第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3大考點8種解題方法)(原卷版+解析)2_第1頁
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第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3大考點8種解題方法)考點考向考點考向一、二次函數(shù)的定義(1)二次函數(shù)的定義:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).其中x、y是變量,a、b、c是常量,a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項.y═ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)也叫做二次函數(shù)的一般形式.判斷函數(shù)是否是二次函數(shù),首先是要看它的右邊是否為整式,若是整式且仍能化簡的要先將其化簡,然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷,要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.(2)二次函數(shù)的取值范圍:一般情況下,二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù),對實際問題,自變量的取值范圍還需使實際問題有意義.二、二次函數(shù)的圖象(1)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法:①列表:先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取x值,求出函數(shù)值,列表.②描點:在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.③連線:用平滑的曲線按順序連接各點.④在畫拋物線時,取的點越密集,描出的圖象就越精確,但取點多計算量就大,故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時,要按自變量從小到大(或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來.畫拋物線y=ax2(a≠0)的圖象時,還可以根據(jù)它的對稱性,先用描點法描出拋物線的一側(cè),再利用對稱性畫另一側(cè).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個單位,再向上或向下平移||個單位得到的.三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是(﹣,),對稱軸直線x=﹣,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質(zhì):①當(dāng)a>0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上,x<﹣時,y隨x的增大而減小;x>﹣時,y隨x的增大而增大;x=﹣時,y取得最小值,即頂點是拋物線的最低點.②當(dāng)a<0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向下,x<﹣時,y隨x的增大而增大;x>﹣時,y隨x的增大而減??;x=﹣時,y取得最大值,即頂點是拋物線的最高點.③拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左(右)平移|﹣|個單位,再向上或向下平移||個單位得到的.四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口;IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小.②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右.(簡稱:左同右異)③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c).④拋物線與x軸交點個數(shù).△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是拋物線,頂點坐標(biāo)是(﹣,).①拋物線是關(guān)于對稱軸x=﹣成軸對稱,所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱,且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱,設(shè)兩個交點分別是(x1,0),(x2,0),則其對稱軸為x=.六、二次函數(shù)的最值(1)當(dāng)a>0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因為圖象有最低點,所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=時,y=.(2)當(dāng)a<0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因為圖象有最高點,所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=時,y=.(3)確定一個二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當(dāng)自變量取全體實數(shù)時,其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo);當(dāng)自變量取某個范圍時,要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值.七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(1)二次函數(shù)的解析式有三種常見形式:①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0);②頂點式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常數(shù),a≠0),其中(h,k)為頂點坐標(biāo);③交點式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0);(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式:①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是(0,c);②頂點式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常數(shù),a≠0),其中(h,k)為頂點坐標(biāo),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為(h,k);③交點式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)(x1,0),(x2,0).考點精講考點精講一、二次函數(shù)的定義1.(2021?龍灣區(qū)模擬)下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的是A. B. C. D.2.(2020秋?合肥期末)若是二次函數(shù),則.3.(2020秋?南丹縣期中)若是二次函數(shù),且開口向上,則的值為.二次函數(shù)的圖象4.(2020秋?臨沭縣期末)二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A. B. C. D.5.(2020秋?廬陽區(qū)期末)如圖,一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是A. B. C. D.6.(2020秋?合川區(qū)校級期末)二次函數(shù)的圖象如圖所示,那么一次函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.(2020秋?靈山縣期末)拋物線的對稱軸是A. B. C. D.8.(2020秋?臥龍區(qū)期末)已知拋物線的頂點在軸上,則的值為A.2 B.4 C. D.9.(2021?河北模擬)對二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A.該函數(shù)圖象的對稱軸在軸左側(cè) B.