專題04點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專題04點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系知識梳理：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d表示點(diǎn)到圓心的距離，r為圓的半徑．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r點(diǎn)在圓上d＝r點(diǎn)在圓外d＞r2、圓的確定：①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．如圖所示．3、三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以畫一個圓，并且只能畫一個．經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心．這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)．它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑．如圖所示．點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系例題講解類型一：直接判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例1】若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)A在圓外B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓內(nèi)D.不能確定【例2】若⊙P的半徑為13，圓心P的坐標(biāo)為(5，12)，則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是()A.在⊙P內(nèi)B.在⊙P上C.在⊙P外D.無法確定【例3】在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C為圓心，以2cm為半徑作圓，則點(diǎn)A在⊙C_____；點(diǎn)B在⊙C________；若以AB為直徑作⊙O，則點(diǎn)C在⊙O_______．【例4】⊙O的半徑為2，圓心到點(diǎn)P的距離為d，且d是方程的根，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外部D．不能確定【例5】矩形ABCD中，AB＝10，BC＝42，點(diǎn)P在邊AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PD長為半徑的圓，那么下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在⊙P外 B．點(diǎn)B在⊙P外，點(diǎn)C在⊙P內(nèi) C．點(diǎn)B在⊙P內(nèi)，點(diǎn)C在⊙P外 D．點(diǎn)B、C均在⊙P內(nèi)題型二：已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定半徑等條件【例1】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑畫圓P．（1）當(dāng)點(diǎn)M在圓P外時，求CD的長的取值范圍；（2）當(dāng)點(diǎn)M在圓P上時，求CD的長；（3）當(dāng)點(diǎn)M在圓P內(nèi)時，求CD的長的取值范圍．【例2】在Rt△ABC中，，，，如果以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外，那么圓C半徑r的取值范圍為__________．【例3】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以點(diǎn)A為圓心作圓A，要使B、C兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓A外，另一點(diǎn)在圓A內(nèi)，那么圓A的半徑長r的取值范圍是．【例4】如圖，在每個小正方形的邊長均為1的5×5的網(wǎng)格中，選取7個格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），若以點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．3＜r＜10 B．2＜rC．10＜r＜13 D．【例5】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，﹣4）．如果以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值可以?。ǎ〢．5 B．4 C．3 D．2【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點(diǎn)A，B，C中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是()A．3＜r＜4 B．3＜r＜5C．3≤r≤5 D．r＞4類型三：點(diǎn)到圓上的最值問題【例1】一個點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為________【例2】已知點(diǎn)P到圓O的最小距離為a，最大距離為b，則圓O的半徑為__．或【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D是半徑為1的⊙A上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，則線段BE長度的最小值為．【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D是半徑為4的⊙A上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則BM的最大值是．【例5】在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動，求PF2＋PG2的最小值．類型四：利用三角形外接圓性質(zhì)確定圓心【例1】如圖，點(diǎn)A，B，C均在6×6的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)外還能經(jīng)過的格點(diǎn)數(shù)為____．解：如圖【例2】如圖，△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是____．（5，2）【例3】△ABC的外心在三角形的內(nèi)部，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【例4】當(dāng)點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為．【例5】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點(diǎn)A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），確定一個圓，（填“能”或“不能”）．【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(－6，－4)，C(2，－4)．(1)求△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)；(2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長．類型五：計(jì)算三角形外接圓半徑和相關(guān)度數(shù)問題【例1】小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A，B，C，小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上.(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，試求小明家圓形花壇的面積.【例2】如圖，△ABC中，∠A＝70°，O為△ABC的外心，則∠BOC的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．