專題09線段上動點問題的兩種考法(原卷版+解析)(北師大版)

專題09線段上動點問題的兩種考法類型一、線段和差問題例1．已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D，E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)．（1）若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動．①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長；②點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動，且滿足關(guān)系式＝，求的值．例2．已知線段AB，點C在直線AB上，D為線段BC的中點．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點E是線段AC的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，點位于數(shù)軸原點，點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動．(1)若點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為7，當點，運動時間為2秒時，求線段的長；(2)若點，分別表示，6，運動時間為，當為何值時，點是線段的中點．(3)若，是數(shù)軸上的一點，且，求的值．【變式訓(xùn)練2】已知點C在線段上，，點D，E在直線上，點D在點E的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動，①當點E是線段的中點時，求的長；②當點C是線段的三等分點時，求的長；(2)若，點E在線段上移動，且滿足關(guān)系式，則（直接寫出結(jié)果）．【變式訓(xùn)練3】如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點C、A在點B的左側(cè)，點D在點C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點，求的長．②M、N分別為、的中點，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點，②中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，直接寫出結(jié)論類型二、定值問題例．如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【變式訓(xùn)練】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD的中點，點N為CD的中點，求的值；（3）當點P在線段BC的延長線上運動時，點E是AP中點，點F是BC中點，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個結(jié)論是正確的，請選擇正確結(jié)論并求出其值．課后訓(xùn)練1．已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點，的中點，的中點，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．2．已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．3．已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．（1）當D點與B點重合時，AC=_________；（2）點P是線段AB延長線上任意一點，在（1）的條件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分別是AC、BD的中點，當BC=4時，求MN的長．4．【新知理解】如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”．(1)線段的中點

這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝

cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．5．如圖，射線上有三點、、，滿足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，點從點出發(fā)，沿方向以秒的速度勻速運動，點從點出發(fā)在線段上向點勻速運動，兩點同時出發(fā)，當點運動到點時，點、停止運動.(1)若點運動速度為秒，經(jīng)過多長時間、兩點相遇?(2)當時，點運動到的位置恰好是線段OB的中點，求點的運動速度;(3)當點運動到線段上時，分別取和的中點、，求的值.6．已知線段AB=m(m為常數(shù))，點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點，且m=8時，則MN=______；(2)若點C在點A左側(cè)，同時點M在線段AB上(不與端點重合)，請判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由.(3)若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上(不與端點重合)，求MN長度(用含m的代數(shù)式表示).7．已知線段，(，為常數(shù)，且)，線段在直線上運動(點B，M在點A的右側(cè)，點N在點M的右側(cè))．P是線段的中點，Q是線段的中點．(1)如圖①，當點N與點B重合時，求線段的長度(用含a，b的代數(shù)式表示)；(2)如圖②，當線段運動到點B，M重合時，求線段，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當線段運動至點Q在點B的右側(cè)時，請你畫圖探究線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．