當(dāng)時,隨的增大而減小 C.函數(shù)圖象開口朝下 D.該函數(shù)圖象與軸的交點位于軸負(fù)半軸10.(2020秋?番禺區(qū)期末)拋物線與軸的交點坐標(biāo)為A. B. C. D.四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、(2021?寧波模擬)小甬從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中,觀察得出了下面五條信息:①abc>0;②2a+3b=0;③a﹣2b+c>0;④c﹣4b>0,其中結(jié)論正確的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個12.(2021?曹縣一模)如圖,拋物線的對稱軸為直線,下列結(jié)論:(1),(2),(3)為任意實數(shù)),其中結(jié)論正確的個數(shù)為A.0個 B.1個 C.2個 D.3個13.(2021春?龍華區(qū)月考)二次函數(shù)圖象如圖,下列結(jié)論中:①;②;③;④.正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個14.(2021?婁星區(qū)模擬)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確結(jié)論的個數(shù)是A.1個 B.2個 C.3個 D.4個五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征15.(2021?鄭州模擬)若,,為二次函數(shù)的圖象上的三點,則,,的大小關(guān)系是A. B. C. D.16.(2021?于洪區(qū)一模)若點,,在拋物線的圖象上,則,,的大小關(guān)系是A. B. C. D.17.(2021?南平模擬)二次函數(shù)、是常數(shù))的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表:023下列判斷正確的是A. B. C. D.二次函數(shù)的最值18.(2021?道外區(qū)一模)二次函數(shù)的最小值為2,則的值為.19.(2020秋?中站區(qū)期末)已知拋物線,點在拋物線上,則的最大值是.20.(2020秋?覃塘區(qū)期末)二次函數(shù)的最大值為.21.(2020秋?番禺區(qū)校級期中)若函數(shù),當(dāng)時的最大值是,最小值是,則.22.(2020秋?瑤海區(qū)期末)已知拋物線過點,,求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo).23.(2020秋?越城區(qū)期末)已知二次函數(shù)圖象的頂點是,且過點.(1)求二次函數(shù)的表達式;(2)判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點,并解釋你的判斷.八、二次函數(shù)的三種形式24.(2021?賀蘭縣校級一模)用配方法將二次函數(shù)化成的形式是.25.(2021?天河區(qū)校級二模)將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為鞏固提升鞏固提升一、單選題1.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)拋物線的頂點坐標(biāo)是()A. B. C. D.2.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知拋物線,當(dāng),時,它的圖象經(jīng)過()A.第一,二,三象限 B.第一,二,四象限C.第一,三,四象限 D.第一,二,三,四象限3.(2021·儀征市實驗初中九年級月考)把拋物線向右平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線是()A. B.C. D.4.(2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級二模)直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象過點,且,與軸,軸分別交于,兩點.設(shè)的面積為,則的最小值是()A.4 B.3 C.2 D.15.(2021·山東青島市·九年級期末)將函數(shù)y=(x+1)2﹣4的圖象先向右平移2個單位長度,再向上平移4個單位長度,則得到的函數(shù)解析式為()A.y=(x﹣1)2 B.y=(x﹣1)2﹣8 C.y=(x+3)2 D.y=(x+3)2﹣86.(2021·廣州市第五中學(xué)九年級期中)點,,為二次函數(shù)的圖象上的三點,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.(2021·福建省福州第一中學(xué)九年級開學(xué)考試)拋物線(其中,是常數(shù))過點A(2,6),且物線的對稱軸與線段有交點,則的值不可能是()A. B. C. D.148.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)如圖,在中,,,,點從點沿向點以的速度運動,同時點從點沿向點以的速度運動(點運動到點停止),在運動過程中,四邊形的面積最小值為()A. B. C. D.9.(2021·山東濟南市·中考真題)新定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于點和點,若滿足時,;時,,則稱點是點的限變點.例如:點的限變點是,點的限變點是.若點在二次函數(shù)的圖象上,則當(dāng)時,其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題10.(2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級二模)如果將拋物線y=x2先向右平移1個單位,再向上平移3個單位,那么所得新拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式是___.11.(2021·陜西渭南市·九年級月考)已知二次函數(shù)y=2x2+bx,當(dāng)x>1時,y隨x增大而增大,則b的取值范圍為______.12.(2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級中學(xué)九年級期中)已知二次函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的最大值是______.13.(2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學(xué)九年級期中)已知點A(﹣2,y1),B(5,y2)為函數(shù)y=x2+a圖象上的兩點,比較:y1_____y2.14.(2021·沭陽縣修遠中學(xué)九年級期末)二次函數(shù)y=2x2+4x+1圖象的頂點坐標(biāo)為_____.當(dāng)x=-1時,y=_____.15.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、,頂點的縱坐標(biāo)是,則關(guān)于的方程的解是_______.16.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點,,且,與軸的正半軸的交點在的下方,下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的有_______.(填序號)17.(2021·沈陽市第四十三中學(xué)九年級月考)如圖,矩形ABCD中,BC=4,AB=3,點E為CD邊上一動點(不與C、D重合),以CE為邊向外作矩形CEFG,且CG=CE,連接BF,點O是線段BF的中點,連接OE,則OE的最小值為_____.18.(2021·連云港市新海實驗中學(xué)九年級二模)如圖,二次函數(shù)的圖象過點(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:①4a+b=0;②9a+c<3b;③8a+7b+2c>0;④若點A(-3,)、點B()、點C()在該函數(shù)圖象上,則:⑤若方程的兩根為,且,則其中正確的結(jié)論有__________.(只填序號)19.(2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級三模)如圖,正方形的邊長為1,點在邊上運動(不與點,重合),,點在射線上,且,與相交于點,連接、、.則下列結(jié)論:①;②平分;③;④的面積的最大值是;其中正確的結(jié)論是______.三、解答題20.