135° D．140°【例3】一個直角三角形的兩條邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【例4】如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥AC交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)O．若OA＝3，則△ABC外接圓的面積為（）A．3π B．4π C．6π D．9π【例5】如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點(diǎn)（0，3）（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB外接圓的面積．【例6】在等邊△ABC中，D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)P．若△BCD的面積是12，BE＝6，∠APB＝120°，則△ABP的外接圓的半徑長為．．．類型六：外接圓相關(guān)知識點(diǎn)綜合大題【例1】如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面內(nèi)不與A，B，C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求證：△ABD≌△CBE；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BECD的形狀，并證明你的結(jié)論.【例2】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB＝α，∠C＝β.(1)當(dāng)β＝36°時，求α的度數(shù)；(2)猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明.【例3】如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，點(diǎn)D是△ABC高線的交點(diǎn)，連接AD，BD，CD，則∠ADB的度數(shù)為，CD的長為．120°；．【例4】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．（3）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)O，設(shè)CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代數(shù)式表示）課后練習(xí)題：1、已知⊙A半徑為5，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4），則點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙A上B．點(diǎn)P在⊙A內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙A外D．不能確定2、⊙O的半徑是R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點(diǎn)（）A．在⊙O內(nèi)或在⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或在⊙O上3、P為⊙O所在平面一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O的最短距離為3，最長距離為5，則⊙O的半徑為（）A．2B．4C．1或4D．2或84、已知⊙O和直線l，過圓心O作OP⊥l，P為垂足，A，B，C為直線l上三個點(diǎn)，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，若⊙O的半徑為5，OP＝4，判斷A，B，C三點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系．5、小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（）A．① B．② C．③ D．④6、如圖，圓O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于圓O．若∠A＝60°，∠B＝75°，則AB＝．7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長為．8．已知直角三角形的兩直角邊的長分別為5cm和2cm，則它的外接圓半徑為cm．9、在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為5，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a，⊙A的半徑為3，要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＞8 C．2＜a＜8 D．a(chǎn)＜2或a＞810、在直角坐標(biāo)系中，M（2，0），⊙M的半徑為4，那么點(diǎn)P（﹣2，3）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)P在圓外．11、如圖所示，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，AD＝4cm．（1）以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系如何？（2）若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？12、如圖，一段圓弧與長度為1的正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)是A、B、C．（1）請完成以下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)，垂直和水平方向?yàn)檩S，網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD；（2）請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：⊙D的半徑為；點(diǎn)（6，﹣2）在⊙D；（填“上”、“內(nèi)”、“外”）∠ADC的度數(shù)為．專題04點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系知識梳理：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d表示點(diǎn)到圓心的距離，r為圓的半徑．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r點(diǎn)在圓上d＝r點(diǎn)在圓外d＞r2、圓的確定：①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．如圖所示．3、三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以畫一個圓，并且只能畫一個．經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心．這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)．它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑．如圖所示．點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系例題講解類型一：直接判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例1】若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)A在圓外B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓內(nèi)D.不能確定【答案】C【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d=4，r=5，d＜r，所以點(diǎn)在圓內(nèi)?！纠?】