2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第1課時(shí) 用“SSS”判定三角形全等教學(xué)設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定第1課時(shí)用“SSS”判定三角形全等教學(xué)目標(biāo)課題12.2第1課時(shí)用“SSS”判定三角形全等授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個三角形全等，經(jīng)歷探索“SSS”的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納及動手能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀感知能力與推理能力.2.能用尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形；作一個角等于已知角，培養(yǎng)學(xué)生分析與作圖能力.教學(xué)重點(diǎn)“SSS”的探索與運(yùn)用，兩種尺規(guī)作圖教學(xué)難點(diǎn)用“SSS”判定三角形全等的探究過程教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：提出疑問，引入新課設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生明確探究方向是尋求使三角形全等的簡捷條件，從而引入新課【問題引入】我們知道，如果△ABC≌△A′B′C′，那么它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.反過來，根據(jù)全等三角形的定義，如果△ABC與△A′B′C′滿足三條邊分別相等，三個角分別相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，就能判定△ABC≌△A′B′C′（如圖）.一定要滿足三條邊分別相等，三個角也分別相等，才能保證兩個三角形全等嗎？上述六個條件中，有些條件是相關(guān)的.能否在上述六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等呢？本節(jié)我們就來討論這個問題.【教學(xué)建議】所謂“相關(guān)”，如全等三角形的兩個對應(yīng)角相等，則由三角形內(nèi)角和定理可知第三個對應(yīng)角也相等.通過這種相關(guān)關(guān)系產(chǎn)生疑問，試圖從六個條件中選擇部分條件進(jìn)行證明，從而明確探究目標(biāo).活動二：合作交流，新知探究設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生經(jīng)歷一個或兩個條件無法證明三角形全等的過程，經(jīng)歷探索三角形全等的條件——“SSS”的過程，明白尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形的原理并學(xué)會作圖方法，以及利用“SSS”進(jìn)行簡單的證明..探究點(diǎn)1用“SSS”判定三角形全等探究1先任意畫一個△ABC.再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件中的一個(一邊或一角分別相等)或兩個(兩邊、一邊一角或兩角分別相等).你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？答：畫法不唯一，如下所示：一邊或一角分別相等：兩邊、一邊一角或兩角分別相等：【教學(xué)建議】通過探究1讓學(xué)生從滿足上述六個條件中的一個或兩個入手，探究在這樣的情形下能否保證兩個三角形全等.其中“一邊一角”只畫出一種情況，另一種角是邊的對角的情況可讓學(xué)生自己動手畫圖探究.教學(xué)步驟師生活動通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個條件中的一個或兩個，△ABC與△A′B′C′不一定全等.滿足上述六個條件中的三個有哪些情況？它們能保證△ABC與△A′B′C′全等嗎？答：有三邊分別相等、兩邊一角分別相等、兩角一邊分別相等、三角分別相等四種情況.下面我們分情況討論△ABC與△A′B′C′是否全等.探究2先任意畫出一個△ABC.再畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？如圖給出了畫△A′B′C′的方法，你是這樣畫的嗎？探究2的結(jié)果反映了什么規(guī)律？由探究2可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個三角形全等：注意：在列舉兩個三角形全等的條件時(shí)，一般是把同一個三角形的三個元素放在等號的同一側(cè)，并用大括號括起來.我們曾經(jīng)做過這樣的實(shí)驗(yàn)：將三根木條釘成一個三角形木架，這個三角形木架的形狀、大小就不變了．就是說，三角形三條邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小也就確定了.例(教材P36例1)在如圖所示的三角形鋼架中，AB＝AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證△ABD≌△ACD.分析：要證△ABD≌△ACD，只需看這兩個三角形的三條邊是否分別相等.證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS).證明全等的書寫步驟：準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P37練習(xí)第1～2題.【教學(xué)建議】探究2設(shè)計(jì)了一個作圖實(shí)驗(yàn)：已知三邊作三角形，這是一種重要的作圖，在幾何中用途很多，這里采用了尺規(guī)作圖法，利用作一條線段等于已知線段的基本作圖．作出一邊B′C′后，就有了三角形的兩個頂點(diǎn)B′，C′，確定第三個頂點(diǎn)A′是關(guān)鍵．實(shí)際上該點(diǎn)是兩個圓的交點(diǎn)，這里只畫出了一個交點(diǎn)，兩弧在直線B′C′的另一側(cè)還有一個交點(diǎn)，因此可以畫出兩個三角形與△ABC完全重合．這里需讓學(xué)生充分經(jīng)歷上述探究過程，再將“SSS”作為基本事實(shí)提出.【教學(xué)建議】設(shè)置例題讓學(xué)生應(yīng)用“SSS”證明全等，這是學(xué)生第一次遇到全等問題的證明，先用分析法分析思路，然后在證明過程中演示證明格式，要讓學(xué)生注意體會、模仿．從例1可以看出，證明是由題設(shè)(已知)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)論(求證)正確的過程．書寫中注意對應(yīng)頂點(diǎn)要寫在同一個位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖引入尺規(guī)作圖——作一個角等于已知角的方法并分析其原理，引導(dǎo)學(xué)生掌握.探究點(diǎn)2用尺規(guī)作一個角等于已知角由三邊分別相等判定三角形全等的結(jié)論，還可以得到用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的方法.問題：想一想，為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？答：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，根據(jù)“邊邊邊”可知△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′＝∠AOB.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，用尺規(guī)作出∠OBF＝∠AOB，所畫痕跡弧MN是（D）A.以點(diǎn)B為圓心，OD的長為半徑的弧B.以點(diǎn)C為圓心，CD的長為半徑的弧C.以點(diǎn)E為圓心，OD的長為半徑的弧D.以點(diǎn)E為圓心，CD的長為半徑的弧【教學(xué)建議】作一個角等于已知角是課標(biāo)要求的能用尺規(guī)完成的基本作圖，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．注意引導(dǎo)學(xué)生從作圖步驟中體會其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，自行歸納出角相等是利用“SSS”得出的，從而加深對尺規(guī)作圖及原理的理解．活動三：綜合練習(xí)，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖考查找尋邊相等的條件應(yīng)用“SSS”判定三角形全等，提升學(xué)生對知識的掌握程度及用“SSS”證三角形全等的熟練程度.例如圖，AF＝DC，EF＝BC，AB＝DE，求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS).【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC，求證：△ABC≌△EDC.證明：∵C是BD的中點(diǎn)，∴BC＝DC.在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝ED，,AC＝EC，,BC＝DC，))∴△ABC≌△EDC(SSS).【教學(xué)建議】證明三角形全等時(shí)，往往三個條件不會直接給出，需通過推理得到，常遇到的由已知推出全等條件的情況有：利用中點(diǎn)的定義或線段的和(差)證明線段相等，利用垂直的定義、角平分線、三角形內(nèi)角和定理或角的和(差)證明角相等(后面會利用到角相等的條件去證全等).活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.用一個條件能證明兩個三角形全等嗎？兩個條件呢？2.什么是“SSS”？你能用“SSS”判定兩個三角形全等嗎？3.你能用尺規(guī)作圖的方法已知三邊作三角形嗎？能作一個角等于已知角嗎？【知識結(jié)構(gòu)】教學(xué)步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P43～44習(xí)題12.2第1，2，9題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)12.2三角形全等的判定第1課時(shí)用“SSS”判定三角形全等 1.基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個三角形全等(“邊邊邊”或“SSS”). 2.尺規(guī)作圖：已知三邊作三角形；作一個角等于已知角. 3.實(shí)際應(yīng)用：用“SSS”判定三角形全等．教學(xué)反思本節(jié)課是三角形全等判定的第一課，主要講的是如何利用“邊邊邊”的條件證明兩個三角形全等．通過學(xué)生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結(jié)論——“邊邊邊”．