應(yīng)用數(shù)值分析-線性代數(shù)方程組數(shù)值解法

線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——直接法一、階線性代數(shù)方程組二、上（下）方程組與回代（前推）過程1、上三角方程組2、回代過程3、下三角方程組4、前推過程三、順序消去法1、消元過程（1）階方程組經(jīng)次消元后，得到的新的系數(shù)矩陣具有如下形式：（2）在第次，計(jì)算乘數(shù)，則元素的計(jì)算公式為：（3）完成次消元后：2、回代過程3、計(jì)算量估計(jì)（1）第次消元需要進(jìn)行次乘法和次除法：（2）回代過程乘除法次數(shù)：（3）乘數(shù)法總次數(shù)：（4）加減法總次數(shù)：4、要求：系數(shù)矩陣的所有順序主子式四、列主元消去法1、對(duì)于非奇異矩陣，在第一步消元時(shí)，即使的第一個(gè)元素為零，但是的第一列元素中至少有一個(gè)不為零，把這個(gè)不為零的元素所在的行與第一行交換位置，即可進(jìn)行消元。也就說，只要是非奇異的，必要時(shí)加上換行步驟，消去過程總是可以進(jìn)行下去的。2、主元素：消去過程中的元素和回代過程中的元素均起著關(guān)鍵作用，稱為主元素。3、列主元素法：在消元過程的每一步之前，不管主元素是否為零，均從該元素及其所在列的下方元素中選出絕對(duì)值最大的元素，然后將該行與主元素所在行進(jìn)行交換，再開始消元計(jì)算。新的主元素滿足：4、要求：系數(shù)矩陣非奇異五、直接三角法1、矩陣的三角分解（分解）：（1）分解：設(shè)為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個(gè)單位下三角陣和一個(gè)上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的（的第一行與的第一行是相同的）。（2）分解：設(shè)為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個(gè)下三角陣和一個(gè)單位上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的。（3）分解：設(shè)為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個(gè)單位下三角陣、一個(gè)對(duì)角矩陣和一個(gè)單位上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的。2、解法步驟：（1）令已知，通過的元素直接計(jì)算出和的元素；（2）由已知的和解出（下三角方程組，前推過程）中的；（3）由已知的和解出（上三角方程組，回代過程）中的。3、要求：系數(shù)矩陣非奇異，順序主子式六、追趕法1、三對(duì)角方程組：系數(shù)矩陣除了對(duì)角線的“三斜行”以外的元素均為零。2、采用分解：把三對(duì)角方程組的系數(shù)矩陣分解為，其中為單位下三角矩陣，兩斜行，主對(duì)角元素為1，其下方的斜行元素待定；為上三角矩陣，兩斜行，主對(duì)角元素待定，其上方斜行元素與的對(duì)應(yīng)的斜行元素相同。3、解三對(duì)角方程組追趕法（算法）步驟：（1）利用矩陣乘法規(guī)則求出和：（2）求解，得：（3）求解，得：（4）要求：三對(duì)角矩陣非奇異，順序主子式4、（1）嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣：矩陣的每個(gè)對(duì)角元素的絕對(duì)值都比所在行的非對(duì)角元素的絕對(duì)值的和要大，即對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣無零元素時(shí)能實(shí)現(xiàn)追趕法計(jì)算。（充分非必要）（2）弱對(duì)角占優(yōu)矩陣：至少有一個(gè)不等式取等號(hào)成立。七、平方根法1、設(shè)系數(shù)矩陣對(duì)稱正定，則存在一個(gè)實(shí)的下三角矩陣，使得當(dāng)?shù)脑刂蝗≌龝r(shí)，此分解是唯一的。2、解三對(duì)角方程組平方根法（算法）步驟：（1）由矩陣乘法規(guī)則求出（2）由，求出（3）由，求出3、要求：八、消去法1、在消去法把方程組系數(shù)矩陣約化為上三角方程組的基礎(chǔ)上，再把所在這一列的除的其它元素都消為0，并約化。2、求逆矩陣的計(jì)算機(jī)算法：為求階可逆矩陣的逆矩陣，作階矩陣（其中為階單位矩陣），作初等行變換，當(dāng)?shù)淖笠话牖癁闀r(shí)，右一半就是。3、計(jì)算量：（1）乘數(shù)法總次數(shù)：（2）加減法總次數(shù)：九、改進(jìn)的平方根算法1、設(shè)系數(shù)矩陣對(duì)稱且順序主子式，則存在一個(gè)單位下三角矩陣和對(duì)角矩陣，使得且此分解是唯一的。2、改進(jìn)平方根算法步驟：（1）將直接分解為，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，求出和（2）由，求出（3）由，求出3、要求：系數(shù)矩陣對(duì)稱且順序主子式十、直接法誤差分析1、擾動(dòng)誤差分析：對(duì)于方程組，(),設(shè)有誤差，有誤差，因此引起解有誤差，即：（1）與分別有擾動(dòng)和時(shí)：（2）精確（），有擾動(dòng)時(shí)：（3）精確（），有擾動(dòng)時(shí)：當(dāng)很小時(shí)，2、條件數(shù)：（1）設(shè)為非奇異陣，稱為矩陣的條件數(shù)。（2）如果矩陣的條件數(shù)相對(duì)大，就稱是壞條件的或是病態(tài)矩