(2021·浙江衢州市·九年級期末)已知二次函數(shù)y=2x2﹣x+1,當(dāng)﹣1≤x≤1時,求函數(shù)y的最小值和最大值.彤彤的解答如下:解:當(dāng)x=﹣1時,則y=2×(﹣1)2﹣(﹣1)+1=4;當(dāng)x=1時,則y=2×12﹣1+1=2;所以函數(shù)y的最小值為2,最大值為4.彤彤的解答正確嗎?如果不正確,寫出正確的解答.21.(2021·浙江衢州市·九年級期末)已知二次函數(shù)y=ax2﹣bx+3(a≠0)的圖象過點A(2,3),交y軸于點B.(1)求點B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對稱軸;(2)若拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4,求二次函數(shù)的表達式;(3)已知點(m,y1),(n,y2)在函數(shù)圖象上且0<m<n<1,試比較y1和y2的大?。?2.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知拋物線與軸交于點,與軸交于點和點,拋物線的對稱軸直線與拋物線交于點,與直線交于點.(1)點的坐標(biāo)為_______,_______(直接填寫結(jié)果).(2)若點是直線上方拋物線上的一個動點,是否存在點,使四邊形的面積為,若存在,求點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.23.(2021·深圳實驗學(xué)校中學(xué)部九年級月考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于三點,其中點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.(1)求該二次函數(shù)的表達式及點的坐標(biāo);(2)點為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點,連接,以為鄰邊作平行四邊形,設(shè)平行四邊形的面積為①求的最大值;②當(dāng)取最大值時,為該二次函數(shù)對稱軸上--點,當(dāng)點關(guān)于直線的對稱點落在軸上時,求點的坐標(biāo).24.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知拋物線經(jīng)過和兩點,將這條拋物線的頂點記為,它的對稱軸與軸的交點記為.(1)求出拋物線的解析式和點的坐標(biāo):(2)將拋物線平移到,拋物線的頂點記為,它的對稱軸與軸的交點記為,如果以點、、、為頂點的四邊形是面積為的平行四邊形,那么應(yīng)將拋物線怎樣平移?為什么?備用圖25.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點為,如圖,點在軸正半軸上,點在軸正半軸上,以、為邊作矩形.(1)當(dāng)點在直線上時,求對應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.(2)點是否會落在拋物線的下方,請說明理由.(3)若矩形的各邊與拋物線共有個公共點時,求的取值范圍.第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3大考點8種解題方法)考點考向考點考向一、二次函數(shù)的定義(1)二次函數(shù)的定義:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).其中x、y是變量,a、b、c是常量,a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項.y═ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)也叫做二次函數(shù)的一般形式.判斷函數(shù)是否是二次函數(shù),首先是要看它的右邊是否為整式,若是整式且仍能化簡的要先將其化簡,然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷,要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.(2)二次函數(shù)的取值范圍:一般情況下,二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù),對實際問題,自變量的取值范圍還需使實際問題有意義.二、二次函數(shù)的圖象(1)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法:①列表:先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取x值,求出函數(shù)值,列表.②描點:在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.③連線:用平滑的曲線按順序連接各點.④在畫拋物線時,取的點越密集,描出的圖象就越精確,但取點多計算量就大,故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時,要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用平滑的曲線連接起來.畫拋物線y=ax2(a≠0)的圖象時,還可以根據(jù)它的對稱性,先用描點法描出拋物線的一側(cè),再利用對稱性畫另一側(cè).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個單位,再向上或向下平移||個單位得到的.三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是(﹣,),對稱軸直線x=﹣,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質(zhì):①當(dāng)a>0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上,x<﹣時,y隨x的增大而減小;x>﹣時,y隨x的增大而增大;x=﹣時,y取得最小值,即頂點是拋物線的最低點.②當(dāng)a<0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向下,x<﹣時,y隨x的增大而增大;x>﹣時,y隨x的增大而減?。粁=﹣時,y取得最大值,即頂點是拋物線的最高點.③拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左(右)平移|﹣|個單位,再向上或向下平移||個單位得到的.四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口;IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右.(簡稱:左同右異)③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c).④拋物線與x軸交點個數(shù).△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是拋物線,頂點坐標(biāo)是(﹣,).①拋物線是關(guān)于對稱軸x=﹣成軸對稱,所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱,且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱,設(shè)兩個交點分別是(x1,0),(x2,0),則其對稱軸為x=.六、二次函數(shù)的最值(1)當(dāng)a>0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因為圖象有最低點,所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=時,y=.(2)當(dāng)a<0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因為圖象有最高點,所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=時,y=.(3)確定一個二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當(dāng)自變量取全體實數(shù)時,其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo);當(dāng)自變量取某個范圍時,要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值.