人教A版必修一課件第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3

§2.3

冪函數(shù)第二章

基本初等函數(shù)(Ⅰ)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解冪函數(shù)的概念.2.掌握y＝xα(α＝－1，

，1,2,3)的圖象與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識點(diǎn)一冪函數(shù)的概念y＝

，y＝x，y＝x2三個函數(shù)有什么共同特征？答案答案底數(shù)為x，指數(shù)為常數(shù).一般地，

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).梳理函數(shù)

y＝xα知識點(diǎn)二五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖.

y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域_______________________值域_____________________________奇偶性_____________________單調(diào)性增在[0，＋∞)上

，在(－∞，0]上_________在(0，＋∞)上

，在(－∞，0)上___2.五個冪函數(shù)的性質(zhì)[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞){y|y≠0}偶奇非奇非偶奇增減增增減減奇[0，＋∞)RRRRR思考

知識點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征類比y＝x3的圖象和性質(zhì)，研究y＝x5的圖象與性質(zhì).答案答案y＝x3與y＝x5的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性完全相同.只不過當(dāng)0<x<1時，x5＝x3·x2<x3，當(dāng)x>1時，x5＝x3·x2>x3，結(jié)合兩函數(shù)性質(zhì)，可得圖象如下：一般冪函數(shù)特征：(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)

；(2)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過

，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是

函數(shù).特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象

；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象

；(3)

時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；(5)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從

到

的順序排列.梳理(1,1)原點(diǎn)增下凸上凸α<0小大題型探究例1

已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.解答類型一冪函數(shù)的概念冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義類似，只有滿足函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1，底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常數(shù)這三個條件，才是冪函數(shù).如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝

都不是冪函數(shù).反思與感悟

跟蹤訓(xùn)練1

在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3答案解析y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常數(shù)函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個點(diǎn)(0,1),所以常數(shù)函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).類型二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用解答在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象(如圖所示)，觀察圖象可得：(1)當(dāng)x>1或x<－1時，f(x)>g(x)；(2)當(dāng)x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)；(3)當(dāng)－1<x<1且x≠0時，f(x)<g(x).解h(x)的圖象如圖所示：解答注意本題中對f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的幾何解釋.這種幾何解釋幫助我們從圖形角度解讀不等式方程，是以后常用的方法.反思與感悟

跟蹤訓(xùn)練2

冪函數(shù)y＝xα(α≠0)，當(dāng)α取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一簇美麗的曲線(如圖).設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于A.1 B.2C.3 D.無法確定答案解析∴αβ＝1.故選A.

命題角度1比較大小例3

設(shè)

則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>b>c

B.b>a>cC.b>c>a

D.c>b>a類型三冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案解析此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變.比較大小的問題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。航獯鸾狻?<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數(shù).解答解∵y＝x－1在(－∞，0)上是減函數(shù)，解答解∵y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又

y＝0.3x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，命題角度2冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4

已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足

<的a的取值范圍.解答解因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.冪函數(shù)y＝xα中只有一個參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制α的取值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

已知冪函數(shù)f(x)＝

(m∈N*).(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；解答解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)為偶數(shù).令m2＋m＝2k，k∈N*，則f(x)＝∴定義域?yàn)閇0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數(shù).(2)若函數(shù)還經(jīng)過(2，

)，試確定m的值，并求滿足f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答解∵＝2＝

，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝

，由(1)知f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù).∴f(2－a)>f(a－1)等價于2－a>a－1≥0，解得1≤a<當(dāng)堂訓(xùn)練√答案23451解析答案√234513.設(shè)α∈{－1,1，

，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x的圖象的是答案√234515.以下結(jié)論正確的是A.當(dāng)α＝0時，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)C.若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大

而增大D.冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案23451規(guī)律與方法1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn).2.冪函數(shù)y＝xα的圖象與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一