第二十一章一元二次方程(知識歸納+題型突破)(四大題型81題)(原卷版+解析)-(人教版)

第二十一章一元二次方程（知識歸納+題型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等．3、了解--元二次方程的根與系數(shù)的關系．4、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性．1.一元二次方程的相關概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．3.根的判別式(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數(shù)根．4.列一元二次方程解應用題 （1）解題步驟：①審題；②設未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．（2）應用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.題型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎P于的一元二次方程有一個根是，則方程有一個根是（）A． B． C． D．鞏固訓練：1．（2023·全國·九年級專題練習）若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（）A． B． C． D．或2．（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學?？计谥校┤鬽是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C． D．43．（2023春·山東濟寧·八年級濟寧學院附屬中學?？计谥校┮阎且辉畏匠痰囊粋€根，則代數(shù)式的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．（2023·全國·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±15．（2023春·浙江寧波·八年級?？茧A段練習）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）若的一個解為，則的值為（）A． B． C． D．7．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學校考期中）若是方程的一個根，則m的值為．8．（2023·全國·九年級專題練習）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關于x的方程的解，則的值為．9．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學校考階段練習）關于x的一元二次方程的一個根為0，則．10．（2023·四川·九年級專題練習）先化簡，再求值，其中x的值是方程的根．題型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）下面是小明同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．．解：二次項系數(shù)化為1，得，第一步

移項，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學的解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解答過程．【例3】（2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號）；(2)發(fā)生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【例4】（2023·全國·九年級專題練習）按要求解方程(1)（直接開平方法）；(2)（配方法）；(3)（公式法）(4)（因式分解法）(5)（換元法）【例5】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內容，再解答問題．【閱讀】例題：求多項式的最小值．解：，∵，∴∴多項式的最小值是4(1)請寫出例題解答過程中把一個三項二次式轉化為一個二項式的平方運用的公式是______；(2)求多項式的最大值．鞏固訓練1．（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）解方程，下列用配方法進行變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）用配方法解一元二次方程時，在方程兩邊應同時加上（）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級專題練習）用配方法解方程，配方后得到的方程（

）A． B．C． D．4．（2023春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程配方后可變形為（

）A． B． C． D．5．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．96．（2022秋·山西太原·九年級校考階段練習）在解方程時，對方程進行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對于兩人的做法，說法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確7．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，變形正確的是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤?，則的值是（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或9．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方后可化為．10．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習）已知實數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值為．11．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠蹋?2．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．13．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┙夥匠蹋?4．（2022秋·天津津南·九年級校考期中）選取最恰當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)15．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）用指定的方法解下列方程(1)（配方法）(2)（公式法）16．（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)（用公式法）(2)（用配方法）17．（2022秋·湖北荊州·九年級?？计谥校┱堄弥付ǚ椒ń庀铝蟹匠蹋?1)公式法：；(2)因式分解法：．18．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）按指定方法解方程：(1)；（因式分解法）(2)．（配方法）題型三一元二次方程根的判別式【例6】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧學院附屬中學?？计谥校┮阎P于的方程．(1)求證：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；(2)若等腰的底邊長，另兩邊、恰好是這個方程的兩個根，求的周長．鞏固訓練1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．2．（2023春·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校╆P于x的方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定4．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┫铝卸稳検皆趯崝?shù)范圍內一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）關于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且6．（2022秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學?？茧A段練習）方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍（

）A．且 B．且 C． D．且7．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）已知是關于x的方程的實數(shù)根．下列說法：①此方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個相等的實數(shù)根．上述說法中，正確的有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④8．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）對于實數(shù)a，b，定義新運算：，若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．9．（湖北省荊州市2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）對于實數(shù)u、v定義一種運算“*”為：．若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)a的值為．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是．11．（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）已知關于的一元二次方程．(1)請判斷這個方程根的情況；(2)若該方程有一個根小于1，求的取值范圍．12．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┮阎P于的方程(1)當取什么值時，方程只有一個根？(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．題型四一元二次方程的實際應用【例7】（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）某工廠由于采用新技術，生產量逐月增加，原來月產量為2000件，兩個月后增至月產量為3000件．若設月平均增長率為x，則下列所列的方程正確的是（