七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(1)二次函數(shù)的解析式有三種常見形式:①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0);②頂點式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常數(shù),a≠0),其中(h,k)為頂點坐標(biāo);③交點式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0);(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式:①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是(0,c);②頂點式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常數(shù),a≠0),其中(h,k)為頂點坐標(biāo),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為(h,k);③交點式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)(x1,0),(x2,0).考點精講考點精講一、二次函數(shù)的定義1.(2021?龍灣區(qū)模擬)下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的是A. B. C. D.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可.【解答】解:.是二次函數(shù),故本選項符合題意;.是一次函數(shù),不是二次函數(shù),故本選項不符合題意;.是反比例函數(shù),不是二次函數(shù),故本選項不符合題意;.等式的右邊是分式,不是整式,不是二次函數(shù),故本選項不符合題意;故選:.【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義,注意:形如、、為常數(shù),的函數(shù),叫二次函數(shù).2.(2020秋?合肥期末)若是二次函數(shù),則.【分析】利用二次函數(shù)定義可得且,再解即可.【解答】解:由題意得:且,解得:,故答案為:.【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義,關(guān)鍵是掌握形如、、是常數(shù),的函數(shù),叫做二次函數(shù).3.(2020秋?南丹縣期中)若是二次函數(shù),且開口向上,則的值為.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列式求出的值,再根據(jù)開口向上可得二次項系數(shù)大于0求出的取值范圍,從而得解.【解答】解:根據(jù)題意得,,解得,開口向上,,解得,.故答案為:.【點評】本題考查二次函數(shù)的定義,二次函數(shù)的性質(zhì),熟記概念是解題的關(guān)鍵,要注意求出的取值范圍.二次函數(shù)的圖象4.(2020秋?臨沭縣期末)二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A. B. C. D.【分析】由一次函數(shù)可知,一次函數(shù)的圖象與軸交于點,即可排除、,然后根據(jù)二次函數(shù)的開口方向,一次函數(shù)經(jīng)過的象限,與軸的交點可得相關(guān)圖象進行判斷.【解答】解:由一次函數(shù)可知,一次函數(shù)的圖象與軸交于點,排除、;當(dāng)時,二次函數(shù)開口向上,一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限,當(dāng)時,二次函數(shù)開口向下,一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限,排除;故選:.【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系.5.(2020秋?廬陽區(qū)期末)如圖,一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是A. B. C. D.【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點位置,即可判斷函數(shù)的圖象與軸在交點的位置.【解答】解:一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點在第二象限,兩個交點的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù),函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)都為負(fù)數(shù),函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸有兩個交點,故選:.【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象,一次函數(shù)圖象,關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定出交點橫坐標(biāo)的符號.6.(2020秋?合川區(qū)校級期末)二次函數(shù)的圖象如圖所示,那么一次函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.【分析】由的圖象判斷出,,于是得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二,三,四象限,即可得到結(jié)論.【解答】解:的圖象的開口向下,,對稱軸在軸的左側(cè),,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二,三,四象限.故選:.【點評】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì),由函數(shù)圖象可以判斷、的取值范圍.三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.(2020秋?靈山縣期末)拋物線的對稱軸是A. B. C. D.【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是直線,然后代入數(shù)據(jù)計算即可.【解答】解:拋物線,該拋物線的對稱軸是直線,故選:.【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.8.(2020秋?臥龍區(qū)期末)已知拋物線的頂點在軸上,則的值為A.2 B.4 C. D.【分析】根據(jù)拋物線的頂點在軸上,可知該拋物線頂點的縱坐標(biāo)等于0,然后代入數(shù)據(jù)計算即可.【解答】解:拋物線的頂點在軸上,,解得,故選:.【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.9.(2021?河北模擬)對二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A.該函數(shù)圖象的對稱軸在軸左側(cè) B.當(dāng)時,隨的增大而減小 C.函數(shù)圖象開口朝下 D.該函數(shù)圖象與軸的交點位于軸負(fù)半軸【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷.【解答】解:、對稱軸為,在軸左側(cè),故符合題意;、因?qū)ΨQ軸為,時隨的增大而減小,故不符合題意;、,開口向上,故不符合題意;、是,即與軸交點為在軸正半軸,故不符合題意;故選:.【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,熟悉二次函數(shù)對稱軸、頂點、與軸軸)交點是解決此類題的關(guān)鍵.10.(2020秋?番禺區(qū)期末)拋物線與軸的交點坐標(biāo)為A. B. C. D.【分析】令,求出的值即可.【解答】解:令,則,拋物線與軸的交點坐標(biāo)為.故選:.【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點,熟知軸上點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵.四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、(2021?