愛提分中考復(fù)習(xí) 11二輪-創(chuàng)新題-第02講 創(chuàng)新題（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜創(chuàng)新題（二）知識精講一．幾何創(chuàng)新題1．幾何創(chuàng)新題一般更偏向于幾何綜合，結(jié)合題目中給出的新定義，探究題目中圖形的角度、線段關(guān)系，但有時也經(jīng)常放在坐標(biāo)系中，注意坐標(biāo)和線段長度的轉(zhuǎn)化．2．幾何創(chuàng)新題經(jīng)常與圓有關(guān)，并且與動點結(jié)合起來考察一次函數(shù)與圓的綜合，要求學(xué)生在理解題意的情況下，定性分析出符合題意的臨界位置，并能夠結(jié)合題目中給的條件進(jìn)行定量計算，綜合性較強難度較大．三點剖析一．考點：幾何創(chuàng)新題．二．重難點：幾何創(chuàng)新題綜合三．易錯點：幾何圖形復(fù)雜，不能得出正確的結(jié)論，做出正確的輔助線做法．幾何創(chuàng)新題例題例題1、在課外活動中，我們要研究一種凹四邊形﹣﹣燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號）；定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗，對燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小潔的探究過程，請補充完整：（2）通過觀察、測量、折疊等操作活動，寫出兩條對燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）②；（2）①一組對角相等；②它是一個軸對稱圖形且AC所在的直線是燕尾四邊形的對稱軸；（3）．【解析】（1）由凹四邊形的定義得出，圖②是凹四邊形．故答案是②；（2）①一組對角相等；②它是一個軸對稱圖形；①已知：如圖1，在凹四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求證：∠B=∠D．證明：連接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直線是燕尾四邊形的對稱軸；（3）如圖2，連接AC，過點B作BE⊥AC交AC的延長線于E；由（2）知，燕尾四邊形ABCD是軸對稱圖形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根據(jù)勾股定理得，AE==2，∴S△ABC=S△ABE﹣S△CBE=BE?AE﹣BE?CE=BE（AE﹣CE）=××（2﹣2）=6﹣2∴燕尾四邊形ABCD的面積為2S△ABC=．例題2、類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．（2）小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．（3）如圖2，小紅作了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)AA′，BC′．小紅要使得平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段B′B的長）？【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；（2）正確，理由見解析；（3）平移2或或或．【解析】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（2）解：小紅的結(jié)論正確．理由如下：∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形，（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，∵將Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如圖1，當(dāng)AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2，（II）如圖2，當(dāng)AA′=A′C′時，BB′=AA′=AC′=，（III）當(dāng)AC′=BC′=時，如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，設(shè)B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=x∵根據(jù)在Rt△BC′D中，BC′2=C′D2+BD2即x2+（x+1）2=5解得：x=1或x=﹣2（不合題意，舍去）∴BB′=，（IV）當(dāng)BC′=AB=2時，如圖4，與（III）方法同理可得：x=或x=，x=或x=（舍去）∴BB′=x=．故應(yīng)平移2或或或．例題3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點，，，，記線段為，線段為，點是坐標(biāo)系內(nèi)一點.給出如下定義：若存在過點的直線l與，都有公共點，則稱點是聯(lián)絡(luò)點．例如，點是聯(lián)絡(luò)點．（1）以下各點中，__________________是聯(lián)絡(luò)點（填出所有正確的序號）；=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.圖圖1備用圖（2）直接在圖1中畫出所有聯(lián)絡(luò)點所組成的區(qū)域，用陰影部分表示；（3）已知點M在y軸上，以M為圓心，r為半徑畫圓，⊙M上只有一個點為聯(lián)絡(luò)點，①若，求點M的縱坐標(biāo)；②求r的取值范圍．【答案】（1）②，③（2）見解析（3）或；【解析】（1）=2\*GB3②，=3\*GB3③是聯(lián)絡(luò)點．……………………2分（2）所有聯(lián)絡(luò)點所組成的區(qū)域為圖中陰影部分（含邊界）．…………4分（3）① ∵點M在y軸上，⊙M上只有一個點為聯(lián)絡(luò)點，陰影部分關(guān)于y軸對稱，∴⊙M與直線AC相切于(0，0)，或與直線BD相切于(0，1)，如圖所示．又∵⊙M的半徑，∴點M的坐標(biāo)為(0，)或(0，2)．………………6分經(jīng)檢驗：此時⊙M與直線AD，BC無交點，⊙M上只有一個點為聯(lián)絡(luò)點，符合題意．∴點M的坐標(biāo)為(0，)或(0，2)．∴點M的縱坐標(biāo)為或2．② 陰影部分關(guān)于直線對稱，故不妨設(shè)點M位于陰影部分下方．∵點M在y軸上，⊙M上只有一個點為聯(lián)絡(luò)點，陰影部分關(guān)于y軸對稱，∴⊙M與直線AC相切于O(0，0)，且⊙M與直線AD相離．