高一數(shù)學(xué)必修第一章空間幾何體知識點

第一章空間幾何體1.1空間幾何體的構(gòu)造1.多面體及旋轉(zhuǎn)體：〔1〕由假設(shè)干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱及棱的公共點叫做多面體的頂點.〔2〕由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.2.棱柱：〔1〕有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面〔簡稱底〕，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面及底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.〔2〕側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。〔3〕棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側(cè)棱及底面的關(guān)系分為直棱柱和斜棱柱?！?〕底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱及底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長方體；底面為正方形的長方體叫正四棱柱；棱長都相等的正四棱柱叫正方體?！?〕棱柱的性質(zhì)：①兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；②側(cè)面、對角面都是平行四邊形；③側(cè)棱平行且相等；④平行于底面的截面是及底面全等的多邊形。3.棱錐：〔1〕有一個面是多邊形，其余各面都是有一公共點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.〔2〕底面是正多邊形，頂點在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點及底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高?！?〕棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.〔4〕棱錐的性質(zhì)：①側(cè)面、對角面都是三角形；②平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點到截面間隔及高的比的平方.〔5〕正棱錐的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。②正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形。③正棱錐的側(cè)棱及底面所成的角都相等。④正棱錐的側(cè)面及底面所成的二面角都相等。4.圓柱及圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.5.棱臺及圓臺：〔1〕用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.〔2〕棱臺的性質(zhì)：兩底面所在平面相互平行；兩底面是對應(yīng)邊相互平行的相像多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長線相交于一點.〔3〕圓臺的性質(zhì)：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；隨意兩條母線的延長線交于一點；母線長都相等.〔4〕棱臺及圓臺統(tǒng)稱為臺體.：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.7.簡潔組合體：由簡潔幾何體〔如柱、錐、臺、球等〕組合而成的幾何體叫簡潔組合體.【常見題型】1．如下四個命題：①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且全部側(cè)面都有一個共同的公共點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側(cè)棱所在直線均相交于同一點.其中正確的命題有〔D〕個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．圓錐底面半徑為１，高為，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長．SDEOC1CFDSDEOC1CFD1過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線作圓錐的截面，得圓錐的軸截面，正方體對角面1C1，如下圖.設(shè)正方體棱長為x，則1，C1D1.作于O，則，1，，∴，即.∴，即內(nèi)接正方體棱長為1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.中心投影及平行投影：〔1〕光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影.〔2〕在一束平行光線照耀下形成的投影，稱為平行投影.〔3〕平行投影依據(jù)投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.2.柱、錐、臺、球的三視圖：〔1〕三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面對后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面對右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面對下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖．〔2〕三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3.直觀圖：“直觀圖〞最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出程度放置的直觀圖，其本質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點的位置的畫法.根本步驟如下：〔1〕建系：在圖形中取相互垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為.〔2〕平行不變：圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’或y’軸的線段.〔3〕長度規(guī)則：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.留意：1.“視圖〞是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面對后投影所得的投影圖成為“正視圖〞，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖〞，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖〞.用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何構(gòu)造，稱為“三視圖〞.2.畫三視圖之前，先把幾何體的構(gòu)造弄清晰，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)〔和右側(cè)〕、正上方三個不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象實力.在繪制三視圖時，分界限和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來．3.三視圖中反響的長、寬、高的特點：“長對正〞，“高平齊〞，“寬相等〞．4.空間幾何體的三視圖及直觀圖有親密聯(lián)絡(luò).三視圖從細微環(huán)節(jié)上刻畫了空間幾何體的構(gòu)造，依據(jù)三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用〔零件圖紙、建筑圖紙〕.直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，依據(jù)直觀圖的結(jié)設(shè)想象實物的形象．