）A． B．C． D．【例8】（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支．已知1個主干長出的枝干和小分支的總數(shù)是72，則這種植物每個枝干長出小分支的個數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【例9】（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為．動點，同時從，兩點出發(fā)，當?shù)拿娣e為時，動點，的運動時間為．【例10】（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）為助力攻堅脫貧，某村村委會在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質農產品禮包，已知其3月份的銷售量達到400包，若農產品禮包每包的進價25元，原售價為每包40元，該村在今年4月進行降價促銷，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，若農產品禮包每包降價1元，銷售量可增加5袋，當農產品禮包每包降價多少元時，這種農產品在4月份可獲利4620元？鞏固訓練1．（2023·全國·九年級專題練習）廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）有一人感染了某種病毒，若不及時控制就會傳染其他人，假設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人感染，則的值是（）A．8 B．7 C．6 D．53．（重慶市開州區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）李師傅去年開了一家商店，今年月份開始盈利，月份盈利元，月份盈利達到元，若設月到月每月盈利的平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2023春·河北滄州·九年級校考階段練習）國家衛(wèi)健委臨床檢驗中心數(shù)據(jù)，因疫情防控需求，全國新冠病毒核酸檢測實驗室數(shù)量從2020年的2081家，增長至2022年的萬家，如果這兩年核酸檢測實驗室的年平均增長率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在一張長寬分別為和的長方形紙板上剪去四個邊長為的小正方形，并用它做成一個無蓋的小長方體盒子，若要使長方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（

）

A． B．C． D．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．8．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客盡可能多得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，則該商品的銷售定價為元．9．（2023春·八年級單元測試）在中，，，，動點，分別從點，同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止移動，若使的面積為，則點P運動的時間是．10．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖，，，，一個小球從點出發(fā)沿著方向滾向點，另一小球立即從點出發(fā)，沿勻速前進攔截小球，恰好在點處截住了小球．若兩個小球滾動的速度相等，則另一個小球滾動的路程是．11．（2023春·重慶渝北·八年級禮嘉中學?？计谀┙衲甏杭臼羌琢鞑《镜母甙l(fā)期．為了遏制甲流病毒的傳播，建議市民朋友們在公共場合要佩戴口罩，現(xiàn)在，有一個人患了甲流，經(jīng)過兩輪傳染后共有個人患了甲流．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)某藥房最近售出了盒口罩．已知售出的醫(yī)用口罩的數(shù)量不超過普通醫(yī)用口罩的4倍，每盒醫(yī)用口罩的單價為元，每盒普通醫(yī)用口罩的價格為元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用各多少盒時，總銷售額最多？請說明理由．12．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考一模）自年月以來，甲流便肆虐橫行，成為當前主流流行疾病．某一小區(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非常快，小區(qū)經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過三輪傳染后累計是否超過人患了甲流？13．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學?？计谀┪沂心吵杏诮衲昴瓿跻悦考?0元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售250件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到360件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加6件，當商品降價多少元時，商場獲利1950元？14．（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）如圖，矩形草地中，m，m，點為邊中點，草地內鋪了一條長和寬分別相等直角折線甬路（，），若草地總面積（兩部分陰影之和）為，求甬路的寬．15．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）如圖，正方形分割成兩個小正方形和兩個長方形．(1)若正方形邊長為，正方形的面積是正方形的一半，求正方形的邊的長．(2)若正方形面積為，設，四邊形的面積為，求y關于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．(3)四邊形的面積是否能夠等于正方形面積的一半，如果能，請求出長，如果不能請說明理由．16．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）某學校在“美化校園，幸福學習”活動中，計劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍AB，AD兩邊）．

(1)若花園的面積為，求AB的長；(2)若在直角墻角內點P處有一棵桂花樹，且到墻CD的距離為，若要將這棵樹圍在矩形花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），問該花園的面積能否為？若能，求出AB的長；若不能，請說明理由．17．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？(2)羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．18．（2022秋·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）某公園中有一塊長為32米，寬為20米的矩形花壇，現(xiàn)在要在花壇中間修建一條如圖所示的文化長廊，已知長廊的寬度均相等，且橫縱相交成直角，若要使花壇的種植面積為540平方米，問長廊的寬度應為多少米？

