遼寧省沈陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)+數(shù)學(xué)試卷（含答案）

沈陽(yáng)市第120中學(xué)2003—2024學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘命題人：趙立強(qiáng)劉甫春審題人：孫爽一、單選題；本題共8小題，滿分40分．每小題給出的選項(xiàng)中，只有1頂是符合題目要求的．1.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（）A.﹣2020 B.﹣1010 C.﹣505 D.10102.等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.4.在等比數(shù)列中，則為（）A. B. C. D.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A3 B.4 C.5 D.66.已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.7.已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知數(shù)列滿足，，且（，），設(shè)（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)最大整數(shù)），又，則的最小值是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，滿分18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（）A. B. C. D.10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”：“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球…設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.11.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”，下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若數(shù)列是常數(shù)列，，則數(shù)列是周期數(shù)列C若，則數(shù)列沒(méi)有最小值D若，則數(shù)列有最大值三、填空題：本題共3小題，滿分15分．12.已知，則__________．13.已知，記，，，，則______．14.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.四、解答題：本題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15已知函數(shù).（1）分別求出和的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.16.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.牧草再生力強(qiáng)，一年可收割多次，富含各種微量元素和維生素，因此成為飼養(yǎng)家畜的首選.某牧草種植公司為提高牧草的產(chǎn)量和質(zhì)量，決定在本年度（第一年）投入40萬(wàn)元用于牧草的養(yǎng)護(hù)管理，以后每年投入金額比上一年減少，本年度牧草銷(xiāo)售收入估計(jì)為30萬(wàn)元，由于養(yǎng)護(hù)管理更加精細(xì)，預(yù)計(jì)今后的牧草銷(xiāo)售收入每年會(huì)比上一年增加．（1）設(shè)n年內(nèi)總投入金額為萬(wàn)元，牧草銷(xiāo)售總收入為萬(wàn)元，求，的表達(dá)式；（2）至少經(jīng)過(guò)幾年，牧草銷(xiāo)售總收入才能超過(guò)總投入？（，）18.過(guò)點(diǎn)作曲線（，常數(shù)，）的切線．切點(diǎn)為，點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線C的切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；……依此類推，得到一系列點(diǎn)，，…，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；（3）求證：．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在（）的條件下，設(shè)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.沈陽(yáng)市第120中學(xué)2003—2024學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘命題人：趙立強(qiáng)劉甫春審題人：孫爽一、單選題；本題共8小題，滿分40分．每小題給出的選項(xiàng)中，只有1頂是符合題目要求的．1.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（）A.﹣2020 B.﹣1010 C.﹣505 D.1010【答案】B【解析】【分析】分組求和，奇數(shù)項(xiàng)和相鄰的偶數(shù)和均為-2，即可求出結(jié)果.【詳解】.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查分組并項(xiàng)求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，進(jìn)而代值計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖象，由導(dǎo)數(shù)的意義和割線的斜率求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠟檫f增函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的意義可知，為曲線在處切線的斜率，所以，又由斜率定義可以，表示割線的斜率，所以，故選：A.4.在等比數(shù)列中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)基本量運(yùn)算求出等比數(shù)列中，從而判斷是等比數(shù)列，最后應(yīng)用求和公式計(jì)算即可.【詳解】令的公比為，因?yàn)?，所以，解?根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以.故選：B.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.6.已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，可得，則有，累加法結(jié)合等比數(shù)列求和公式，計(jì)算.【詳解】，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，即，.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是利用數(shù)列的通項(xiàng)得到，用累加法即可計(jì)算.7.已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)槭枪炔粸?的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以若成等差數(shù)列，則，從而，結(jié)合化簡(jiǎn)得，若成等差數(shù)列，則，即，所以，故當(dāng)時(shí)，有，即“成等差數(shù)列”能推出“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”；反之，滿足不一定是，如，，，滿足，但不滿足，即“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”推不出“成等差數(shù)列”；所以“成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A8.已知數(shù)列滿足，，且（，），設(shè)（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），又，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由經(jīng)過(guò)因式分解后得到遞推關(guān)系，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到；可以表示為兩點(diǎn)之間的距離的平方，根據(jù)和滿足的關(guān)系式，通過(guò)求距離最小值得到的最小值.