【常見題型】1．如圖，圖〔1〕是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖.【解】分析：畫三視圖之前，先把幾何體的構(gòu)造弄清晰，確定一個正前方，從三個不同的角度進展視察.在繪制三視圖時，分界限和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來.圖〔1〕為圓柱和正六棱柱的組合體.從三個方向視察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖如下列圖所示.2．畫棱長為4的正方體的直觀圖.【解】分析：依據(jù)斜二測畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫棱，再畫上底面.〔1〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在的直角三角形中取直角邊所在的直線為x軸，及垂直的直線為y軸，畫出對應(yīng)的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.〔2〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作程度放置的正方形的直觀圖，使.第二步，過A作軸，使.分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.1.3空間幾何體的外表積及體積1.3.1柱體、錐體、臺體的外表積及體積1.圓柱：側(cè)面綻開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高〔母線〕，2，2，其中為圓柱底面半徑，為母線長；.2.圓錐：側(cè)面綻開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側(cè)面綻開圖扇形中心角為，，，其中為圓錐底面半徑，為母線長.S為底面面積，h為高〕3.圓臺：側(cè)面綻開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側(cè)面綻開圖扇環(huán)中心角為，，.〔S，分別上、下底面積，h為高〕→〔r、R分別為圓臺上底、下底半徑〕4．柱、錐、臺的外表積及體積的計算公式的關(guān)系外表積相關(guān)公式外表積相關(guān)公式棱柱圓柱〔r：底面半徑，h：高〕棱錐圓錐〔r：底面半徑，l：母線長〕棱臺圓臺〔r：下底半徑，r’：上底半徑，l：母線長〕體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺棱錐圓錐圓臺5．柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進展改變，當(dāng)臺體的上底面漸漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上底面漸漸擴展到及下底面全等時，它就成了柱體.因此體積會有以下的關(guān)系：.【常見題型】1．圓臺的上下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.【解】設(shè)圓臺的母線長為，則，圓臺的上底面面積為，圓臺的上底面面積為，所以圓臺的底面面積為.又圓臺的側(cè)面積，于是，即為所求.2．一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2，3，6，則長方體的體積是.【解】解析：長方體的長寬高分別為，求出的值，再求體積.設(shè)長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為61.3.2球的體積和外表積1.球的體積是對球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的體積2.球的外表積是對球的外表大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的外表積為，它是球的大圓面積的4倍3.用一個平面去截球，所得到的截面是一個圓.【常見題型】1．如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，假如，則球的外表積是A.B.C.D.【解】如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，及平面垂直，是棱錐的高，，，，所以，解得2，則球的外表積是，選D.2．半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，假設(shè)正方體棱長為，求球的外表積和體積．【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截面如下圖，，，設(shè)球半徑為，則∴，∴，．練習(xí)題一、選擇題1有一個幾何體的三視圖如下列圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個()A棱臺B棱錐C棱柱D都不對2棱長都是的三棱錐的外表積為〔〕ABCD3長方體的一個頂點上三條棱長分別是，它的個頂點都在同一球面上，這個球的外表積是〔〕ABCD都不對4正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為〔〕ABCD5一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，則球的外表積是〔〕ＡＢＣＤ6圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側(cè)面積為，則圓臺較小底面的半徑為〔〕AＢＣＤ7下列圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的〔〕〔2〕〔3〕〔4〕A〔1〕B〔2〕C〔3〕D〔4〕8在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是〔〕ABCD9圓柱及圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則〔〕ABCD10假如兩個球的體積之比為,則兩個球的外表積之比為()ABCD11有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下〔單位〕，則該幾何體外表積及體積為：〔〕665A，B，C，D以上都不正確12正方體的全面積為182，則它的體積是〔〕A43；B83；C3；D33。填空題13假設(shè)三個球的外表積之比是，則它們的體積之比是14一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個長方體的對角長是；假設(shè)長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為，則它的體積為15中，，將三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為16等體積的球和正方體,它們的外表積的大小關(guān)系是17圖〔1〕為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由塊木塊堆成;圖〔2〕中的三視圖表示的實物為圖〔2圖〔2〕圖〔1〕18假設(shè)圓錐的外表積為平方米，且它的側(cè)面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為19球的半徑擴大為原來的倍,它的體積擴大為原來的倍20一個直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面上升厘米則此球的半徑為厘米21棱臺的上下底面面積分別為4、16，高為3,則該棱臺的體積為三、解答題22將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的外表積和體積23有一個正四棱臺形態(tài)的油槽，可以裝油，假設(shè)它的兩底面邊長分別等于和，求它的深度為多少？24圓臺的上下底面半徑分別是,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長25如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積參考答案一、選擇題1A從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以推斷是棱臺2A因為四個面是全等的正三角形，則3B長方體的對角線是球的直徑