若⊙P的半徑為13，圓心P的坐標(biāo)為(5，12)，則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是()A.在⊙P內(nèi)B.在⊙P上C.在⊙P外D.無法確定【答案】B【解析】根據(jù)坐標(biāo)公式結(jié)合勾股定理，OP=13，d=r，所以點(diǎn)在圓上?！纠?】在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C為圓心，以2cm為半徑作圓，則點(diǎn)A在⊙C_____；點(diǎn)B在⊙C________；若以AB為直徑作⊙O，則點(diǎn)C在⊙O_______．【答案】上；外；上【解析】∵⊙C的半徑為2cm，而cm，cm，∴點(diǎn)A在⊙C上；點(diǎn)B在⊙C外；∵點(diǎn)C到AB的中點(diǎn)的距離等于，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上．【例4】⊙O的半徑為2，圓心到點(diǎn)P的距離為d，且d是方程的根，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外部D．不能確定【答案】B【解析】解方程的兩根，得：x=4或﹣2所以d=4或﹣2(舍去)，當(dāng)R=4，d=4時，點(diǎn)P在⊙O上【例5】矩形ABCD中，AB＝10，BC＝42，點(diǎn)P在邊AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PD長為半徑的圓，那么下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在⊙P外 B．點(diǎn)B在⊙P外，點(diǎn)C在⊙P內(nèi) C．點(diǎn)B在⊙P內(nèi)，點(diǎn)C在⊙P外 D．點(diǎn)B、C均在⊙P內(nèi)【答案】A【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝42，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝42，∴DP=AD在Rt△PBC中，CP=BP2+BC2=64+32=46，故選：A．題型二：已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定半徑等條件【例1】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑畫圓P．（1）當(dāng)點(diǎn)M在圓P外時，求CD的長的取值范圍；（2）當(dāng)點(diǎn)M在圓P上時，求CD的長；（3）當(dāng)點(diǎn)M在圓P內(nèi)時，求CD的長的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）取CD的中點(diǎn)P，連接MP，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴MP是梯形ABCD的中位線．∵，，∴，∵點(diǎn)M在圓P外，∴，即，∴；（2）∵點(diǎn)M在圓P上，∴，即，∴；（3）∵點(diǎn)M在圓P內(nèi)，∴，即，∴．【例2】在Rt△ABC中，，，，如果以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外，那么圓C半徑r的取值范圍為__________【答案】【解析】如果以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則，點(diǎn)B在圓C外，則，因而圓C半徑r的取值范圍為．【例3】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，以點(diǎn)A為圓心作圓A，要使B、C兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓A外，另一點(diǎn)在圓A內(nèi)，那么圓A的半徑長r的取值范圍是．【答案】故答案為3＜r＜6；【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝33，∴AB＝6，如果以點(diǎn)A為圓心作圓，使點(diǎn)C在圓A內(nèi)，則r＞3，點(diǎn)B在圓A外，則r＜6，因而圓A半徑r的取值范圍為3＜r＜6．【例4】如圖，在每個小正方形的邊長均為1的5×5的網(wǎng)格中，選取7個格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），若以點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的取值范圍是（）A．3＜r＜10 B．2＜rC．10＜r＜13 D．【答案】D．【解析】解：給各點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖所示．∵AB=12+22AE=所以以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個在圓內(nèi)，這三個點(diǎn)只能為B、C、D點(diǎn)，∴5【例5】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，﹣4）．如果以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，﹣4），∴OA=3OB=3∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，∴13＜∴r＝4符合要求．故選：B．【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點(diǎn)A，B，C中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是()A．3＜r＜4 B．3＜r＜5C．3≤r≤5 D．r＞4【答案】B【解析】先由勾股定理算出BD=5，要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷，所以保證A點(diǎn)在圓內(nèi)，B點(diǎn)在圓外就滿足題目條件，故選擇B類型三：點(diǎn)到圓上的最值問題【例1】一個點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為________【答案】3cm或8cm【解析】當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是16cm，因而半徑是8cm；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是6cm，因而半徑是3cm．【例2】已知點(diǎn)P到圓O的最小距離為a，最大距離為b，則圓O的半徑為__．【答案】或【解析】解：若點(diǎn)P在圓O外，則最大距離為PO﹢r（r為圓的半徑），最小距離為PO﹣r，即PO﹢r=a，PO﹣r=b，相減得；若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則最大距離為PO﹢r（r為圓的半徑），最小距離為r﹣PO，即PO﹢r=a，r﹣PO=b，相加得.【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D是半徑為1的⊙A上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，則線段BE長度的最小值為．【答案】2【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∵AN＝NC，∴BN=12AC=52，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴52?12≤BE≤【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D是半徑為4的⊙A上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則BM的最大值是．【答案】7【解析】解：如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN=1∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN=12AD=2，∴【例5】在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動，求PF2＋PG2的最小值．