人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）同步講義 1.1集合的概念（原卷版）

第第頁(yè)第01講1.1集合的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.元素與集合①理解元素與集合的概念，熟練常用數(shù)集的概念及其記法.②了解“屬于”關(guān)系的意義.③了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列舉法、描述法及相互轉(zhuǎn)化).3.元素的性質(zhì)理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、無(wú)序性、互異性.1.通過(guò)集合語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.2.通過(guò)實(shí)例能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)來(lái)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用.知識(shí)點(diǎn)01：集合的含義一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示集合.

知識(shí)拓展集合的三個(gè)特性：①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說(shuō)明.②廣泛性：凡是看得見(jiàn)、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對(duì)象.③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.【即學(xué)即練1】下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)知識(shí)點(diǎn)02：元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的元素，就說(shuō)SKIPIF1<0屬于SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0.(2)不屬于(notbelongto)：如果SKIPIF1<0不是集合SKIPIF1<0的元素，就說(shuō)SKIPIF1<0不屬于SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0.特別說(shuō)明：SKIPIF1<0表示一個(gè)元素，SKIPIF1<0表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：SKIPIF1<0.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有固定順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒(méi)有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無(wú)序性.【即學(xué)即練2】下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)03：集合的表示方法與分類1常用數(shù)集及其符號(hào)常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02集合的表示方法（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z(yǔ)言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“SKIPIF1<0”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)SKIPIF1<0表示一個(gè)集合，把集合SKIPIF1<0中所有具有共同特征SKIPIF1<0的元素SKIPIF1<0所組成的集合表示為SKIPIF1<0，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）SKIPIF1<0（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為SKIPIF1<0圖。3集合的分類根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無(wú)限集.（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在SKIPIF1<0圖中來(lái)表示.（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合是無(wú)限集，如不等式SKIPIF1<0的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)，故為無(wú)限集.通常用描述法表示?！炯磳W(xué)即練3】已知①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③0={0}；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.知識(shí)點(diǎn)04：集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：SKIPIF1<0,例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即學(xué)即練4】集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)m=________.題型01判斷元素能否構(gòu)成集合【典例1】下列各對(duì)象可以組成集合的是（

）A．與SKIPIF1<0非常接近的全體實(shí)數(shù)B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校SKIPIF1<0學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．高一年級(jí)很有才華的老師【典例2】下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．SKIPIF1<0年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于SKIPIF1<0的正整數(shù)【變式1】下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)題型02判斷是否為同一集合【典例1】判斷下列命題是否正確．（1）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（2）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（3）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0不表示同一集合；()（4）集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0表示同一集合．()【典例2】下列說(shuō)法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是同一個(gè)集合C．集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0是同一個(gè)集合D．集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0是同一個(gè)集合【變式1】設(shè)SKIPIF1<0是有理數(shù)，集合SKIPIF1<0，在下列集合中；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；與SKIPIF1<0相同的集合有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型03判斷元素與集合的關(guān)系【典例1】已知集合SKIPIF1<0下列關(guān)系正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）已知集合SKIPIF1<0，則下列關(guān)系式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M題型04根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【典例1】已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【典例2】若集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0___________.【變式1】已知SKIPIF1<0，則a的值為_(kāi)_____．【變式2】集合SKIPIF1<0中所有元素之和為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0________．題型05根據(jù)集合元素互異性求參數(shù)【典例1】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【典例2】已知集合SKIPIF1<0中的元素1，4，SKIPIF1<0，且實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.【變式1】已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0構(gòu)成的集合SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】已知集合SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0______．題型06自然語(yǔ)言法【典例1】用自然語(yǔ)言描述下列集合：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.題型07列舉法【典例1】集合SKIPIF1<0用列舉法表示為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】方程組SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】設(shè)集合SKIPIF1<0，則用列舉法表示集合SKIPIF1<0為_(kāi)_____.【變式1】集合SKIPIF1<0，用列舉法表示為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用列舉法表示集合SKIPIF1<0_____________．題型08描述法【典例1】用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．（3）大于4的所有偶數(shù)．【典例2】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0可用集合表示為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1】表示下列集合：(1)請(qǐng)用列舉法表示方程SKIPIF1<0的解集；(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．題型09兩個(gè)集合相等問(wèn)題【典例1】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【典例2】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【變式1】設(shè)集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0題型10根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【典例1】已知集合SKIPIF1<0的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0或0 D．無(wú)解【典例2】已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的SKIPIF1<0取值范圍.【變式1】已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0的取值范圍.題型11常見(jiàn)數(shù)集或數(shù)集關(guān)系的應(yīng)用【典例1】下列表示正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）下列關(guān)系式正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0A．5 B．4 C．3 D．2題型12新定義題【典例1】（多選）若對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】定義SKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式1】定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且SKIPIF1<0∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問(wèn)數(shù)集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．本節(jié)重點(diǎn)方法分類討論法【典例1】（多選）關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解集中只含有一個(gè)元素，則SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1】已知集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）1是SKIPIF1<0中的一個(gè)元素，用列舉法表示SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，試求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式1】已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是空集，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0中至多有一個(gè)元素，求SKIPIF1<0的取值范圍.1.1集合的概念A(yù)夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．設(shè)有下列關(guān)系：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正確的個(gè)數(shù)為．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．集合SKIPIF1<0中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．4 C．5 D．63．方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若SKIPIF1<0，則a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－15．已知集合M=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{SKIPIF1<0，2，3，4}6．由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若集合SKIPIF1<0中只有一個(gè)元素，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．0或SKIPIF1<08．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}二、多選題9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0表示同一個(gè)集合B．集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0與SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示同一個(gè)集合C．方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示為SKIPIF1<0D．集合SKIPIF1<0不能用列舉法表示10．已知集合SKIPIF1<0，則有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．已知集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_(kāi)________．12．集合SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)________．四、解答題13.用適當(dāng)方法表示下列集合：（1）從1，2，3這三個(gè)數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒(méi)有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；（2）方程SKIPIF1<0+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函數(shù)y＝3x2+1圖象上所有點(diǎn)組成的集合.14．已知集合SKIPIF1<0為小于6的正整數(shù)}，SKIPIF1<0為小于10的素?cái)?shù)}，集合SKIPIF1<0為24和36的正公因數(shù)}．（1）試用列舉法表示集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（2）試用列舉法表示集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．B能力提升1．已知集合SKIPIF1<0，則C集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．43．（多選）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．設(shè)關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0