19．（遼寧省遼陽市2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）今年元旦期間，某網(wǎng)絡經(jīng)銷商進購了一批節(jié)日彩燈，彩燈的進價為每條元，當銷售單價定為元時，每天可售出條，為了擴大銷售，決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查：銷售單價每降低元，則每天可多售出條．若設這批節(jié)日彩燈的銷售單價為(元)，每天的銷售量為(條)．(1)求每天的銷售量(條)與銷售單價(元)之間的函數(shù)關系式；(2)當銷售單價為多少元時，銷售這批節(jié)日彩燈每天所獲得的利潤為元？20．（2023春·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考期中）某水果店以相同的進價購進兩批櫻桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車厘子全部售完，店主共獲利960元．(1)求櫻桃的進價是每千克多少元？(2)該水果店一相同的進價購進第三批櫻桃若干，第一天將櫻桃漲價到每千克20元出售，結果僅售出40千克；為了盡快售完第三批櫻桃，第二天店主決定在第一天售價的基礎上降價促銷，若在第一天售價基礎上每降價1元，第二天的銷售量就在第一天的基礎上增加10千克．到第二天晚上關店時櫻桃售完，店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤為850元，求第二天櫻桃的售價是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元／件）3025銷售價（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)？(2)冬奧會臨近結束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？22．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）第19屆亞運會即將在杭州舉行，某商店購進一批亞運會紀念品進行銷售，已知每件紀念品的成本是30元，如果銷售單價定為每件40元，那么日銷售量將達到100件．據(jù)市場調查，銷售單價每提高1元，日銷售量將減少2件．(1)若銷售單價定為每件45元，求每天的銷售利潤；(2)要使每天銷售這種紀念品盈利1600元，同時又要讓利給顧客，那么該紀念品的售價單價應定為每件多少元？23．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）服裝店購進一批甲、乙兩種款型的時尚T恤衫，甲種款型共用了10400元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？(2)該服裝店第一個月甲種款型的T恤衫以200元/件的價格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價格售出10件；為了促銷，第二個月決定對甲、乙兩種款式的T恤衫都進行降價a元銷售，其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件，結果第二個月的銷售總額比第一個月的銷售總額增加了1000a元，求第二個月的銷售利潤．24．（2022秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）今年某村農產品喜獲豐收，該村村委會在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質農產品禮包．(1)已知今年7月份銷售A種農產品禮包256包，8、9月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎上，9月份的銷售量達到400包．若設8、9兩個月銷售量的月平均增長率為x，求x的值；(2)若B種農產品禮包每包成本價為16元，當售價為每包30元時，每月銷量為200包．為了盡快減少庫存，該村準備在10月進行降價促銷，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，若B種農產品禮包每包每降價1元，月銷售量可增加20包，當B種農產品禮包每包降價多少元時，該村銷售B種農產品禮包在10月份可獲利2860元?25．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點從開始沿邊向點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動．點，同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間為秒．(1)填空：______，______；用含的代數(shù)式表示；(2)當為幾秒時，的長度等于；(3)是否存在某一時刻，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由．26．（2022秋·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，．點、同時由、兩點出發(fā)，分別以和的速度沿線段、勻速移動，當一點到達終點時，另一點也停止移動．

(1)設經(jīng)過秒，用含t的代數(shù)式表示、．______、______．(2)幾秒后，的面積是面積的？27．（2020秋·廣東惠州·九年級惠州一中校考階段練習）如圖，在長方形中，，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為秒．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）(2)當為何值時，的長度等于？(3)是否存在，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．28．（2022春·廣西梧州·八年級校考期中）如圖，在中，，，點從開始沿邊向點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動．點，同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間為秒．(1)填空：___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當t為幾秒時，的長度等于？(3)是否存在某一時刻t，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出t的值，如果不存在，請說明理由，29．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”條件：（1）實際每天修建的長度比原計劃多；（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．30．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谥校┘?、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成．甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務．(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中，乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了()小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每小時下降了米，而修路時間比原計劃增加m小時，求m的值．31．（重慶市開州區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）隨著人們對健康生活的追求，全民健身意識日益增強，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續(xù)走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時間都各自多走了分鐘，結果兩人又共走了米，求的值．