寧波模擬)小甬從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中,觀察得出了下面五條信息:①abc>0;②2a+3b=0;③a﹣2b+c>0;④c﹣4b>0,其中結(jié)論正確的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【分析】觀察圖象易得a>0,﹣=,所以b<0,2a+3b=0,因此abc>0,由此可以判定①③是正確的;當(dāng)x=﹣1,y=a﹣b+c,由點(﹣1,a﹣b+c)在第二象限可以判定a﹣2b+c>0②是正確的;當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c=2×(﹣3b)+2b+c=c﹣4b>0,由點(2,c﹣4b)在第一象限可以判定c﹣4b>0④是正確的.【解答】解:∵拋物線開口方向向上,∴a>0,∵與y軸交點在x軸的下方,∴c<0,∵﹣=,∴b<0,∴abc>0,∴①是正確的;對稱軸x=﹣=,∴3b=﹣2a,∴2a+3b=0,∴②是正確的;當(dāng)x=﹣1,y=a﹣b+c>0,∵b<0,∴﹣b>0,∴a﹣2b+c>0∴③是正確的;當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c=2×(﹣3b)+2b+c=c﹣4b>0,而點(2,c﹣4b)在第一象限,∴c﹣4b>0,故④正確.故選:D.【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,還考查了同學(xué)們從函數(shù)圖象中獲取信息的能力,以及考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).12.(2021?曹縣一模)如圖,拋物線的對稱軸為直線,下列結(jié)論:(1),(2),(3)為任意實數(shù)),其中結(jié)論正確的個數(shù)為A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【分析】由拋物線開口方向和對稱軸即可判斷①;由時,即可判斷②;由時,函數(shù)有最小值即可判斷③.【解答】解:①由圖象可知:,,,故①正確;②當(dāng)時,,,故②正確;③當(dāng)時,取到值最小,,故,即,故③正確,故選:.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點確定.13.(2021春?龍華區(qū)月考)二次函數(shù)圖象如圖,下列結(jié)論中:①;②;③;④.正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐項判斷可求解.【解答】解:(1)由圖象與軸有兩個交點可判別,①正確;(2)開口向下則,對稱軸“左同右異”則,與軸交于正半軸則,則,②錯誤;(3)由對稱軸可得,則,由,可知,③錯誤;(4)當(dāng)時,④錯誤.故選:.【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)判定是解題的關(guān)鍵.14.(2021?婁星區(qū)模擬)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確結(jié)論的個數(shù)是A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象,可以得到,,,對稱軸在右邊,時和時對應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù),然后通過靈活變形得到題目中各結(jié)論所求的式子的結(jié)果,然后對照判斷各個選項即可解答本題.【解答】解:①根據(jù)函數(shù)圖象的開口向下知,,對稱軸為直線在軸左邊,,,拋物線與軸交于正半軸,,.故①正確;②拋物線的對稱軸在的右邊,,,,,,故②錯誤;③由函數(shù)圖象可知,當(dāng)時,,即,故③正確;④,故④正確;故選:.【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象的特點,運用數(shù)形結(jié)合的思想,找出所求問題需要的條件.五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征15.(2021?鄭州模擬)若,,為二次函數(shù)的圖象上的三點,則,,的大小關(guān)系是A. B. C. D.【分析】由對稱軸為直線,可知,距離對稱軸越近函數(shù)值越小即可.【解答】解:對稱軸為直線,且,到對稱軸直線的距離為1,到對稱軸直線的距離為0,到對稱軸直線的距離為3,,根據(jù)拋物線開口向上,離對稱軸越近,函數(shù)值越小,.故選:.【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)開口向上,離對稱軸越近函數(shù)值越小是解決問題的關(guān)鍵.16.(2021?于洪區(qū)一模)若點,,在拋物線的圖象上,則,,的大小關(guān)系是A. B. C. D.【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸,開口方向,然后根據(jù)拋物線的增減性來判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.【解答】解:拋物線中,拋物線開口向下,對稱軸為直線,點的對稱點為,又,即、、三個點都位于對稱軸右邊,函數(shù)值隨自變量增大而減?。?,故選:.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征,以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.17.(2021?南平模擬)二次函數(shù)、是常數(shù))的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表:023下列判斷正確的是A. B. C. D.【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì),可以得到、的值,從而可以直接求出、的值,即可判斷.【解答】解:當(dāng)時,,,把代入中,得.該二次函數(shù)解析式為.當(dāng)時,;當(dāng)時,..故正確,、、皆錯誤.故選:.【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解本題關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式.二次函數(shù)的最值18.(2021?道外區(qū)一模)二次函數(shù)的最小值為2,則的值為.【分析】先把配成頂點式得到,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時,有最小值為,根據(jù)題意得,然后解方程即可.【解答】解:,,當(dāng)時,有最小值為,,.故答案為:3.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值.求二次函數(shù)的最大(小值有三種方法,第一種可由圖象直接得出,第二種是配方法,第三種是公式法.19.(2020秋?中站區(qū)期末)已知拋物線,點在拋物線上,則的最大值是.【分析】把點代入拋物線的解析式,得到,等式兩邊同加得,得到關(guān)于的二次函數(shù)解析式,然后整理成頂點式形式,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.【解答】解:點在拋物線上,,,當(dāng)時,有最大值4.故答案為:4.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題,整理成用表示的形式是解題的關(guān)鍵.20.(2020秋?覃塘區(qū)期末)二次函數(shù)的最大值為.【分析】先利用配方法得到,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解.【解答】解:,由知當(dāng)時,取得最大值5,故答案為:5.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值:當(dāng)時,拋物線在對稱軸左側(cè),隨的增大而減少;在對稱軸右側(cè),隨的增大而增大,因為圖象有最低點,所以函數(shù)有最小值,當(dāng)時,;當(dāng)時,拋物線在對稱軸左側(cè),隨的增大而增大;在對稱軸右側(cè),隨的增大而減少,因為圖象有最高點,所以函數(shù)有最大值,當(dāng)時,;確定一個二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當(dāng)自變量取全體實數(shù)時,其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo);當(dāng)自變量取某個范圍時,要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值.21.