作ME⊥AD于E，設(shè)AD與BC的交點為F，∴MO=r，ME>r，F(xiàn)(0，)．在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，∴，．在Rt△FEM中，∠FEM=90°，F(xiàn)M=FO+OM=r+，，∴．∴．又∵，∴．…………8分例題4、類比特殊四邊形的學(xué)習(xí)，我們可以定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．【探索體驗】（1）如圖1，已知在四邊形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝100°，∠C＝120°．求證：四邊形ABCD是“等對角四邊形”．（2）如圖2，若AB＝AD＝a，CB＝CD＝b，且a≠b，那么四邊形ABCD是“等對角四邊形”嗎？試說明理由．【嘗試應(yīng)用】（3）如圖3，在邊長為6的正方形木板ABEF上裁出“等對角四邊形”ABCD，若已經(jīng)確定DA＝4m，∠DAB＝60°，是否在正方形ABEF內(nèi)（包括邊上）存在一點C，使四邊形ABCD以∠DAB＝∠BCD為等對角的四邊形的面積最大？若存在，試求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解答】（1）∵在四邊形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝100°，∠C＝120°．∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝100°，∠A≠∠C，∴∠D＝∠D，∴四邊形ABCD是“等對角四邊形”；（2）如圖2，連接BD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB，∴∠ABC＝∠ADC，∵AB＝AD＝a，CB＝CD＝b，且a≠b，且BD＝BD，∴△ABD與△CBD不相似，∴∠A≠∠C，∴四邊形ABCD是“等對角四邊形”．（3）如圖3，連接BD，當(dāng)∠DAB＝∠BCD＝60°時，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，此時點C在BD為弦的上，要使四邊形ABCD的面積最大，則點C在邊BE上，過點D作DH⊥AB于點H，作DM⊥BC于點M，在Rt△ADH中，∠DAH＝60°，AD＝4，∴AH＝2，，∴BH＝AB－AH＝4，∵四邊形DHBM是矩形，∴，DM＝BH＝4，在Rt△DMC中，∠DCM＝60°，∴，∴，∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD（m2）例題5、設(shè)平面內(nèi)一點到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對于一個點與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知點D（2，2），E（，1），F(xiàn)（﹣，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點的是；（2）如圖1，過點A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°．①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點P（m，n），求m的取值范圍；②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當(dāng)b滿足什么條件時，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點；（直接寫出答案，不需過程）（3）如圖2，點Q為直線y=﹣1上一動點，⊙Q的半徑為．當(dāng)Q從點（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右移動，運動時間為t秒．是否存在某一時刻t，使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點？如果存在，請直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）E，F(xiàn)；（2）①0≤m≤；②﹣≤b≤2；（3）．【解析】（1）由題意R=2，r=1，點O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴點E、F是△ABC的中心關(guān)聯(lián)點故答案為E，F(xiàn)；（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（2，0）．可求得直線AM的解析式為y=﹣x+2，經(jīng)驗證E在直線AM上．因為OE=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長為．當(dāng)點P在AE上時，≤OP≤2．所以當(dāng)點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點．所以0≤m≤；②如圖1﹣1中，設(shè)平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當(dāng)OH=2時，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴滿足條件的b的值為﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如圖2中，設(shè)Q（m，﹣1）．由題意當(dāng)OQ=時，⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點，=，解得m=，∴t=．例題6、定義：如圖1所示，給定線段及其垂直平分線上一點，若以點為圓心，為半徑的優(yōu)?。ɑ虬雸A弧）上存在三個點可以作為一個等邊三角形的頂點，則稱點為線段的“三足點”，特別的，若這樣的等邊三角形只存在一個，則稱點為線段的“強三足點”。問題：如圖2所示，平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點在射線上。在點和中，可以成為線段的“三足點”的是__________；若第一象限內(nèi)存在一點既是線段的“三足點”，又是線段的“強三足點”，求點的坐標(biāo)。在（2）的條件下，以點為圓心，為半徑作圓，假設(shè)該圓與軸交點中右側(cè)一個為，，圓上一動點從出發(fā)，繞點順時針旋轉(zhuǎn)后停止，設(shè)點出發(fā)后轉(zhuǎn)過的角度為()，若線段與不存在公共的“三足點”，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)（3）

