設(shè)X是線段CO內(nèi)部的

一個點，K在線段AX上，滿足BK=BC；類似地，L在線段BX上，滿足AL=AC。

令例為AL與BK的交點，證明：MK=ML

第五十八題:

ZA=100°,0c平分NC,ZC4￡=20°,求NCOE

第五十九題：

四邊形ABC。內(nèi)接于圓，其邊AB、。。的延長線交于點P,AD和BC的延長線交于點

Q,過。作該圓的兩條切線，切點分別為E、F,求證：P、,E、尸三點共線。

A

pQ

第六十題:

在銳角A4BC中，AC、8C切內(nèi)接圓于點E、D,在AC、8C上取點。、P,使得

CQ=AE,CP=BD,BQ交AP于點M，把AP與圓的交點離A近的記作點N。

求證：PM=AN

第六十一題:

在A4BC中，。是48的中點，ADAC=2ZDCA,ZDCB=30°,求的度數(shù)。

第六十二題:

如圖，MN為A4BC邊的中垂線，MV交AABC的外接圓于M、N,交BC于D,

過。做AN的平行線，P為該平行線上一點，過P作直線與垂直交AABC于￡、F。

求證：PE=PF

第六十三題:

四邊形ABC。是正方形，CE=EF,NCEF=90°,連接AF,G是AP中點，連接3、

GE。求證：GO_LGE且G￡>=GE。

第六十四題:

設(shè)點/、”分別為銳角AABC的內(nèi)心和垂心，點4、G為兩邊中點，射線耳/交

邊A8于點與（為。8）,射線G/交AC的延長線于點G，82c2與BC相交于K,

A為ABHC的外心。

求證：A、/、A三點共線的充要條件是和ACKC2面積相等。

A

GBi

B2H

BlC

Ci

Ai

第六十五題:

如圖，AA8C的內(nèi)切圓/切A3、BC、AC于點。、E、F,直線E尸與A/、BI、DI

交于點M、N、K。

求證：DM-KE=DN?KF

C

N

E

ADB

第六十六題:

四邊形ABC。內(nèi)接于。0,兩對角線交于“兩組對邊分別相交于P、Q。

求證：”為AOPQ的垂心

A

0

H

BD

C

Q

第六十七題:

AB=AC,N3AC=80。，ZPBC=20°,ZPCB=40°,求/APB的大小。

第六十八題：

過圓外一點A作圓的切線AC、AD,再作割線AEF,分別經(jīng)E、F作圓的切線相交于B,

求證：B、C、。三點共線。

c

第六十九題:

兩個半徑不等的圓滿KrK?交于A、B兩點,C、D為&、K2上兩點且AC=4),

交。&于尸，DB交0K［于E,CD、EF的中垂線交于P。

求證：。、PA、EP構(gòu)成直角三角形。

D

EP

第七十題:

如圖，A4BC中，ZBAC=60°,AB=2AC,點PAABC內(nèi)，且PA=6，PB=5,

PC=2,求A4BC的面積。

A

第七十一題:

若為等邊三角形，。為其內(nèi)接圓，。為0上-點，證明或否證：3+6廳

C

第七十二題:

AABC的內(nèi)切圓/切BC于。，M是高47的中點，DM交圓于R,求證：DR平分

NBRC。

第七十三題:

如圖，正三角形ABC,以A為頂點向外作兩個正三角形AOE和AGP,連接EF、DB、

CG,取EF、DB、CG中點M、K、N連接。

求證：三角形KM0為正三角形

M

E

D

K

G

N

BC

第七十四題:

如圖，F(xiàn)為三角形ABC內(nèi)一點，ZAFB=ZAFC,G是AR上的點，直線8G、CG分

別交AC、A8于。、E,求證：ZEFA=ZDFA

D

C

B

第七十五題:

如圖，AABC中，分別在AB、AC上取點。、E,使得3￡>=C￡,連接BE、。。相交于點尸，點M

是BC的中點，NBAC的平分線AQ與PM相交于點Q，DQ與BE交于點K,EQ與CD交于點T.