【答案】10【解析】解：如圖，設(shè)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，連結(jié)MN交半圓于點(diǎn)P，此時PN取最小值．∵DE＝4，四邊形DEFG為矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝eq\f(1,2)DE＝2，∴NP＝MN－MP＝1，∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10，∴PF2＋PG2的最小值為10.類型四：利用三角形外接圓性質(zhì)確定圓心【例1】如圖，點(diǎn)A，B，C均在6×6的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)外還能經(jīng)過的格點(diǎn)數(shù)為____．【答案】5【解析】解：如圖分別作AB⊥BC的中垂線，兩直線的交點(diǎn)為O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓，則圓O即為過A、B、C三點(diǎn)的外接圓，由圖可知：圓O還經(jīng)過點(diǎn)D、E、F、G、H這5個格點(diǎn)【例2】如圖，△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是____．【答案】（5，2）【解析】解：作線段BC的垂直平分線，作AB的垂直平分線兩條直線相交于點(diǎn)D∴D的坐標(biāo)為（5，2）【例3】△ABC的外心在三角形的內(nèi)部，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】A【解析】若外心在三角形的外部，則三角形是鈍角三角形；若外心在三角形的內(nèi)部，則三角形是銳角三角形；若外心在三角形的邊上，則三角形是直角三角形，且這邊是斜邊．【例4】當(dāng)點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為．【答案】n≠﹣8．【解析】解：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+，∵點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個圓時，∴點(diǎn)C不在直線AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴當(dāng)點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為n≠﹣8，【例5】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點(diǎn)A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），確定一個圓，（填“能”或“不能”）．【答案】不能【解析】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），∴點(diǎn)A、B、C共線，∴三個點(diǎn)A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能確定一個圓．【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(－6，－4)，C(2，－4)．(1)求△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)；(2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長．【答案】（1）圓心M的坐標(biāo)為(－2，－1)（2）4eq\r(6).【解析】(1)∵B(－6，－4)，C(2，－4)，∴線段BC的垂直平分線是直線x＝－2.∵A(2，2)，C(2，－4)，∴線段AC的垂直平分線是直線y＝－1，∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為(－2，－1)．(2)連接DM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N，則MN＝1.由題意得AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝10，易知DM＝eq\f(1,2)AB＝5，∴DN＝eq\r(MD2－MN2)＝2eq\r(6)，由垂徑定理得DE＝2DN＝4eq\r(6).類型五：計(jì)算三角形外接圓半徑和相關(guān)度數(shù)問題【例1】小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A，B，C，小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上.(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，試求小明家圓形花壇的面積.【答案】（1）見解析（2）25π【解析】解：(1)用尺規(guī)作出△ABC中任意兩邊的垂直平分線，交于O點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作出⊙O，⊙O即為所求作的花壇的位置.圖略.(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝10米.∴△ABC外接圓的半徑為5米.∴小明家圓形花壇的面積為25π平方米.【例2】如圖，△ABC中，∠A＝70°，O為△ABC的外心，則∠BOC的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．135° D．140°【答案】D【解析】解：∵△ABC中，∠A＝70°，O為△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠A＝140°【例3】一個直角三角形的兩條邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．【答案】4或5【解析】解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，①當(dāng)直角邊分別為3，4時，斜邊為：＝5，此時直角三角形外接圓的直徑為5，②當(dāng)直角邊為3，斜邊為4時，此時直角三角形外接圓直徑為4．故答案為4或5．【例4】如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥AC交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)O．若OA＝3，則△ABC外接圓的面積為（）A．3π B．4π C．6π D．9π【答案】D【解析】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分線，∴點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，∵OA＝3，∴△ABC外接圓的面積＝πr2＝π×32＝9π．【例5】如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點(diǎn)（0，3）（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和△AOB外接圓的面積．【答案】（1）30°（2）9π．【解析】解：（1）∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠AOD＝90°，∴∠DAO＝30°．（2）∵D的坐標(biāo)是（0，3），則OD＝3，在直角△AOD中，OA＝OD?tan∠DAO＝3，AD＝2OD＝6，∴A的坐標(biāo)是（3，0），△AOB外接圓的面積是9π．【例6】在等邊△ABC中，D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)P．若△BCD的面積是12，BE＝6，∠APB＝120°，則△ABP的外接圓的半徑長為．【答案】．【解析】解：如圖以AB為邊向外作等邊三角形ABK，作△ABK的外接圓⊙O，連接OA，OB，過點(diǎn)O作OJ⊥AB于J，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．