第二十一章一元二次方程（知識歸納+題型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等．3、了解--元二次方程的根與系數(shù)的關系．4、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性．1.一元二次方程的相關概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．3.根的判別式(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數(shù)根．4.列一元二次方程解應用題 （1）解題步驟：①審題；②設未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．（2）應用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.題型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┮阎P于的一元二次方程有一個根是，則方程有一個根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的兩邊同時除以，可得出，進而可得出方程有一個根是．【詳解】關于的一元二次方程有一個根是，，在等式的兩邊同時除以得：，方程有一個根是．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，牢記“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解”是解題的關鍵．鞏固訓練：1．（2023·全國·九年級專題練習）若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】將代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定義得到，確定出m的值即可．【詳解】解：將代入，得：，解得：，∵，∴，∴故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．2．（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學?？计谥校┤鬽是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得出，即得出．再將代數(shù)式變?yōu)椋詈笳w代入求值即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個根，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．3．（2023春·山東濟寧·八年級濟寧學院附屬中學?？计谥校┮阎且辉畏匠痰囊粋€根，則代數(shù)式的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】B【分析】先利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：是一元二次方程0的一個根，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值，解題的關鍵是掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4．（2023·全國·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±1【答案】B【分析】將代入方程中的左邊，得到，由得到方程左右兩邊相等，即是方程的解．【詳解】將代入方程中的左邊得：，∵，∴是方程的根．即方程的一個根為．故選：B【點睛】題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．掌握方程的解的定義是解題的關鍵．5．（2023春·浙江寧波·八年級?？茧A段練習）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義可得元二次方程中，，進而即可求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程（）有一根為，∴一元二次方程，即中，，即，故選D【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，理解一元二次方程根的定義是解題的關鍵．6．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）若的一個解為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入，得，對進行化簡，即可．【詳解】∵是的一個解，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的知識，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解．7．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學?？计谥校┤羰欠匠痰囊粋€根，則m的值為．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義將代入方程，列出關于m的方程，通過解方程求得m的值即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，解得：，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是根據(jù)題意得出．8．（2023·全國·九年級專題練習）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關于x的方程的解，則的值為．【答案】【分析】把代入得，則，將整理為即可求解．【詳解】解：把代入得：，∴，∴，∴．故答案為：2017．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，整體代入求代數(shù)式的值，解題的關鍵是掌握使方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．9．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學?？茧A段練習）關于x的一元二次方程的一個根為0，則．【答案】【分析】將代入一元二次方程，轉化為關于的方程，要注意，．【詳解】解：將代入一元二次方程得，，整理得，，解得，．是一元二次方程，，．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定義，要熟悉一元二次方程的解法和二次項系數(shù)的取值范圍．10．（2023·四川·九年級專題練習）先化簡，再求值，其中x的值是方程的根．【答案】，4【分析】根據(jù)整式的混合運算化簡后代入x的值計算即可.【詳解】解：原式；

∵x的值是方程的根，解得，又∵，∴，∴，原式．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，實數(shù)的運算，分式的化簡和求值，解一元一次不等式，正確地進行運算是解題的關鍵.題型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）下面是小明同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．．解：二次項系數(shù)化為1，得，第一步

移項，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學的解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解答過程．【答案】(1)轉化思想，完全平方公式(2)三，解答過程見詳解【分析】（1）根據(jù)解答過程判斷依據(jù)即可；（2）根據(jù)配方法判斷即可．【詳解】（1）解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉化思想，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學公式是完全平方公式；（2）解題過程，從第三步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解答過程如下：解：，，，，，解得，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法，結合方程的特點選擇合適的解法是解題的關鍵．【例3】（2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號）；(2)發(fā)生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)③(2)計算錯誤(3)見解析【分析】根據(jù)公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開始出現(xiàn)了錯誤故答案為：③；（2）計算錯誤（負數(shù)乘以負數(shù)得負數(shù)）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法的計算步驟．【例4】（2023·全國·九年級專題練習）按要求解方程(1)（直接開平方法）；(2)（配方法）；(3)（公式法）(4)（因式分解法）(5)（換元法）【答案】(1)，(2)，(3)，(4)或(5)，【分析】（1）先移項，變成，然后直接開平方；（2）把方程的二次項系數(shù)化為1，移項，然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解；（3）找出方程中二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；（4）將方程整理為，然后通過提取公因式進行因式分解，再求解即可；（5）先令，則原方程變形為，運用因式分解法解得，，再把和3分別代入得到關于的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．【詳解】（1）解：，，，，∴，；（2），，，，，∴，；（3），，，，，∴，∴，；（4），，，，，∴或，∴或；（5），令，則原方程變形為，即：，解得：，，當時，，解得：，當時，，解得：，∴原方程的解為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法、公式法、因式分解法、配方法、換元法是解題的關鍵．【例5】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內容，再解答問題．【閱讀】例題：求多項式的最小值．解：，∵，∴∴多項式的最小值是4(1)請寫出例題解答過程中把一個三項二次式轉化為一個二項式的平方運用的公式是______；(2)求多項式的最大值．【答案】(1)完全平方公式(2)30【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的含義可得答案；（2）把原式化為，再利用非負數(shù)的性質可得答案．【詳解】（1）解：公式為：，即：完全平方公式，故答案為：完全平方公式；（2）；∵，∴，∴的最大值是．【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負數(shù)的性質，掌握利用完全平方公式求解代數(shù)式的最值是解本題的關鍵．鞏固訓練1．（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）解方程，下列用配方法進行變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式進行配方即可．【詳解】解：∵，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．2．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）用配方法解一元二次方程時，在方程兩邊應同時加上（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法的步驟，利用完全平方公式進行求解即可．【詳解】解：進行配方，方程兩邊應同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，即∴，∴在方程兩邊應同時加上．故選：C．【點睛】本題考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步驟：（1）化二次項系數(shù)為，當二次項系數(shù)不是時，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；（2）加上一次項系數(shù)一半的平方，使其中的三項成為完全平方式，但又要使此方程的等式關系不變，故在右側同時加上一次項系數(shù)一半的平方；（3）配方后將原方程化為的形式，再用直接開平方的方法解方程．熟知配方法的步驟是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）用配方法解方程，配方后得到的方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先移項，再配方，即可得出選項；【詳解】解：，，配方得：，，故選A．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能正確的配方是解答該題的關鍵．4．（2023春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程配方后可變形為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)配方法的步驟進行求解即可．【詳解】解：，∴，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查配方法．熟練掌握配方法的步驟，是解題的關鍵．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法將方程配成，然后求出n的值即可．【詳解】∵，∴，

