山東省威海榮成市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

PAGEPAGE20山東省威海榮成市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).考試時(shí)間120分鐘.滿分150分.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米的黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考號(hào)填寫在答題紙規(guī)定的位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）留意事項(xiàng)：每小題選出答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，求出，利用交集的定義運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】，，解得，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題．2.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①“”是“”的充分不必要條件；②命題“”否定是“”；③“，則為偶函數(shù)”的逆命題為真命題；④命題，命題，則為真命題A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范圍可推出大范圍推斷①；利用全稱量詞命題的否定為存在量詞命題推斷②；利用正弦函數(shù)的奇偶性推斷③；利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象推斷④．【詳解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要條件，正確；②命題“”的否定是“”，正確；③“，則為偶函數(shù)”的逆命題為“為偶函數(shù)，則”，命題錯(cuò)誤，當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，；④，命題正確；，命題錯(cuò)誤；則為假命題，錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查充分必要條件的應(yīng)用，考查全程量詞命題和存在量詞命題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．3.假如過曲線，上點(diǎn)P處的切線平行于直線那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.；則；于是則點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A4.在長(zhǎng)方體中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，取的中點(diǎn)，連接，，得出，是異面直線與所成角，利用等邊三角形求出的值即可．【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，是異面直線與所成角，如圖所示；△中，，，即異面直線與所成角等于．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用特殊三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，假如利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最終結(jié)果肯定要取肯定值.5.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算法則干脆表示即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如圖：則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量線性運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿意條件，則的最小值為（）A. B.4 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可互為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算實(shí)力．7.在等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算可求出的值．【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，又，，故故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A向右平移個(gè)單位長(zhǎng) B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng) D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，依據(jù)平移法則得到答案.【詳解】.故向右平移個(gè)單位長(zhǎng)可以得到的圖像.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)平移的理解和駕馭狀況.9.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于A.24 B.30 C.10 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖得出該幾何體是三棱柱去掉一個(gè)三棱錐所得的幾何體，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出它的體積．【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所剩幾何體幾何體是底面為邊長(zhǎng)為的三角形，高為的三棱柱被平面截得的，如圖所示：由題意：原三棱柱體積為：截掉的三棱錐體積為：所以該幾何體體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形態(tài)．10.已知函數(shù)若?(-a)+?(a)≤2?(1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-1，0) B.[0，1] C.[-1,1] D.[-2,2]【答案】C【解析】若，則，，若，則，，故函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.∴不等式等價(jià)于，即∴∴故選C.點(diǎn)睛：本題考查與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題.解決與分段函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，要留意視察分段函數(shù)的表達(dá)式，依據(jù)條件推斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，從而將不等式等價(jià)于.11.在中，是上的點(diǎn)，平分，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)題意利用正弦定理在中，得到，在中，得到，從而得到，再依據(jù)已知條件即可得到答案.【詳解】如圖所示：由題知：在中，，解得.在中，，解得.因?yàn)槠椒?，，所?又因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的實(shí)力，屬于簡(jiǎn)潔題.12.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法得到在R上遞減，然后由，得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解.【詳解】令，因?yàn)?，則，所以在R上遞減，又，則，不等式等價(jià)于，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性解不等式，還考查了構(gòu)造函數(shù)求解問題的實(shí)力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）留意事項(xiàng)：1.請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆將每題的答案填寫在答題紙的指定位置.書寫的答案如需改動(dòng)，要先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案.2.不在指定答題位置答題或超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在試題卷上答題無效.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量的夾角為,,則.【答案】【解析】【分析】利用平面對(duì)量數(shù)量積公式以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，求得的值，再開平方即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為,,所以,.【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的運(yùn)算主要駕馭兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14.等差數(shù)列{an}公差d≠0滿意成等比數(shù)列，若=1，Sn是{}的前n項(xiàng)和，則的最小值為________．【答案】4【解析】【分析】成等比數(shù)列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分別常數(shù)法化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．【詳解】∵成等比數(shù)列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n+1=時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且取到最小值4，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15.直三棱柱ABC－的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，，則球O的表面積為________．【答案】【解析】【分析】先證明AB，BC，兩兩相互垂直，再以AB，BC，為長(zhǎng)，寬、高作長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球經(jīng)過直三棱柱ABC－的六個(gè)頂點(diǎn)，利用長(zhǎng)方體的外接球的直徑公式求出外接球的半徑得解.【詳解】∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∵直三棱柱ABC－中，⊥平面ABC，∴AB，BC，兩兩相互垂直，因此，以AB，BC，為長(zhǎng)，寬、高作長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球經(jīng)過直三棱柱ABC－的六個(gè)頂點(diǎn)．∵長(zhǎng)方體的外接球直徑，∴R＝2，由此可得球的表面積故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球的半徑和球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.16.若函數(shù)在上遞增，則的取值范圍___________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解.【詳解】由函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：本大題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到，再由，則，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，進(jìn)而得到三角形周長(zhǎng).【詳解】（1）在中，因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，，可得，即，可得，又因?yàn)?，則，因此.（2）由，可得，又，故，因?yàn)?，依?jù)余弦定理，可得，所以，即，所以周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，嫻熟駕馭定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.18.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，.（1）證明：平面平面；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)題意易證平面，再利用面面垂直的推斷即可得證明平面平面.（2）首先依據(jù)題意易證平面，再利用線面平行的性質(zhì)即可得到.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）因?yàn)?，面，面所以平面平面，平面平面，所以【點(diǎn)睛】本題第一問考查面面垂直的證明，其次問考查線面平行的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)潔題.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，當(dāng)時(shí)：，兩式作差化簡(jiǎn)，可證明數(shù)列是等差數(shù)列；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法求和可得結(jié)果．【詳解】(1)證明：由知，當(dāng)時(shí)：，即，∴，對(duì)成立.又，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.∴(2)∴=【點(diǎn)睛】本題考查定義法證明等差數(shù)列，考查數(shù)列求和，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，屬于中檔題．20.設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與垂直，求函數(shù)的解析式；（2）假如對(duì)于隨意的，都有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由已知得，求出得解（2）求導(dǎo)得到在上的最大值為轉(zhuǎn)化得到在恒成立.構(gòu)造函數(shù)求得的最大值為，得解【詳解】（1），∵曲線在點(diǎn)處的切線與垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上遞減，在上遞增，∴在上的最大值為較大者，即，∵對(duì)于隨意的，都有成立，∴即對(duì)隨意的成立.令，，∴，，，，∴在上遞增，在上遞減，的最大值為，∴，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最值及不等式恒成立求參數(shù)范圍.屬于基礎(chǔ)題.21.如圖，在多面體中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求證：平面；（2）求證：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平面∥平面，利用面面平行的性質(zhì)定理得，再由，得到四邊形為平行四邊形，從而∥，然后結(jié)合平面得證.（2）連接，依據(jù)平面∥平面，利用面面平行的性質(zhì)定理得∥，再由∥，且，得到四邊形為平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理證明.（3）依據(jù)兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四邊形為平行四邊形，∥面，平面（2）連接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，兩兩垂直，建立如圖的空間坐標(biāo)系，設(shè)，則∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，而平面的一個(gè)法向