解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

解析幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)第一部分:直線直線的傾斜角與斜率傾斜角α(1)定義：直線l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)范圍：〔0,180〕2.斜率：直線傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.k=tanα〔1〕.傾斜角為90°的直線沒(méi)有斜率?！?〕.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率〔直線垂直于軸時(shí)，其斜率不存在)，這就確定了我們?cè)谔接懼本€的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種狀況，否則會(huì)產(chǎn)生漏解?！?〕設(shè)經(jīng)過(guò)A〔x1,y1〕與B〔x2,y2〕兩點(diǎn)的直線的斜率為K，則當(dāng)X1≠X2時(shí)，k=tanα=Y1-Y2/X1-X2；當(dāng)X1=X2時(shí)，α=90°；斜率不存在；二、直線的方程1.點(diǎn)斜式：直線上一點(diǎn)P〔x0,y0〕及直線的斜率k〔傾斜角α〕求直線的方程用點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)留意：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為x=x0；斜截式：假設(shè)直線在y軸上的截距〔直線與y軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)〕為，斜率為，則直線方程：y=kx+b；特殊地，斜率存在且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程為：y=kx留意：正確理解“截距〞這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“間隔〞有區(qū)分。3.兩點(diǎn)式：假設(shè)直線經(jīng)過(guò)〔x1,y1〕與〔x2,y2〕兩點(diǎn)，且〔X1≠X2，y1≠y2〕則直線的方程：；留意：①不能表示與x軸與y軸垂直的直線；②當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫(xiě)成如下形式時(shí)，方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。4截距式：假設(shè)直線在軸，軸上的截距分別是a，b〔a≠0，b≠0〕則直線方程：；留意：1〕.截距式方程表不能表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。2〕.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a5一般式：任何一條直線方程均可寫(xiě)成一般式：Ax+By+C=0；〔A,B不同時(shí)為零〕；反之，任何一個(gè)二元一次方程都表示一條直線。兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直設(shè)兩直線的方程分別為：或；當(dāng)或時(shí)它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或解；點(diǎn)到直線的間隔公式：點(diǎn)P(X0，Y0)到直線L:Ax+By+C=0的間隔為：；L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的間隔為：；六、直線系：〔1〕設(shè)直線L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，經(jīng)過(guò)L1,L2的交點(diǎn)的直線方程為〔除去L2〕；如：①Y=kx+1→y-1-kx=0，即也就是過(guò)y-1=0與x=0的交點(diǎn)(0,1)除去x=0的直線方程。②直線L:〔m-1〕x+〔2m-1〕y=m-5恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)?！?〕與L:Ax+By+C=0平行的直線為Ax+By+C1=0〔3〕與L:Ax+By+C=0垂直的直線為Bx-Ay+C1=0；七、對(duì)稱問(wèn)題：〔1〕中心對(duì)稱：①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)A〔a.b〕關(guān)于C〔c,d〕的對(duì)稱點(diǎn)〔2c-a,2d-b〕②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：Ⅰ、在直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；Ⅱ、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用L1//L2由點(diǎn)斜式得出直線方程；Ⅲ、利用點(diǎn)到直線的間隔相等。求出直線方程。如：求與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程。〔2〕軸對(duì)稱：①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：Ⅰ、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是直線斜率的負(fù)倒數(shù)。Ⅱ、求出過(guò)該點(diǎn)與直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的坐標(biāo)。②直線關(guān)于直線對(duì)稱：〔設(shè)關(guān)于對(duì)稱〕Ⅰ、假設(shè)相交，則a到L的角等于b到L的角；假設(shè)a∥L，則b∥L，且與L的間隔相等。Ⅱ、求出a上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。Ⅲ、設(shè)為所求直線直線上的隨意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)相宜的方程。如：求直線關(guān)于對(duì)稱的直線的方程。第二部分：圓與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心，半徑特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的間隔為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上d=r；(2)點(diǎn)在圓外d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r．2.給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外2.3圓的一般方程：.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形〔稱虛圓〕.注：〔1〕方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑系方程：AB是圓的直徑2.4直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的間隔，((1)；(2)；〔3〕。2.5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2.6圓的切線方程：直線與圓相切的性質(zhì)：(1)圓心到直線間隔等于半徑r；〔2〕圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直〔斜率互為負(fù)倒數(shù)〕過(guò)確定點(diǎn)做圓的切線要分成兩種狀況：點(diǎn)在圓上與點(diǎn)在圓外。假設(shè)點(diǎn)在圓上則切線只有一條，利用性質(zhì)〔2〕可求切線斜率，再點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程。假設(shè)點(diǎn)在圓外則切線有兩條，用性質(zhì)〔1〕來(lái)求出切線斜率，此時(shí)留意切線斜率是否存在的分類(lèi)探討。2.7圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題：半弦、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形，滿意勾股定理：第三部分:橢圓一．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間隔的與等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的間隔叫橢圓的焦距2c。〔時(shí)為線段，無(wú)軌跡〕。2．標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在x軸上：〔a＞b＞0〕；焦點(diǎn)F〔±c，0〕②焦點(diǎn)在y軸上：〔a＞b＞0〕；焦點(diǎn)F〔0,±c〕留意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；②一般形式表示：或者二．橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)：〔1〕橢圓〔a＞b＞0〕橫坐標(biāo)-a≤x≤a,縱坐標(biāo)-b≤x≤b〔2〕橢圓〔a＞b＞0〕橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a橢圓關(guān)于x軸y軸都是對(duì)稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心〔1〕橢圓的頂點(diǎn)：A1〔-a，0〕，A2〔a，0〕，B1〔0，-b〕，B2〔0，b〕〔2〕線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a，短軸長(zhǎng)等于2b，a與b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)。4．離心率我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即稱為橢圓的離心率，

記作e〔〕，e越接近于0〔e越小〕，橢圓就越接近于圓;e越接近于1〔e越大〕，橢圓越扁；5．橢圓的的內(nèi)外部〔1〕點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.〔2〕點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì)〔1〕通徑〔過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦〕〔2〕焦點(diǎn)三角形〔橢圓上的隨意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形〕：其中7直線與橢圓的位置關(guān)系：推斷方法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，依據(jù)判別式的符號(hào)推斷位置關(guān)系：弦中點(diǎn)問(wèn)題:〔用點(diǎn)差法解決—〕斜率為k的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則：弦長(zhǎng)公式：第四部分：雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程〔焦點(diǎn)在軸〕標(biāo)準(zhǔn)方程〔焦點(diǎn)在軸〕定義第確定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的間隔的差確實(shí)定值是常數(shù)〔小于〕的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的間隔叫焦距。PPPP范圍，，對(duì)稱軸軸，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)〔,0〕(,0)(0,,)(0，)離心率1)重要結(jié)論〔1〕通徑〔過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦〕〔2〕焦點(diǎn)三角形：漸近線方程共漸近線的雙曲線系方程〔〕〔〕補(bǔ)充學(xué)問(wèn)點(diǎn)：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：〔1〕半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)；〔2〕其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C≠0；〔3〕離心率；〔4〕漸近線：兩條漸近線y=±x相互垂直；第五部分：拋物線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)圖象xxyOlFxxyOlFllFxyOxxyOlF定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的間隔相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的間隔}范圍對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的間隔焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，，消y得：

〔1〕當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；

〔2〕當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；Δ=0，直線與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)；Δ＜0，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。假設(shè)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎〔不愿定〕關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題常用途理方法直線：拋物線，聯(lián)立方程法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)