(2020秋?番禺區(qū)校級期中)若函數(shù),當(dāng)時的最大值是,最小值是,則.【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象,即可由此找到和的值,從而求出的值.【解答】解:原式可化為,可知函數(shù)頂點坐標(biāo)為,當(dāng)時,,即,解得,.如圖:,當(dāng)時,,即.則.故答案為9.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值,找到的取值范圍,畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象找到的值和的值.考點七:待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式22.(2020秋?瑤海區(qū)期末)已知拋物線過點,,求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo).【分析】利用待定系數(shù)法,將,的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的解析式.【解答】解:把點,代入,得,,解得,,此拋物線解析式為:,頂點的坐標(biāo)為.【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.23.(2020秋?越城區(qū)期末)已知二次函數(shù)圖象的頂點是,且過點.(1)求二次函數(shù)的表達式;(2)判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點,并解釋你的判斷.【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為,再把代入求出的值,寫出二次函數(shù)的表達式即可;(2)把點,代入二次函數(shù)解析式,通過等式左右是否相等判斷是否在二次函數(shù)圖象上.【解答】解:(1)設(shè)二次函數(shù)解析式為:,把點代入,得:,,函數(shù)解析式為:;.(2)二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過點,理由如下:當(dāng)時,,圖象不經(jīng)過點.【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數(shù)圖象以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.八、二次函數(shù)的三種形式24.(2021?賀蘭縣校級一模)用配方法將二次函數(shù)化成的形式是.【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù),在加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式,把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.【解答】解:,故答案為:.【點評】考查了二次函數(shù)的三種形式:(1)一般式:,、、為常數(shù));(2)頂點式:;交點式(與軸).25.(2021?天河區(qū)校級二模)將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為【分析】利用配方法整理即可得解.【解答】解:,所以,.故答案為:.【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式:(1)一般式:,、、為常數(shù));(2)頂點式:;(3)交點式(與軸).鞏固提升鞏固提升一、單選題1.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)拋物線的頂點坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式直接寫出頂點坐標(biāo)即可.【詳解】解析:二次函數(shù)的頂點式為,頂點坐標(biāo)為,故的頂點坐標(biāo)為,故選:B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式,熟知二次函數(shù)的頂點式為,頂點坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵.2.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知拋物線,當(dāng),時,它的圖象經(jīng)過()A.第一,二,三象限 B.第一,二,四象限C.第一,三,四象限 D.第一,二,三,四象限【答案】C【分析】由得到開口向下,又由,可以推出對稱軸,由得到此函數(shù)經(jīng)過原點,由此可以畫出函數(shù)簡圖,即可判斷函數(shù)經(jīng)過的象限.【詳解】解:在拋物線中,∵,∴開口向下,∵,∴,即對稱軸在軸右側(cè),∵,∴函數(shù)交于原點,∴畫簡圖如圖,∴它的圖象經(jīng)過第一、三、四象限.故選C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)符號的關(guān)系,首先由a的符號判斷出拋物線得到開口方向,再由b的符號判斷出對稱軸在y軸的左邊還是右邊,最后結(jié)合c=0,可得出拋物線經(jīng)過的象限.3.(2021·儀征市實驗初中九年級月考)把拋物線向右平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律:上加下減,左加右減解答即可.【詳解】解:把拋物線向右平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的解析式為:.故選D.【點睛】此題考查了拋物線的平移,屬于基本題型,熟知拋物線的平移規(guī)律是解答的關(guān)鍵.4.(2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級二模)直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象過點,且,與軸,軸分別交于,兩點.設(shè)的面積為,則的最小值是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【分析】首先將(2,kb)點代入一次函數(shù)解析式,求出k與b的關(guān)系式,再求出一次函數(shù)y=kx+b(kb≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點坐標(biāo),表示出△ABO的面積S,再根據(jù)b≥4,去掉絕對值,利用二次函數(shù)最值求法,可求出S的最小值.【詳解】解:一次函數(shù)的圖象過點,代入一次函數(shù)解析式得:,,,,一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點,點坐標(biāo)為:,,點的坐標(biāo)為:,的面積為,;若,,,的最小值為:.故選:A.【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)求法,以及二次函數(shù)的最值問題等知識,表示圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積,注意應(yīng)該加絕對值保證是正值,這是做題中經(jīng)常犯錯的地方.5.(2021·山東青島市·九年級期末)將函數(shù)y=(x+1)2﹣4的圖象先向右平移2個單位長度,再向上平移4個單位長度,則得到的函數(shù)解析式為()A.y=(x﹣1)2 B.y=(x﹣1)2﹣8 C.y=(x+3)2 D.y=(x+3)2﹣8【答案】A【分析】直接根據(jù)“左加右減,上加下減”的原則進行解答即可.【詳解】解:由“左加右減”的原則可知,函數(shù)y=(x+1)2﹣4的圖象先向右平移2個單位長度所得的解析式為:;由“上加下減”的原則可知,將圖象向上平移4個單位長度所得的函數(shù)解析式為:;故選:A.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換,熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答本題的關(guān)鍵.6.