專題09線段上動點問題的兩種考法類型一、線段和差問題例1．已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D，E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)．（1）若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動．①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長；②點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動，且滿足關(guān)系式＝，求的值．【答案】（1）①AD的長為6.5；②AD的長為或；（2）的值為或【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E為BC中點，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如圖2，當點F在點C的右側(cè)時，∵CF＝3，AC＝10，∴AF＝AC+CF＝13，∵AF＝3AD，∴AD＝；如圖3，當點F在點C的左側(cè)時，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD，∴AD＝＝；綜上所述，AD的長為或；（2）①當點E在線段BC之間時，如圖4，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，∴＝＝；②當點E在點A的左側(cè)，如圖5，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴，③點D、E都在點C的右側(cè)時，如圖6，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC-DE＝y(tǒng)-1.5x，∴AD＝DC+AC＝y(tǒng)-1.5x+2x＝y(tǒng)+0.5x，∵＝，BE＝EC-BC＝y(tǒng)-x，∴，∴y＝-4x（舍去）綜上所述的值為或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段的和差，線段的中點，以及分類討論的數(shù)學思想，比較難，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．例2．已知線段AB，點C在直線AB上，D為線段BC的中點．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點E是線段AC的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)或5(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)點C在直線AB上，分兩種情況：①C在點A的右側(cè)，②C在點A的左側(cè)，根據(jù)線段的和與差可得結(jié)論；（2）AB＝2DE，分三種情況：根據(jù)線段中點的定義可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，當C在點A右側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點，：∴；如圖2，當C在點A左側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點，∴；綜上所述，或5；（2）解：．理由是：如圖3，當C在點A和點B之間時，∵E是AC的中點，D是BC的中點，∴，，∴；如圖4，當C在點A左側(cè)時，同理可得：；如圖5，當C在點B右側(cè)時，同理可得：．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，點位于數(shù)軸原點，點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點從點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動．(1)若點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為7，當點，運動時間為2秒時，求線段的長；(2)若點，分別表示，6，運動時間為，當為何值時，點是線段的中點．(3)若，是數(shù)軸上的一點，且，求的值．【答案】(1)(2)當時點是線段的中點(3)或1【分析】（1）根據(jù)路程=速度×時間可以計算出C、D運行的路程，進而求出MD的值，根據(jù)可求；（2）先表示出BD和CD，再根據(jù)點是線段的中點，列方程求解；（3）分在線段上和點在線段的延長線上兩種情況，分別求解．【詳解】（1）解：∵，，又∵點表示，點表示7，∴，∴∴．（2）解：∵點，分別表示，6，所以，，，，，當是的中點時，即，∴當時點是線段的中點．（3）解：①當點在線段上時，如圖∵，又∵∴，又∵∴，即②當點在線段的延長線上時，如圖∵，又∵∴，即綜上所述或1．【點睛】本題考查了線段的和差和中點，及兩點間的距離，一元一次方程，解題分關(guān)鍵是掌握點的移動路程與線段的關(guān)系．【變式訓(xùn)練2】已知點C在線段上，，點D，E在直線上，點D在點E的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動，①當點E是線段的中點時，求的長；②當點C是線段的三等分點時，求的長；(2)若，點E在線段上移動，且滿足關(guān)系式，則（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①4，②；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；②當點C線段的三等分點時，可求得或（舍去），則，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）①當點E在線段之間時，設(shè)，則，求得、、、，然后根據(jù)可得，，再代入即可解答；②當點E在線段上時，設(shè)，則，求得、、、，然后根據(jù)可得不符題意．【詳解】（1）解：∵，∴，①∵E為中點，∴，∵，∴，∴；②∵點C是線段的三等分點，DE＝16，∴或（不合題意，舍去），∴，∴；（2）解：①當點E在線段上，如圖，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；如圖：當點E在線段AC上時，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴不符題意，∴點E不可能在線段AC上．綜上所述的值為．【點睛】本題主要考查了直線上兩點間的距離、線段中點的性質(zhì)、線段的和差等知識點，準確識圖、分類討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點C、A在點B的左側(cè)，點D在點C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點，求的長．②M、N分別為、的中點，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點，②中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，直接寫出結(jié)論【答案】(1)①10，②見解析(2)不成立，見解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中點平分線段，得到，再利用，即可得解；②利用中點平分線段，得到，進而得到，再利用，即可得證；（2）分點在點的左側(cè)，點在點的右側(cè)，點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)，以及點在點的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵M、N分別為、的中點，∴，∴；②∵M、N分別為、的中點，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M、N分別為、的中點，∴，①當點在點的左側(cè)，點在點的右側(cè)時，如圖：或；②當點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)時，如圖：或；③當點在點的左側(cè)時，如圖：或；綜上：或；故結(jié)論不成立．【點睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．類型二、定值問題例．如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運動時間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長，根據(jù)，可知點在線段上的位置；（2）由可知，當點Q在線段AB上時，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當點Q在線段AB的延長線上時，可得，易得的值.（3）點停止運動時，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運動時間為t秒，則，由得，即，，，即所以點P在線段AB的處；（2）①如圖，當點Q在線段AB上時，由可知，②如圖，當點Q在線段AB的延長線上時，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點、運動5秒可得，如圖，當點M、N在點P同側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；如圖，當點M、N在點P異側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，，當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點睛】本題考查了線段的相關(guān)計算，利用線段中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD的中點，點N為CD的中點，求的值；（3）當點P在線段BC的延長線上運動時，點E是AP中點，點F是BC中點，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個結(jié)論是正確的，請選擇正確結(jié)論并求出其值．【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①詳見解析;②詳見解析.【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三種情況：①D在BC之間時②D在AB之間時③D在A點左側(cè)時；（3）分三種情況討論：①F、E在BC之間，F(xiàn)在E左側(cè)②F在BC之間，E在CP之間③F、E在BC之間，F(xiàn)在E右側(cè)；【詳解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵點M為BD中點，點N為CD中點，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之間時：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴＝2；②D在AB之間時：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴＝2；③D在A點左側(cè)時：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴＝2；故＝2；（3）點E是AP的中點，點F是BC的中點．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴＝2．②EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．③EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．【點睛】本題考查線段之間量的關(guān)系，結(jié)合圖形，能夠考慮到所有分類是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點，的中點，的中點，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）的值為或；（3）【分析】（1）由D為AC的中點，E為BC的中點得到DC=AC=2，CE=BC=3，則可計算出DE=5，再利用F為DE的中點得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根據(jù)線段的中點定義和線段的和差計算分兩種情況即可求解；（3）如圖，設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，利用線段中點定義得到DC=，CE=，則，所以，再利用的中點，得到，于是可計算出，即有．【詳解】解：（1）∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F為DE的中點，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；（2）①當AC＞BC，點F在點C左側(cè)時，如圖所示：

∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF，∴，②當AC＜BC，點F在點C右側(cè)時，如圖所示：

∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF，∴，綜上所述，的值為或．（3）如圖，

設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中點為，CE的中點為，∴，∴，∵的中點為，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．理清線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7；(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點F（異于A，B，C點）在線段AB上，，，確定點F是BC的中點，即可求出AD的長．【詳解】（1），，，，如圖1，為中點，，，∴，∴，（2）Ⅰ、當點在點的左側(cè)，如圖2，或∵，，點是的中點，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當點在點的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．3．已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．（1）當D點與B點重合時，AC=_________；（2）點P是線段AB延長線上任意一點，在（1）的條件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分別是AC、BD的中點，當BC=4時，求MN的長．【答案】（1）6（2）PA+PB–2PC=0；（3）MN=9．【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（3）需要分類討論：①如圖1，當點C在點B的右側(cè)時，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當點C位于點B的左側(cè)時，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度．【詳解】（1）當D點與B點重合時，AC=AB﹣CD=6；故答案為6；（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，∵點P是線段AB延長線上任意一點，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；（3）如圖1，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，∴AM=AC=（AB+BC）=8，DN=BD=（CD+BC）=5，∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；如圖2，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，DN=BD=（CD﹣BC）=1，∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，比較線段的長短.利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．【新知理解】如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”．(1)線段的中點

這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝

cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【答案】(1)是(2)6或4或8c(3)t為3或或或或或6【分析】（1）若點M是線段AB的中點時，則AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；（2）分①當N為中點時，CN＝＝6cm；②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝＝4cm；③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝＝8cm．（3）分P為A、Q的和諧點，Q為A、P的和諧點，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：若點M是線段AB的中點時，滿足AB＝2AM＝2BM，∴線段的中點是這條線段的“和諧點”，故答案為：是；（2）解：①當N為中點時，CN＝＝6cm；②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝＝4cm；③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝＝8cm．故答案為：6cm或4cm或8cm；（3）解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點，此情況排除；①P為A、Q的和諧點，有三種情況：1）P為中點，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；2）P為AQ的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3；3）P為AQ的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；②Q為A、P的和諧點，有三種情況：1）Q為中點，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6；2）Q為AP的三等分點，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝；3）Q為AP的三等分點，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．綜上所述，t為3或或或或或6時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．【點睛】本題主要考查了與線段中點和三等分點有關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．5．如圖，射線上有三點、、，滿足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，點從點出發(fā)，沿方向以秒的速度勻速運動，點從點出發(fā)在線段上向點勻速運動，兩點同時出發(fā)，當點運動到點時，點、停止運動.(1)若點運動速度為秒，經(jīng)過多長時間、兩點相遇?(2)當時，點運動到的位置恰好是線段OB的中點，求點的運動速度;(3)當點運動到線段上時，分別取和的中點、，求的值.【答案】（1）45s;（2）或;(3)2【分析】（1）設(shè)經(jīng)過t秒時間P、Q兩點相遇，列出方程即可解決問題；（2）分兩種情形求解即可；（3）用t表示AP、EF的長，代入化簡即可解決問題；【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過t秒時間P、Q兩點相遇，則t+2t=90+30+15，解得t=45，所以經(jīng)過45秒時間P、Q兩點相遇．（2）①當P在線段AB上時，∵AB=90，PA=2PB，∴PA=60，PB=30，∴OP=OA+AP＝30+60＝90，∴點P、Q的運動時間為90秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴點Q的路程為CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴點Q是速度為cm/秒；②點P在線段AB延長線上時，∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,∴OP=OA+AP=30+180=210,∴點P、Q的運動時間為210秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴點Q的路程為CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴點Q是速度為cm/秒；（3）如圖所示：∵E、F分別是OP、AB的中點，∴OE=OP=t，∴OF=OA+AB=30+45=75，∴.【點睛】本題考查兩點間距離、路程、速度、時間之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程解決問題.6．已知線段AB=m(m為常數(shù))，點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點，且m=8時，則MN=______；(2)若點C在點A左側(cè)，同時點M在線段AB上(不與端點重合)，請判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由.(3)若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上(不與端點重合)，求