,、BKBE

求證：（1）四邊形BPCQ是平行四邊形(2)---=----

CTCD

(4)SABKQ=世

⑶SMBK+SgKQ=^AACT+^CIQ

S〉CTQAC

Q

第七十六題:

如圖，平行四邊形ABC。，E、F、”分別為BC、AD,8。中點，G為。C上任一

點，GE、延長線交于1/點，連接〃，取開上的點/,使得出〃A。，連接/E,

求證：IEHFG

H

AI)

第七十七題:

如圖，四邊形ABCO是圓滿內(nèi)接四邊形，對角線AC>3。，E是AB、DC交點，F(xiàn)是A。、

BC交點,L、M是AC、的中點，連接和EF

…LM1ACBD、

求證：----=-(----------)

EF2BDAC

D

C

M

OE

B

A

第七十八題:

如圖，四邊形ABC。各邊都相等,ZABC=60°,FD與BA延長線交于E點，延長BC至

F,連接FA、CE,交點為M,連接。

求證：CA2=CM-CE

F

1

BAE

第七十九題:

如圖，三角形ABC,。為BC上的點，過3作5E_LAE,交AD延長線于E,作

交4）于尸，G為BC中點，連接尸G與GE

求證：FG=GE

E

第八十題:

三角形ABC,。重心，過。作任一直線交AB、AC于X、Y,求證:OXW20Y

A

X

Y

0

BC

第八十一題:

如圖，三角形AASC,以AB、AC為底邊向外作等腰A48。和MC￡,AD=BD,

AE=CE,ZDAB=ZEAC,F、G、H、1、J分別為仞、AE、EC、BD、BC

中點，連接用、IG、AJ,求證：FH、1G、A/三線共點.

第八十二題:

如圖，A為圓外一點，AB>AC為圓兩條切線，切點為8、C,ADE為圓任意一條割

線，交圓于。、E,在圓上取一點尸，連接8『使得8/〃DE,連接C尸交OE于G.求

證：G為OE中點.

B

5

C

第八十三題：

如圖，以任意AAfiC三邊分別向內(nèi)側(cè)作三個正三角形^BCD、\ABE、MCF,連接AD

并延長與CE相交于G,求證：F、B、G三點共線.

A

0BC

第八十四題:

如圖，AC、8。為圓內(nèi)兩條不平行的弦，分別延長后相交于點S,另過A、B分別作圓

的兩條切線陽、PB,相交于P,連接BC、AD,交點為Q,求證：P、Q、S三點共

線.

第八十五題:

P是是圓。外一點，過尸點作圓。的兩條切線PA、PB,切點為A、B,M為弦AB中

點，C為圓。上優(yōu)弧A8上的任一點，連接CM、CP.

求證：NACP=NBCM

P

第八十六題:

已知，H是A4BC垂心，BD1AC,。是外心，點M是4/中點，CM>0D

交于G,過C作CE〃GH,交A”延長線于E。

求證：0D工DE

C

E

第八十七題:

已知，銳角AABC的外接圓為。。，AO是直徑，過點B、C作8c垂線交直線C4、BA

于點E、F。

求證：NBED=ZADF

第八十八題:

設(shè)A、B、C、。是圓上四點，點P滿足條件NAPC=NBP。，AC與3。交于點E,

?PAB與?PCD交于P、尸兩點，求證：ZAPE=ZFPD??

第八十九題:

如圖，AB為。。的任意一條弦，E、F為AB三等分點、,P為劣弧A8上一點，延長PE、

PF分別交。。于C、D.

證明；AC?BD=CD-EF

第九十題:

如圖，PB、PC交矩形ABC。的對角線于E、F,OE與交于點。。

求證：PQ1BC

AD

E

BC

第九十一題:

已知，點、E、尸分別是、AC>AB上三點,

05C、\CED、BDF垂心分別

是G、H、/o

求證：S佃F=S^QH

第九十二題:

如圖，在A4BC中，AB>AC,內(nèi)切圓/與邊6C切于點。，AO交內(nèi)切圓/于另一點E,

圓/的切線EP交的延長線于點P,CF//PE,交AO于點尸，直線8尸交圓/于點

M、N。

證明：4ENP=4ENQ

第九十三題:

已知，NB4C=90°,AH工BC于前H,點、J、1、S分別是AA3H、\ACH、AABC

的旁心，S在BC上的射影是E,過，、/分別作JE、/E作垂線交于點G。

求證：（1）四邊形E/G/是正方形（2）56〃4七且56=/1￡

S

第九十四題:

如圖，四邊形ABTG、ACDE是正方形，線段的中點是K,求證：ATEK的面積

=kGDK的面積。

BKC

第九十五題:

如圖，在AABC中，設(shè)4?>