在這個過程中，學(xué)生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時(shí)增強(qiáng)了數(shù)學(xué)體驗(yàn)．學(xué)生掌握了全等三角形的判定方法，并且能靈活運(yùn)用，就能為以后學(xué)習(xí)特殊四邊形、圓等知識打下良好的基礎(chǔ).解題大招一用“SSS”判定三角形全等時(shí)找尋等邊的方法①根據(jù)中點(diǎn)(或中線)的定義得相等線段；②公共邊相等；③等長線段加(或減)等長線段，其和(或差)仍相等；④全等三角形的對應(yīng)邊相等．例1如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，求證：△ABC≌△AED.分析：逆向思維：△ABC≌△AED→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE→已知,AC＝AD→已知,BC＝ED→可由BD＝CE推得))證明：∵BD＝CE，∴BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,AB＝AE，,BC＝ED，))∴△ABC≌△AED(SSS)．解題大招二用“SSS”判定三角形全等解決實(shí)際問題當(dāng)題目中沒有給出任何角的度數(shù)，要證明線段垂直或者某個角等于90°時(shí)，常常利用“平角＋一對等角”或者“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)＋一對等角”等解決問題．而用“SSS”判定三角形全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)得到一對等角是當(dāng)前階段證明角相等的方式之一．例2如圖是工人師傅自己設(shè)計(jì)的測量水平的儀器．儀器中的AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，當(dāng)鉛垂線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，工人師傅就斷定BC與地面平行．工人師傅的判斷有道理嗎？請說明理由．解：工人師傅的判斷有道理．理由如下：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠ADB＝∠ADC.∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴AD⊥BC.又AD與地面垂直，∴BC與地面平行．解題大招三全等三角形的判定方法“SSS”與性質(zhì)的綜合學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，經(jīng)常會遇到判定和性質(zhì)綜合在一起考查，而利用性質(zhì)去得到等線段、等角的先決條件就是先找到全等三角形．當(dāng)前我們學(xué)習(xí)了“SSS”的判定方法，其中某些邊相等的條件隱藏在題設(shè)或圖形中，比如公共邊相等，有時(shí)候還可能會需要作輔助線解題．例3如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求證：∠BAD＋∠ADC＝180°.證明：如圖，連接AC.在△ADC和△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝AB，,AD＝CB，,AC＝CA，))∴△ADC≌△CBA(SSS)，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.例4如圖，AE＝CF，AD＝BC，E，F(xiàn)為BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF，若∠AED＝60°，∠ADB＝30°，求∠BCF的度數(shù)．解：∵BE＝DF，∴BE＋EF＝DF＋EF，即BF＝DE.在△BCF和△DAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DA，,BF＝DE，,CF＝AE，))∴△BCF≌△DAE(SSS)，∴∠CBF＝∠ADB＝30°，∠CFB＝∠AED＝60°，∴∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFB＝180°－30°－60°＝90°.培優(yōu)點(diǎn)一在網(wǎng)格中利用“SSS”找尋全等三角形的個數(shù)例1在如圖所示的6×5的網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形(即頂點(diǎn)恰好是小正方形的頂點(diǎn))，則與△ABC有一條公共邊BC且全等的所有格點(diǎn)三角形的個數(shù)是3.解析：所求格點(diǎn)三角形如圖所示，共有3個．培優(yōu)點(diǎn)二“SSS”與三角形三邊關(guān)系的綜合運(yùn)用例2如果將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連接，就能構(gòu)成一個平面圖形．如圖①是一個四邊形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.(1)扭動這個木架，四邊形的形狀就會改變，這說明了什么？(2)如圖②，若量得第四根木條CD＝5cm，則此時(shí)∠B與∠D是否相等？請說明理由．(3)在扭動這個木架的過程中，當(dāng)測得A，C之間的距離為6cm時(shí)，若CD的長度是整數(shù)，則CD的長應(yīng)為多少