∴，即，

．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關鍵．6．（2022秋·山西太原·九年級?？茧A段練習）在解方程時，對方程進行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對于兩人的做法，說法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【分析】根據(jù)配方法把含未知數(shù)的項寫成完全平方式，形如的形式即可．【詳解】解：根據(jù)配方法可知兩人的做法都正確，故選：A．【點睛】本題考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步驟，能正確的將一元二次方程配成的形式是解答的關鍵．7．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在方程兩邊加上16，然后把方程左邊配成完全平方形式即可．【詳解】解：，配方得，即．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程－配方法，關鍵是掌握配方的方法：當二次項系數(shù)為1時，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方．8．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤簦瑒t的值是（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或【答案】C【分析】先設，則方程即可變形為，解方程即可求得即的值．【詳解】解：設，則原方程可化為：，即，解得：或，∴或，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．9．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方后可化為．【答案】【分析】先把常數(shù)項移到方程右側，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．【詳解】解：移項得：，配方得：，即，故答案為：．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．10．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習）已知實數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值為．【答案】2023【分析】設，則原方程轉化為關于t的一元二次方程，利用因式分解法解該方程即可求得t的值；然后整體代入所求的代數(shù)式進行解答，注意判斷方程的根的判別式，方程有解．【詳解】解：設，由原方程，得，整理，得，所以或．當時，，則；當時，即時，，方程無解，此種情形不存在．故答案是：2023．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換．11．（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）用配方法解一元二次方程：【答案】，【分析】先把二次項系數(shù)化1，把常數(shù)項移到等是右邊，加上一次項系數(shù)一半的平方，然后直接開平方即可．【詳解】解：二次項系數(shù)化為1，得，移項，得，配方，得，即，直接開平方，得，即，，．【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法，會用配方法解方程是關鍵．12．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．【答案】，【分析】將一元二次方程整理成一般形式，再將常數(shù)項移到一元二次方程的右邊，然后兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，最后按直接開平方法即可求解．【詳解】解：整理，得移項，得

