高三數(shù)學(xué)平面向量知識點與題型總結(jié)(文科)

學(xué)問點歸納一.向量的根本概念及根本運算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小．②零向量：長度為0的向量，記為，其方向是隨意的，及隨意向量平行③單位向量：模為1個單位長度的向量④平行向量（共線向量）：方向一樣或相反的非零向量⑤相等向量：長度相等且方向一樣的向量2、向量加法：設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿意交換律及結(jié)合律；，但這時必需“首尾相連”．3、向量的減法：①相反向量：及長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量②向量減法：向量加上的相反向量叫做及的差，③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4、實數(shù)及向量的積：實數(shù)λ及向量的積是一個向量，記作λ，它的長度及方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向及的方向一樣；當時，λ的方向及的方向相反；當時，，方向是隨意的5、兩個向量共線定理：向量及非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6、平面對量的根本定理：假如是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底二.平面對量的坐標表示1平面對量的坐標表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。2平面對量的坐標運算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則三．平面對量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量及，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做及的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的一定值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度及在方向上的投影的乘積4向量的模及平方的關(guān)系：5乘法公式成立：；6平面對量數(shù)量積的運算律：①交換律成立：②對實數(shù)的結(jié)合律成立：③安排律成立：特殊留意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量及，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量及的夾角cos==當且僅當兩個非零向量及同方向時，θ=00，當且僅當及反方向時θ=1800，同時及其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：假如及的夾角為900則稱及垂直，記作⊥10兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O平面對量數(shù)量積的性質(zhì)【練習題】1、給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a及b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a及b共線．其中假命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a及a0平行，則a＝|a|a0；③若a及a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．33、設(shè)兩個非零向量a及b不共線．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．4、已知兩點A(4,1)，B(7，－3)，則及同向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))5、在△ABC中，M為邊BC上隨意一點，N為AM中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．16、已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.7、已知|a|＝1，|b|＝2，a及b的夾角為120°，a＋b＋c＝0，則a及c的夾角為()A．150°B．90°C．60°D．30°8、已知a及b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b及向量ka－b垂直，則k＝________.9、設(shè)向量a，b滿意|a|＝1，|a－b|＝eq\r(3)，a·(a－b)＝0，則|2a＋b|＝()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)10、已知向量a＝(sinx,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2))).(1)當a⊥b時，求|a＋b|的值；(2)求函數(shù)f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．11、已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－eq\r(3)sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq\r(7)，·＝3，求邊長b和c的值(b>c)．AOMNPB12、如圖，在中，a，b,M為OB的中點，N為AB的中點，P為ON、AM的交點，則等（AOMNPBAabBabCabDab13．△ABC中，AB邊的高為CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b B.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)b D.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b14．(2012·鄭州質(zhì)檢)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)互相垂直，則9x＋3y的最小值為()A．12 B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．615．(2012·山西省四校聯(lián)考)在△OAB(O為原點)中，＝(2cosα，2sinα)，＝(5cosβ，5sinβ)，若·＝－5，則△OAB的面積S＝()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)C．5eq\r(3) D.eq\f(5\r(3),2)16、若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為()．A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．217、已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R，若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則λ＝()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2)D.eq\f(－3±2\r(2),2)18如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．(1)求頂點D的坐標；(2)若＝2，F(xiàn)為AD的中點，求AE及BF的交點I的坐標．．【課后練習題】1．下列等式：①0eq\a\vs4\al(－)a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0eq\a\vs4\al(＝)a；⑤a－b＝a＋(－b)．正確的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5解析：選C2．(2012·福州模擬)若a＋b＋c＝0，則a，b，c()A．都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形B．一定不行能構(gòu)成三角形C．都是非零向量時能構(gòu)成三角形D．一定可構(gòu)成三角形解析：選A3．(2012·威海質(zhì)檢)已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若＋2＝3，則eq\f(||,||)的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：選A4．(2012·海淀期末)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點(靠近B)，則＝()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)－eq\f(2,3)解析：選D5．(2013·揭陽模擬)已知點O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：選A6．已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿意＋＋＝，則點P及△ABC的關(guān)系為()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊所在直線上D．P是AC邊的一個三等分點解析：選D7．(2012·鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________.答案：28．(2013·大慶模擬)已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，，，滿意等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形態(tài)為________．答案：平行四邊形9．設(shè)向量e1，e2不共線，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中全部正確結(jié)論的序號為________．答案：④10．設(shè)i，j分別是平面直角坐標系Ox，Oy正方向上的單位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若點A，B，C在同一條直線上，且m＝2n，務(wù)實數(shù)m，n的值．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝\f(3,2).))7．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝________.答案：48．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q等于________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－13，－23))9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿意的條件是________．答案：k≠110．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若＝2，求點C的坐標．(5，－3)．11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)當k為何實數(shù)時，ka－b及a＋3b平行，平行時它們是同向還是反向？方向相反．12．已知O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t1＝1時，不管t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線．8．已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.答案：3eq\r(2)9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為________．答案：8eq\r(2)10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a及b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c及b同向，且a及c－a垂直，求c.c＝eq\f(1,2)b＝(－1,3)．