或

【解析】(1)（2）由題可知：點既為線段的“三足點”的,又是線段

的“強三足點”，則點須滿足在和

的垂直平分線上，且如圖所示

與軸的夾角為

．

.

設(shè)點的坐標(biāo)為，點在的垂直平分線上，故，所以(3)

或

隨練隨練1、如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，證明見解析（2）垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，證明見解析（3）【解析】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=．隨練2、定義：如圖1，平面上兩條直線AB、CD相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線AB、CD的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為（0,0）點有1個，即點O．（1）“距離坐標(biāo)”為（1，0）點有個；圖圖1圖2圖3（2）如圖2，若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上時，點M的“距離坐標(biāo)”為（p，q），且∠BOD=120°．請畫出圖形，并直接寫出p，q的關(guān)系式；（3）如圖3，點M的“距離坐標(biāo)”為（1，），且∠AOB=30°，求OM的長．【答案】（1）2（2）（3）【解析】（1）2；……………………1（2）…………2過M作MN⊥AB于N∵直線l⊥CD于O，∠BOD=120°，∴∠MON=30°∵M(jìn)N=p，OM=q，∴…………………………3（3）分別作點M關(guān)于OA、OB的對稱點E、F，連接EF、OE、OF、EM、FM……4∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，OM=OE=OF．∴∠EOF=60°．……………………5∴OM=OE=OF=EF．∵M(jìn)D=1，MC=，∴MF=2，ME=．∵∠AOB=30°，∴∠CMD=150°．…………………6過F做FG⊥CM，交CM延長線于G，∴∠FMG=30°．在Rt△FMG中，F(xiàn)G=1，MG=．在Rt△EFG中，F(xiàn)G=1，EG=．∴EF==．∴OM=．……………………7隨練3、我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD；（3）12﹣．【解析】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE==，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．隨練4、如圖①，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標(biāo)．【答案】（1）四邊形ADMB就是一個損矩形（2）見解析（3）沒有變化，（0，-1）（4）D點坐標(biāo)為（3，0）【解析】（1）從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形ADMB就是一個損矩形．∵點M是正方形對角線的交點，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ADMB就是一個損矩形．（2）取BD中點H，連接MH，AH．∵四邊形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴損矩形ABMD一定有外接圓．（3）∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四邊形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N點的坐標(biāo)為（0，-1）．（4）延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥x軸于點Q，設(shè)點MG=x，則四邊形APMQ為正方形，∴PM=AQ=x-1，∴OG=MQ=x-1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x-2，∴MN2=2x2，ND2=（2x-2）2+12，MD2=（x-1）2+（x-2）2，∵四邊形DMGN為損矩形，∴2x2=（2x-2）2+12+（x-1）2+（x-2）2，∴2x2-7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D點坐標(biāo)為（3，0）．隨練5、我們給出如下定義：若一個四邊形有一組對角互補（即對角之和為180°），則稱這個四邊形為圓滿四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于圓滿四邊形的有____．（2）問題探究：如圖?，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠ADB=∠ACB，問四邊形ABCD是圓滿四邊形嗎？請說明理由．小明經(jīng)過思考后，判斷四邊形ABCD是圓滿四邊形，并提出了如下探究思路：先證明△AOD∽△BOC，得到比例式=，再證明△AOB∽△DOC，得出對應(yīng)角相等，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，得出一組對角互補．請你幫助小明寫出解題過程．（3）問題解決：請結(jié)合上述解題中所積累的經(jīng)驗和知識完成下題．如圖?，四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB與DC的延長線相交于點E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的長．【答案】（1）矩形；正方形（2）見解析（3）CE=【解析】（1）∵矩形和正方形的四個內(nèi)角都是90°，∴矩形和正方形的兩組對角的和為180°，∴矩形，正方形是圓滿四邊形．（2）證明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠CBO，∴△AOD∽△BOC，∴，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．∴四邊形ABCD是圓滿四邊形．（3）∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴四邊形ABCD是圓滿四邊形，由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．又∵BE=BD，∴∠BED=∠BDC=∠BAC，∴AC=EC．又∵∠BCE+∠DCB=180°，∴∠BCE=∠DAB，又∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴，設(shè)AC=EC=x，則BC==BD==4，∴EA=5+4=9，∴，解得，x=．即：CE=隨練6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當(dāng)∠MPN最大時，稱∠MPN為點P關(guān)于⊙C的“視角”．