∵△ABK是等邊三角形，∴∠K＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠K+∠APB＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠ABD，∴△BAD≌△ACE（ASA），∴AD＝EC，∵AC＝BC，∴BE＝CD＝6，∵S△BCD＝?CD?BH＝12，∴BH＝4，∴AB＝8，∵OA＝OB，OJ⊥AB，∴AJ＝JB＝4，∵∠OAB＝30°，∴OA＝，∴△APB的外接圓的半徑為．類型六：外接圓相關(guān)知識點(diǎn)綜合大題【例1】如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面內(nèi)不與A，B，C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求證：△ABD≌△CBE；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BECD的形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】見解析【解析】解：(1)證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE.又∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE(SAS).(2)四邊形BECD是菱形.證明：∵△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.∵點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心，∴AD＝BD＝CD.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD.∴四邊形BECD是菱形.【例2】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB＝α，∠C＝β.(1)當(dāng)β＝36°時，求α的度數(shù)；(2)猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明.【答案】（1）α＝54°（2）α＋β＝90°.【解析】解：(1)連結(jié)OB，則OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠C＝36°，∴∠AOB＝72°.∴∠OAB＝eq\f(1,2)×(180°－∠AOB)＝54°，即α＝54°.(2)α與β之間的關(guān)系是α＋β＝90°.證明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠AOB＝180°－2α.∵∠AOB＝2β，∴180°－2α＝2β.∴α＋β＝90°.【例3】如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，點(diǎn)D是△ABC高線的交點(diǎn)，連接AD，BD，CD，則∠ADB的度數(shù)為，CD的長為．【答案】120°；．【解析】解：連結(jié)AO，并延長交⊙O于E，連結(jié)EC，延長BD交AC于F，∵AE為直徑，∴∠ACE＝∠ABE＝90°，∵點(diǎn)D是△ABC高線的交點(diǎn)，∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∴∠CFB＝∠CGA＝90°，∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠ADB＝∠FDG＝120°，∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，∴CE∥DB，CD∥EB，∴四邊形CDBE為平行四邊形，∴CD＝BE，∵＝，∴∠ACB＝∠AEB＝60°，∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ABE中，BE＝，∴CD＝BE＝．【例4】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．（3）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)O，設(shè)CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代數(shù)式表示）【答案】見解析【解析】解：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3，∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半徑為；（3）法一：過O作OH⊥AD于H，如圖：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，∵F為DE的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝DE＝a，∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，在Rt△OHF中，F(xiàn)O＝＝b，∴CF+FO＝a+b．法二：延長AD至點(diǎn)H，使DH＝AE，連接BH，如圖：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH為等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F為AH中點(diǎn)，∵O為AB中點(diǎn)，∴FO＝BD＝b，∴CF+FO＝a+b．課后練習(xí)題：1、已知⊙A半徑為5，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4），則點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙A上B．點(diǎn)P在⊙A內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙A外D．不能確定【答案】見解析【解析】解：∵圓心A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4）∴∵⊙A半徑為5∴點(diǎn)P與圓心的距離等于圓的半徑∴點(diǎn)P在⊙A上2、⊙O的半徑是R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點(diǎn)（）A．在⊙O內(nèi)或在⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或在⊙O上【答案】D【解析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷，3、P為⊙O所在平面一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O的最短距離為3，最長距離為5，則⊙O的半徑為（）A．2B．4C．1或4D．2或8【答案】C【解析】解：①點(diǎn)P在圓內(nèi)；如圖，∵AP=3，BP=5，∴AB=8，∴OA=4；②點(diǎn)P在圓外；如圖，∵AP=3，BP=5，∴AB=2，∴OA=1．4、已知⊙O和直線l，過圓心O作OP⊥l，P為垂足，A，B，C為直線l上三個點(diǎn)，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，若⊙O的半徑為5，OP＝4，判斷A，B，C三點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系．【答案】見解析【解析】解：∵OP⊥l，OP＝4，r＝5，∴Rt△PAO中，PA＝2，OA＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＜5∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部；在Rt△BPO中，PB＝3，OB＝eq\r(32＋42)＝5，∴點(diǎn)B在⊙O上；在Rt△POC中，PC＝4，OC＝eq\r(42＋42)＝eq\r(32)＞5，∴點(diǎn)C在⊙O外．5、小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A．【解析】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平