詳解】因?yàn)椋?，所以，左右兩邊同時(shí)減得，即，左右兩邊同時(shí)除以得，，所以，，則，設(shè)是拋物線上的整點(diǎn)，為直線上的任意一點(diǎn)，則，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)即時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，從而的最小值為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，滿分18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t曲線在點(diǎn)處切線斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，故切線方程為或.故選：BC.10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”：“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球…設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C， D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，歸納可得，由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，則有，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以.，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”，下列敘述正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若數(shù)列是常數(shù)列，，則數(shù)列是周期數(shù)列C.若，則數(shù)列沒(méi)有最小值D.若，則數(shù)列有最大值【答案】BD【解析】【分析】可通過(guò)反例說(shuō)明A錯(cuò)誤；令，可推導(dǎo)得到，由此整理得，知B正確；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況下，根據(jù)的單調(diào)性可確定的單調(diào)性和正負(fù)，由此確定最大值和最小值，知CD的正誤.詳解】對(duì)于選項(xiàng)：例如，則，，可知，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)槭浅?shù)列，可設(shè)，則，可得，又因?yàn)椴皇浅?shù)列，則，可得，整理得：，所以，可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：若，則，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，且單調(diào)遞增，則，所以且單調(diào)遞增，此時(shí)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且單調(diào)遞減，則，所以且單調(diào)遞減，此時(shí)；綜上所述：既有最大值，又有最小值，C錯(cuò)誤；D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，滿分15分．12.已知，則__________．【答案】1024【解析】【分析】對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，令即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，令，可得.故答案為：1024.13.已知，記，，，，則______．【答案】【解析】【分析】多列幾項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律，每四項(xiàng)組合一起求和為，然后每四項(xiàng)組合在一起來(lái)求和.【詳解】解：，，，，，則所以，故答案為：14.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.【答案】【解析】【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）分別求出和的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可；（2）先分別求出切線斜率再根據(jù)平行線斜率相等求參.【小問(wèn)1詳解】由導(dǎo)數(shù)公式得，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得；【小問(wèn)2詳解】由可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，從而切線方程為，即.由，可得曲線在處的切線斜率為，由題意可得，從而，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，即，故符合題意.16.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量的計(jì)算算出公差，公比即可得解.（2）直接由等比數(shù)列公式法、錯(cuò)位相減法求和運(yùn)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)等差數(shù)列等比數(shù)列的公差公比分別為，則由題意有，解得，所以和的通項(xiàng)公式分別為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.17.牧草再生力強(qiáng)，一年可收割多次，富含各種微量元素和維生素，因此成為飼養(yǎng)家畜的首選.某牧草種植公司為提高牧草的產(chǎn)量和質(zhì)量，決定在本年度（第一年）投入40萬(wàn)元用于牧草的養(yǎng)護(hù)管理，以后每年投入金額比上一年減少，本年度牧草銷(xiāo)售收入估計(jì)為30萬(wàn)元，由于養(yǎng)護(hù)管理更加精細(xì)，預(yù)計(jì)今后的牧草銷(xiāo)售收入每年會(huì)比上一年增加．（1）設(shè)n年內(nèi)總投入金額為萬(wàn)元，牧草銷(xiāo)售總收入為萬(wàn)元，求，的表達(dá)式；（2）至少經(jīng)過(guò)幾年，牧草銷(xiāo)售總收入才能超過(guò)總投入？（，）【答案】（1），（2）至少經(jīng)過(guò)3年，牧草總收入超過(guò)追加總投入【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，可得，結(jié)合(1)進(jìn)行化簡(jiǎn)并換元參數(shù)解不等式，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題知，每年的追加投入是以40為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，；同理，每年牧草收入是以30為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年，牧草總收入超過(guò)追加總投入，即，即，令，，則上式化為，即，解得，即，所以，，即，所以，所以，至少經(jīng)過(guò)3年，牧草總收入超過(guò)追加總投入．18.過(guò)點(diǎn)作曲線（，常數(shù)，）的切線．切點(diǎn)為，點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線C的切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；……依此類推，得到一系列點(diǎn)，，…，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；（3）求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解（3）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)列的遞推關(guān)系即可求解；（2）由（1）可得，利用二項(xiàng)式定理放縮即可求解；（3）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法分析證明；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，若切點(diǎn)是，則切線斜率，則切線方程為.①當(dāng)時(shí)