（1）如圖，⊙O的半徑為1，①已知點A（0，2），畫出點A關(guān)于⊙O的“視角”；若點P在直線x＝2上，則點P關(guān)于⊙O的最大“視角”的度數(shù)________；②在第一象限內(nèi)有一點B（m，m），點B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，求點B的坐標(biāo)．（2）若點P在直線上，且點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，求點P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．（3）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點E的坐標(biāo)為（0，1），點F的坐標(biāo)為（0，－1），若線段EF上所有的點關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．【答案】（1）①；60°；②B（，）（2）（3）或【解析】（1）①畫如圖1所示，如圖2，當(dāng)∠MPN最大時，此時PM與PN與⊙O相切，∵⊙O的半徑為r＝1，∴s，當(dāng)OP最小時，此時sin∠MPO最大，即∠MPO最大，∴，∴∠MPO＝30°∴∠MPN＝2∠MPO＝60°；②∵點B關(guān)于⊙O的視角為60°，∴BM與⊙O相切，且∠MBO＝30°，∴點B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即OB＝2，∵B（m，m）（m＞0），∴，∴m，∴B（，）；（2）如圖3，∵點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，∴∠MPO＞30°，∴，∴OP＜2，∵點P不在⊙C上，∴1＜OP＜2∴點P在以O(shè)為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi)，∵點P在直線上，由圖4，可得xp＝0或，∴；（3）如圖5，①當(dāng)點C在x軸正半軸時，在線段EF上取一點P，當(dāng)PM，PN都與⊙C相切時，∠MPN最大，當(dāng)∠MPN＝120°時，連接CP，∴∠CPM＝60°，在Rt△PCM中，CM＝1，，∴，∵線段EF上所有的點關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，∴點P和原點O重合時，視角只要小于120°時，即可，，此時，滿足條件的，②當(dāng)點C在x軸負(fù)半軸時，同①可得，，即：滿足條件的或．隨練7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙C上一點P作⊙C的切線l．當(dāng)入射光線照射在點P處時，產(chǎn)生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點P稱為反射點．規(guī)定：光線不能“穿過”⊙C，即當(dāng)入射光線在⊙C外時，只在圓外進(jìn)行反射；當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時，只在圓內(nèi)進(jìn)行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C內(nèi)一點出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P1是第1個反射點．請在圖2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線；（2）當(dāng)⊙O的半徑為1時，如圖3，①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于x軸，且自⊙O的外部照射在其上點P處，此光線經(jīng)⊙O反射后，反射光線與y軸平行，則反射光線與切線l的夾角為°；②自點A（﹣1，0）出發(fā)的入射光線，在⊙O內(nèi)不斷地反射．若第1個反射點P1在第二象限，且第12個反射點P12與點A重合，則第1個反射點P1的坐標(biāo)為；（3）如圖4，點M的坐標(biāo)為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內(nèi)自點O出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙M反射后，反射光線與坐標(biāo)軸無公共點，求反射點P的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）①45°；②P1（﹣，）（3）1【解析】（1）答案如圖：（2）①由題意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光與切線的夾角為45°．②由題意：這些反射點組成的多邊形是正十二邊形，∴入射光線與反射光線夾角為150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（﹣，）．（3）如圖：當(dāng)反射光PA∥X軸時，反射光線與坐標(biāo)軸沒有交點．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分別為M，N，設(shè)PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1﹣（2﹣m）2，∴PO2=m2+1﹣（2﹣m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2﹣m2，∴OC=ON+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2﹣m2=（+）2，∴m1=2﹣，（m2=2+，m3=4，不合題意舍棄），∴根據(jù)左右對稱性得到：滿足條件的反射點P的縱坐標(biāo)：1．拓展拓展1、如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱為“接近度”、在研究“接近度”時，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等、（1）設(shè)正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為m°，將正n邊形的“接近度”定義為、于是，越小，該正n邊形就越接近于圓，①若，則該正n邊形的“接近度”等于_________；②當(dāng)“接近度”等于______時，正n邊形就成了圓．（2）設(shè)一個正n邊形的半徑（即正n邊形外接圓的半徑）為R，邊心距（即正n邊形的中心到各邊的距離）為r，將正n邊形的“接近度”定義為，于是越小，正n邊形就越接近于圓；你認(rèn)為這種說法是否合理？若不合理，請給出正n邊形“接近度”的一個合理定義．【答案】（1）①18；②0；（2）不合理．合理定義方法不唯一，如定義為，越小，正n邊形越接近于圓；越大，正n邊形與圓的形狀差異越大；當(dāng)時，正n邊形就變成了圓．