配方，得開平方，得∴，【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，解題的關鍵是把方程左邊轉化為完全平方式，右邊變?yōu)槌?shù)項．13．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮浚痉治觥棵鞔_方程中未知數(shù)的二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項，運用求根公式求解．【詳解】解：，∴，∴方程的解為，．【點睛】本題考查一元二次方程的求解，注意根據(jù)方程具體情況選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙忸}的關鍵．14．（2022秋·天津津南·九年級校考期中）選取最恰當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）直接開平方把原方程化為兩個一元一次方程，解一元一次方程即可得解；（2）原方程先配方然后再開平方，最后化為一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：開方得：或，解得：，；（2）解：原方程兩邊除以3得：，∴，即，∴，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法及直接開平方的解方程方法是解題關鍵．15．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）用指定的方法解下列方程(1)（配方法）(2)（公式法）【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）先配方，再兩邊都加上25，再利用直接開平方法解方程即可；（2）先計算，再代入求根公式即可.【詳解】（1）解：∵，配方得：，∴，解得：，；（2）∵，∴，∴，解得：，.【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法與公式法解一元二次方程是解本題的關鍵.16．（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)（用公式法）(2)（用配方法）【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先利用根的判別式判定根的情況，然后再運用求根公式求解即可；（2）先移項后配方，然后再利用直接開平方法求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴∴∴，．（2）解：．．．∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運用公式法和配方法解一元二次方程成為解答本題的關鍵．17．（2022秋·湖北荊州·九年級?？计谥校┱堄弥付ǚ椒ń庀铝蟹匠蹋?1)公式法：；(2)因式分解法：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解．【詳解】（1）方程中，，∴，∴；（2）方程可變形為：，即，∴或，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基礎題目，熟練掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解題的關鍵．18．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）按指定方法解方程：(1)；（因式分解法）(2)．（配方法）【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，整理得：，；（2）解：，，，，，或，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，解題時要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．題型三一元二次方程根的判別式【例6】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧學院附屬中學?？计谥校┮阎P于的方程．(1)求證：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；(2)若等腰的底邊長，另兩邊、恰好是這個方程的兩個根，求的周長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出，由此即可證出：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質可得，則該方程有兩個相等實數(shù)根，求出m的值，再根據(jù)三角形的三邊關系及三角形的周長公式即可求出的周長．【詳解】（1）證明：，無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）解：∵等腰的底邊長，∴，∵、恰好是這個方程的兩個根，∴該方程的根有兩個相等實數(shù)根，∴解得：，原方程為，解得：．、2、1能組成三角形，該三角形的周長為．【點睛】本題考查了根的判別式、三角形三邊關系、等腰三角形的性質以及解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．鞏固訓練1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式求出答案．【詳解】解：∵，，，∴．故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關鍵．2．（2023春·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出每一個方程的判別式Δ的值，找出的方程即可．【詳解】解：A、，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意；B、，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項符合題意；C、，∴方程沒有實數(shù)根，故本選項不符合題意；D、，∴方程沒有實數(shù)根，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．3．（2022秋·天津濱海新·九年級校考期中）關于x的方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】表示出根的判別式，判斷判別式的正負即可確定出方程根的情況．【詳解】解：，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點睛】此題考查了根的判別式，弄清根的判別式與方程根的關系是解本題的關鍵．4．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┫铝卸稳検皆趯崝?shù)范圍內一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉化一元二次方程根的判別式計算判斷即可．【詳解】A.∵中，，∴無實數(shù)根，故在實數(shù)范圍內不能因式分解，不符合題意；B.∵中，，∴有兩個不相等的實數(shù)根，故在實數(shù)范圍內能因式分解，符合題意；C.∵中，，無法確定屬性，∴不一定有實數(shù)根，故在實數(shù)范圍內不一定能因式分解，不符合題意；D.∵中，，∴無實數(shù)根，故在實數(shù)范圍內不能因式分解，不符合題意；故選Ｂ．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．5．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）關于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】討論：當時，方程化為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當時，根據(jù)判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到a的取值范圍．【詳解】解：當時，方程化為，解得，當時，，解得，綜上所述，a的取值范圍為．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．6．（2022秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學?？茧A段練習）方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍（