(2021·廣州市第五中學(xué)九年級期中)點,,為二次函數(shù)的圖象上的三點,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【分析】二次函數(shù)拋物線向上,且對稱軸為.根據(jù)圖象上的點的橫坐標(biāo)距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標(biāo)的大?。驹斀狻拷猓骸叨魏瘮?shù)y=x2?2x+1=(x-1)2∴該二次函數(shù)的拋物線開口向上,且對稱軸為:x=1.∵點,,都在二次函數(shù)y=x2?2x+1的圖象上,而三點橫坐標(biāo)離對稱軸x=1的距離按由遠到近為:∴y3<y2<y1.故選B.【點睛】此題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)關(guān)系式,找出對稱軸.7.(2021·福建省福州第一中學(xué)九年級開學(xué)考試)拋物線(其中,是常數(shù))過點A(2,6),且物線的對稱軸與線段有交點,則的值不可能是()A. B. C. D.14【答案】A【分析】用函數(shù)經(jīng)過的點得到c=2-2b,結(jié)合對稱軸所在的區(qū)間,得到,從而求出c的范圍判斷選項即可.【詳解】解:∵拋物線過點A(2,6),∴,即:c=2-2b,∵拋物線的對稱軸為直線:與線段有交點,∴,即:,∴,∴6≤c=2-2b≤14,∴5不可能取到,故選A.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是找到b的取值范圍以及c=2-2b.8.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)如圖,在中,,,,點從點沿向點以的速度運動,同時點從點沿向點以的速度運動(點運動到點停止),在運動過程中,四邊形的面積最小值為()A. B. C. D.【答案】D【分析】在中,利用勾股定理可得AC=6cm,設(shè)運動時間為,則,,利用分割圖形求面積法可得,利用配方法即可求出四邊形的面積最小值.【詳解】解:在中,,,,,設(shè)運動時間為,則,,當(dāng)時,四邊形的面積取最小值,最小值為cm2.故答案為:D【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值,勾股定理.利用分割圖形求面積法找出是解題的關(guān)鍵.9.(2021·山東濟南市·中考真題)新定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于點和點,若滿足時,;時,,則稱點是點的限變點.例如:點的限變點是,點的限變點是.若點在二次函數(shù)的圖象上,則當(dāng)時,其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)題意,當(dāng)時,的圖象向下平移4個單位,當(dāng)時,,的圖象關(guān)于軸對稱,據(jù)此即可求得其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍,作出函數(shù)圖象,直觀的觀察可得到的取值范圍【詳解】點在二次函數(shù)的圖象上,則當(dāng)時,其限變點的圖象即為圖中虛線部分,如圖,當(dāng)時,的圖象向下平移4個單位,當(dāng)時,的圖象關(guān)于軸對稱,從圖可知函數(shù)的最大值是當(dāng)時,取得最大值3,最小值是當(dāng)時,取得最小值,.故選D.【點睛】本題考查了新定義,二次函數(shù)的最值問題,分段討論函數(shù)的最值,可以通過函數(shù)圖象輔助求解,理解新定義,畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.二、填空題10.(2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級二模)如果將拋物線y=x2先向右平移1個單位,再向上平移3個單位,那么所得新拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式是___.【答案】y=(x-1)2+3【分析】根據(jù)“上加下減,左加右減”的原則進行解答即可.【詳解】解:由“左加右減”的原則可知,將拋物線y=x2先向右平移1個單位長度所得拋物線的解析式為:y=(x-1)2;由“上加下減”的原則可知,將拋物線y=(x-1)2向上平移3個單位所得拋物線的解析式為:y=(x-1)2+3,故答案為:y=(x-1)2+3.【點睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移,根據(jù)平移規(guī)律“左加右減,上加下減”利用頂點的變化確定圖形的變化是解題的關(guān)鍵.11.(2021·陜西渭南市·九年級月考)已知二次函數(shù)y=2x2+bx,當(dāng)x>1時,y隨x增大而增大,則b的取值范圍為______.【答案】b≥﹣4【分析】先表示出二次函數(shù)的對稱軸,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性列出不等式求解即可.【詳解】解:二次函數(shù)y=2x2+bx對稱軸為直線x=﹣=﹣,∵a=2>0,x>1時,y隨x增大而增大,∴﹣≤1,解得b≥﹣4.故答案為:b≥﹣4.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與二次函數(shù)的對稱軸,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的增減性.12.(2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級中學(xué)九年級期中)已知二次函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的最大值是______.【答案】【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為,且,可得該函數(shù)圖象開口向下,從而得到當(dāng)時,隨的增大而減小,故得到當(dāng)時,函數(shù)有最大值,即可求解.【詳解】解:∵∴二次函數(shù)的對稱軸為,∵,∴該函數(shù)圖象開口向下,∵,∴此時圖象位于對稱軸的右邊,∴此時隨的增大而減小,∴當(dāng)時,函數(shù)有最大值,則最大值為,故答案為:.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),并會利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.13.(2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學(xué)九年級期中)已知點A(﹣2,y1),B(5,y2)為函數(shù)y=x2+a圖象上的兩點,比較:y1_____y2.【答案】<【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為y軸,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答.【詳解】解:∵二次函數(shù)y=x2+a,∴圖象開口向上,對稱軸為y軸,∴A(﹣2,y1)與(2,y1)關(guān)于y軸對稱∵當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大,且5>2∴y1<y2.故答案為<.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征,利用二次函數(shù)的對稱性和增減性解決問題是本題的關(guān)鍵.14.(2021·沭陽縣修遠中學(xué)九年級期末)二次函數(shù)y=2x2+4x+1圖象的頂點坐標(biāo)為_____.當(dāng)x=-1時,y=_____.【答案】(-1,-1)-1【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式,確定頂點坐標(biāo)即可;將x=-1代入二次函數(shù)解析式即可求y.【詳解】解:∵y=2x2+4x+1=2(x2+2x+1)?1=2(x+1)2?1,∴拋物線頂點坐標(biāo)為(?1,?1),當(dāng)x=-1時,y=故答案為:(?1,?1);【點睛】本題考查了拋物線解析式頂點坐標(biāo)的求法及點與函數(shù)圖象的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握頂點坐標(biāo)的求法,求頂點坐標(biāo)可用配方法,也可以用頂點坐標(biāo)公式.15.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、,頂點的縱坐標(biāo)是,則關(guān)于的方程的解是_______.