【解析】（1）①∵正20邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，∴；②當(dāng)“接近度”等于0時，正n邊形就成了圓．（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的正n邊形來說，它們接近于圓的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為，越小，正n邊形越接近于圓；越大，正n邊形與圓的形狀差異越大；當(dāng)時，正n邊形就變成了圓．拓展2、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，則稱這個四邊形為等平方和四邊形（1）寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：_______________．（2）如圖①，在梯形中，，，垂足為．求證：（3）如果將①中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角()后得到圖②，那么四邊形能否成為等平方和四邊形？若能，請證明；若不能，請說明理由．【答案】（1）菱形或正方形（2）見解析（3）能，證明見解析【解析】（1）菱形或正方形；（2）證明：∵AC⊥BD，∴∴；；；．∴，即四邊形ABCD是等平方和四邊形．（3）解：四邊形ABCD是等平方和四邊形．證明：原梯形記為，依題意旋轉(zhuǎn)后得四邊形ABCD，連接AC、BD交于點，∵∥BC，∴△∽△COB，∴∵，，∴∵，∴，又∵，∴△AOC∽△DOB，∴又∵，∴，由（2）的結(jié)論得：．即四邊形ABCD是等平方和四邊形．拓展3、我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．【答案】（1）130°（2）①見解析②小紅的猜想不正確（3）2或2．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；（2）①證明：如圖1，連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：小紅的猜想不正確，如圖：四邊形ABCD是“等對角四邊形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但是BC和CD不等，所以小紅的猜想不正確；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，如圖3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=；②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，如圖4所示：則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=2，∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，∵四邊形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM=2，∵∠BCD=60°，∴CN=，∴BC=CN+BN=3，∴AC==2；綜上所述：AC的長為2或2．拓展4、定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形．（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當(dāng)AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時對角線AC的長．【答案】(1)60°＜∠A＜120°；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）∵∠A=∠B=∠C，∴3∠A+∠ADC=360°，∴∠ADC=360°﹣3∠A．∵0＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；（2）證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．∵DE=DA，DF=DC，∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，∴四邊形ABCD是三等角四邊形（3）①當(dāng)60°＜∠A＜90°時，如圖1，過點D作DF∥AB，DE∥BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，∴EB=DF，DE=FB，∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，設(shè)AD=x，AB=y，∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，∵△DAE∽△DCF，∴，∴，∴y=x2+x+4=﹣（x﹣2）2+5，∴當(dāng)x=2時，y的最大值是5，即：當(dāng)AD=2時，AB的最大值為5，②當(dāng)∠A=90°時，三等角四邊形是正方形，∴AD=AB=CD=4，③當(dāng)90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，∵AE=4﹣AB＞0，∴AB＜4，綜上所述，當(dāng)AD=2時，AB的長最大，最大值是5；此時，AE=1，如圖3，過點C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，∵DA=DE，DN⊥AB，∴AN=AE=，∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，∴△DAN∽△CBM，∴，∴BM=1，∴AM=4，CM==，∴AC===．【題型】解答題拓展5、愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，時，a=______，b=_______；如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，c=2時，a=_____，b=______；【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=，AB=3，求AF的長．【答案】（1）；；；（2）a2+b2=5c2；見解析（3）4【解析】（1）如圖1中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，∴PN=PM=2，PB=PA=4，∴AN=BM=．∴b=AC=2AN=，a=BC=．如圖2中，連接NM，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，，∵∠PAB=30°，∴PB=1，，在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，∴，，∴，，∴a=BC=2BM=，b=AC=2AN=．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖3中，連接MN．∵AM、BN是中線，∴MN∥AB，，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=