）A．且 B．且 C． D．且【答案】A【分析】由方程有兩個實數(shù)根，可得，再解不等式組即可得到答案．【詳解】解：∵方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：且，故選A【點睛】本題考查的是一元二次方程的含義，一元二次方程根的判別式的含義，二次根式有意義的條件，理解題意，建立不等式組是解本題的關鍵．7．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）已知是關于x的方程的實數(shù)根．下列說法：①此方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個相等的實數(shù)根．上述說法中，正確的有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義求出，以及根的判別式判斷根的情況，進一步可得結論．【詳解】解：∵是關于x的方程的實數(shù)根，∴，整理得，∵，∴，∴，即；①，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故①說法正確；②∵，∴當時，一定有，故②說法錯誤；③∵是關于x的方程的實數(shù)根．且，∴也是關于x的方程的實數(shù)根．故③說法正確；④此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故④說法錯誤；所以，正確的結論是①③，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的意義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握運用根的判別式判斷根的情況是解答本題的關鍵．8．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）對于實數(shù)a，b，定義新運算：，若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到，再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到，再解方程即可．【詳解】解：∵，∴，整理得，而關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．9．（湖北省荊州市2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題）對于實數(shù)u、v定義一種運算“*”為：．若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)a的值為．【答案】0【分析】由于定義一種運算定“*”為：，所以關于x的方程變?yōu)椋朔匠逃袃蓚€相等的實數(shù)根，所以根據(jù)判別式和一元二次方程的一般形式的定義可以得到關于a的不等式組，解不等式組即可解決問題．【詳解】解：由，得，即，∵關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，解得．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的判別式，解題時首先正確理解定義的運算法則得到關于x的方程，然后根據(jù)判別式和一元二次方程的定義得到不等式組解決問題．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根．11．（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）已知關于的一元二次方程．(1)請判斷這個方程根的情況；(2)若該方程有一個根小于1，求的取值范圍．【答案】(1)有兩個實數(shù)根(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案；（2）求出方程的兩根，根據(jù)該方程有一個根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵無論取何值時，，∴原方程有兩個實數(shù)根；（2）解：∵，；，∵該方程有一個根小于1，∴，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況，公式法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用根的判別式．12．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┮阎P于的方程(1)當取什么值時，方程只有一個根？(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】（1）先根據(jù)方程只有一個根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；（2）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根可知，由此即可得出的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，得：，此時，則方程為一元一次方程，它的根是，此時方程只有一個根，∴當時，方程只有一個根；（2）∵關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：且，∴的取值范圍是且．【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程的定義及根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式的關系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．題型四一元二次方程的實際應用【例7】（北京市石景山區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）某工廠由于采用新技術，生產量逐月增加，原來月產量為2000件，兩個月后增至月產量為3000件．若設月平均增長率為x，則下列所列的方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用兩個月后的月產量原來的月產量，即可列出關于的一元二次方程，此題得解【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【例8】（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支．已知1個主干長出的枝干和小分支的總數(shù)是72，則這種植物每個枝干長出小分支的個數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，根據(jù)支干和小分支的總數(shù)是72，即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∴這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是8．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【例9】（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為．動點，同時從，兩點出發(fā)，當?shù)拿娣e為時，動點，的運動時間為．【答案】【分析】設，的運動時間為，可得，用表示出的面積，并令其等于，即可解出的值，即動點，的運動時間．【詳解】解：設動點，的運動時間為，且，則，．，，又的面積為，，解得，（舍去）．故動點，的運動時間為．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，準確地設出未知量，并通過解方程求解是解決本題的常見方法．【例10】（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校橹悦撠?，某村村委會在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質農產品禮包，已知其3月份的銷售量達到400包，若農產品禮包每包的進價25元，原售價為每包40元，該村在今年4月進行降價促銷，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，若農產品禮包每包降價1元，銷售量可增加5袋，當農產品禮包每包降價多少元時，這種農產品在4月份可獲利4620元？【答案】每包降價4元【分析】先設當農產品每袋降價m元時，該農產品在4月份可獲利4620元，然后根據(jù)：利潤（售價進價）數(shù)量，列出方程并解答即可．【詳解】解：設當農產品禮包每包降價m元時，這種農產品在4月份可獲利4620元，由題意得：，解得：，(舍去)，答：當農產品禮包每包降價4元時，這種農產品在4月份可獲利4620元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，找到等量關系列出相應的方程是解答本題的關鍵．鞏固訓練1．（2023·全國·九年級專題練習）廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，則第一輪傳染了個人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：即可．【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，依題意得，即，故選：C．【點睛】考查了一元二次方程的應用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應該累加，這個問題和細胞分裂是不同的．2．（2022秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）有一人感染了某種病毒，若不及時控制就會傳染其他人，假設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人感染，則的值是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人感染，可列方程求解即可．【詳解】由題意得：，解得：或（舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系是解題關鍵．3．（重慶市開州區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）李師傅去年開了一家商店，今年月份開始盈利，月份盈利元，月份盈利達到元，若設月到月每月盈利的平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設月到月每月盈利的平均增長率為，根據(jù)增長率問題，列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設月到月每月盈利的平均增長率為，則可列方程為，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵．4．（2023春·河北滄州·九年級?？茧A段練習）國家衛(wèi)健委臨床檢驗中心數(shù)據(jù)，因疫情防控需求，全國新冠病毒核酸檢測實驗室數(shù)量從2020年的2081家，增長至2022年的萬家，如果這兩年核酸檢測實驗室的年平均增長率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設這兩年核酸檢測實驗室的年平均增長率為，根據(jù)“從2020年的2081家，增長至2022年的萬家”列出方程即可求解．【詳解】解：設這兩年核酸檢測實驗室的年平均增長率為，依題意，可得，故選：B．【點睛】此題主要考查了增長率的問題，解決問題的關鍵是掌握一般公式：原來的量現(xiàn)在的量，增長用，減少用．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【詳解】解：設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在一張長寬分別為和的長方形紙板上剪去四個邊長為的小正方形，并用它做成一個無蓋的小長方體盒子，若要使長方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先分別表示出底面長方形的長和寬，然后根據(jù)長方形面積公式列出方程即可．【詳解】解：由題意得，底面長方形的長為，寬為，∵要使長方體盒子的底面積為，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意表示出底面長方形的長和寬是解題的關鍵．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．【答案】8【分析】設門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關鍵．8．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客盡可能多得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，則該商品的銷售定價為元．【答案】56【分析】將銷售單價定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)總利潤=每件的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【詳解】解：將銷售單價定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．∵要使顧客獲得實惠，∴．即該商品的銷售定價為56元．故答案為：56．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．（2023春·八年級單元測試）在中，，，，動點，分別從點，同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到點C后停止，點P也隨之停止移動，若使的面積為，則點P運動的時間是．【答案】【分析】設出動點P，Q運動t秒，能使的面積為，用t分別表示出和的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．【詳解】解：設動點，運動秒時，能使的面積為，則的長為，的長為．可列方程為，解得，（舍去），動點，運動3秒時，能使的面積為．故答案為：3．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題．10．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習）如圖，，，，一個小球從點出發(fā)沿著方向滾向點，另一小球立即從點出發(fā)，沿勻速前進攔截小球，恰好在點處截住了小球．若兩個小球滾動的速度相等，則另一個小球滾動的路程是．【答案】【分析】根據(jù)題意設，則，在中，用含的式子表示出，根據(jù)兩個小球的速度相等，時間相等，即可求解．【詳解】解：，，，設，則，在中，，∵兩個小球滾動的速度相等，設速度為，根據(jù)題意可知，一個小球從點出發(fā)，另一小球立即從點出發(fā)，恰好在點處截住，則運動時間相等，∴，則，∴，解得，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查動點、方程與直角三角形的綜合，掌握直角三角形的勾股定理，根據(jù)數(shù)量關系列方程，解方程是解題的關鍵．11．（2023春·重慶渝北·八年級禮嘉中學校考期末）今年春季是甲流病毒的高發(fā)期．為了遏制甲流病毒的傳播，建議市民朋友們在公共場合要佩戴口罩，現(xiàn)在，有一個人患了甲流，經(jīng)過兩輪傳染后共有個人患了甲流．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)某藥房最近售出了盒口罩．已知售出的醫(yī)用口罩的數(shù)量不超過普通醫(yī)用口罩的4倍，每盒醫(yī)用口罩的單價為元，每盒普通醫(yī)用口罩的價格為元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用各多少盒時，總銷售額最多？請說明理由．【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了8個人(2)售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時，總銷售額最多，理由見解析【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意得，進行計算即可得；（2）設售出醫(yī)用口罩a盒，則普通醫(yī)用口罩盒，總銷售額為W元，則，進行計算得，，根據(jù)一次函數(shù)的性質得W隨a的增大而增大，即當時，W有最大值，算出普通口罩盒數(shù)即可得．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，，，，，，（舍），答：每輪傳染中平均一個人傳染了8個人；（2）售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時，總銷售額最多，理由如下：解：設售出醫(yī)用口罩a盒，則普通醫(yī)用口罩盒，總銷售額為W元，則，，，，，∵，∴W隨a的增大而增大，當時，W有最大值，則普通醫(yī)用口罩盒數(shù)為：（盒），即售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時，總銷售額最多．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．12．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考一模）自年月以來，甲流便肆虐橫行，成為當前主流流行疾?。骋恍^(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非?？?，小區(qū)經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過三輪傳染后累計是否超過人患了甲流？【答案】(1)人(2)不超過【分析】（1）設每輪感染中平均一個人傳染人，根據(jù)題意列方程解方程即可；（2）根據(jù)（1）可知每輪感染中平均一個人傳染人，進而得到三輪后患病總人數(shù)為即可解答．【詳解】（1）解：設每輪感染中平均一個人傳染人．根據(jù)題意得，解得，或，∵，∴，答：每輪感染中平均一個人傳染人；（2）解：根據(jù)題意可得：第三輪的患病人數(shù)為，∵，∴經(jīng)過三輪傳染后累計患甲流的人數(shù)不會超過人，答：經(jīng)過三輪傳染后累計患甲流的人數(shù)不超過人；【點睛】本題考查了一元二次方程與實際問題，讀懂題意明確數(shù)量關系是解題的關鍵．13．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學?？计谀┪沂心吵杏诮衲昴瓿跻悦考?0元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售250件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到360件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加6件，當商品降價多少元時，商場獲利1950元？【答案】(1)二、三這兩個月的月平均增長率為(2)當商品降價5元時，商品獲利1950元．【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：250件；設2月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為：360件，由此等量關系列出方程求出x的值，即求出了平均增長率；（2）利用銷量每件商品的利潤1950列出方程求解即可