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo),利用頂點坐標(biāo)公式列出①,②,由①②聯(lián)立方程組求得a、b的值,然后列出關(guān)于x的方程(x-1)2=0,通過解方程來求x的值.【詳解】根據(jù)圖象,對稱軸,①又頂點的縱坐標(biāo)是,,②由①②解得,,,由,得,即,解得,.故答案為:.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,解答該題時,一定要讀懂圖中給出的相關(guān)信息,運用頂點坐標(biāo)公式來解答.16.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點,,且,與軸的正半軸的交點在的下方,下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的有_______.(填序號)【答案】①②④【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸的位置可判斷a、b、c的符號,然后再根據(jù)兩根關(guān)系和拋物線與x的交點情況逐項判定即可.【詳解】解析:二次函數(shù)的圖象與軸交于點,,且,與軸交于點,二次函數(shù)圖象開口一定向下,,,又二次函數(shù)的對稱軸為直線又,,,故①正確;當(dāng)時,,②正確;當(dāng)時,,③錯誤;當(dāng)時,,當(dāng)時,,得,即,將代入得,故④正確;綜上,答案為①②④.【點睛】本題主要考查了拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,掌握拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵.17.(2021·沈陽市第四十三中學(xué)九年級月考)如圖,矩形ABCD中,BC=4,AB=3,點E為CD邊上一動點(不與C、D重合),以CE為邊向外作矩形CEFG,且CG=CE,連接BF,點O是線段BF的中點,連接OE,則OE的最小值為_____.【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明,得出,,再根據(jù)已知設(shè),則,再根據(jù)勾股定理求出,求出的最小值即可.【詳解】解:延長,與交于點,如圖所示:為中點,,,,在和中,,,,設(shè),則,,,當(dāng)最小時,最小,此時,即,,.故答案為:.【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定,關(guān)鍵是對知識的掌握和綜合運用.18.(2021·連云港市新海實驗中學(xué)九年級二模)如圖,二次函數(shù)的圖象過點(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:①4a+b=0;②9a+c<3b;③8a+7b+2c>0;④若點A(-3,)、點B()、點C()在該函數(shù)圖象上,則:⑤若方程的兩根為,且,則其中正確的結(jié)論有__________.(只填序號)【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.【詳解】解:①由對稱軸可知:x=?=2,∴4a+b=0,故①正確;②由圖可知:x=?3時,y<0,∴9a?3b+c<0,即9a+c<3b,故②正確;③令x=?1,y=0,∴a?b+c=0,∵b=?4a,∴c=?5a,∴8a+7b+2c=8a?28a?10a=?30a由開口可知:a<0,∴8a+7b+2c=?30a>0,故③正確;④由拋物線的對稱性可知:點C關(guān)于直線x=2的對稱點為(,y3),∵?3<?<,∴y1<y2<y3故④錯誤;⑤由題意可知:(?1,0)關(guān)于直線x=2的對稱點為(5,0),∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c=a(x+1)(x?5),令y=?3,∴直線y=?3與拋物線y=a(x+1)(x?5)的交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,∴x1<?1<5<x2故⑤正確;故答案為:①②③⑤.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是正確理解二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系,本題屬于中等題型.19.(2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級三模)如圖,正方形的邊長為1,點在邊上運動(不與點,重合),,點在射線上,且,與相交于點,連接、、.則下列結(jié)論:①;②平分;③;④的面積的最大值是;其中正確的結(jié)論是______.【答案】①③【分析】①正確,如圖1中,在上截取,連接.證明即可解決問題;②錯誤,由(1)可得,,由此即可判定不平分;③正確,如圖2中,延長到,使得,連接CH,則,再證明即可解決問題.④錯誤,如圖1,設(shè),則,利用三角形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.【詳解】解:如圖1中,在上截取,連接.,,,,,,,,,,,,∴,,,,,,,故①正確;∵在中,,∴,∴,∴,即,∵,∴,又∵,∴,∴不平分,故②錯誤;如圖2中,延長到,使得,連接CH,又∵,,∴,,,,,又,,,,,,故③正確;如圖1,設(shè),則,,,∴當(dāng)時,的面積取得最大值,最大值為,故④錯誤,故答案為:①③.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)的應(yīng)用等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.三、解答題20.(2021·浙江衢州市·九年級期末)已知二次函數(shù)y=2x2﹣x+1,當(dāng)﹣1≤x≤1時,求函數(shù)y的最小值和最大值.彤彤的解答如下:解:當(dāng)x=﹣1時,則y=2×(﹣1)2﹣(﹣1)+1=4;當(dāng)x=1時,則y=2×12﹣1+1=2;所以函數(shù)y的最小值為2,最大值為4.彤彤的解答正確嗎?如果不正確,寫出正確的解答.【答案】不正確,二次函數(shù)的最大值為4,最小值為1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),先求出其對稱軸,然后確定函數(shù)圖象的增減性,利用增減性和對稱性求解即可得到答案.【詳解】解:彤彤的解答不正確,∵∴二次函數(shù)的的對稱軸,∵,且2>0,∴當(dāng)時,二次函數(shù)有最小值,二次函數(shù)在時,y隨x增大而減小,二次函數(shù)在時,y隨x增大而增大,∵,∴當(dāng)時,二次函數(shù)有最大值,∴二次函數(shù)的最大值為4,最小值為1.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和增減性,二次函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.21.(2021·浙江衢州市·九年級期末)已知二次函數(shù)y=ax2﹣bx+3(a≠0)的圖象過點A(2,3),交y軸于點B.(1)求點B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對稱軸;(2)若拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4,求二次函數(shù)的表達式;(3)已知點(m,y1),(n,y2)在函數(shù)圖象上且0<m<n<1,試比較y1和y2的大?。敬鸢浮浚?);(2);(3)當(dāng)時,,當(dāng)時,.【分析】(1)將將代入解析式即可求得點的坐標(biāo),將點的坐標(biāo)代入,即可求得對稱軸;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得頂點坐標(biāo),設(shè)頂點式,將點的坐標(biāo)代入,求得即可求得解析式;(3)分類討論,根據(jù)開口方向及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可比較y1和y2的大?。驹斀狻浚?)交y軸于點B,將代入,解得,,過,,即,;(2)對稱軸為,若拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4,則頂點坐標(biāo)為:,設(shè)二次函數(shù)的表達式為,將代入,解得,,即;(3)分情況討論,當(dāng)時,拋物線的開口朝上,在對稱軸的左側(cè)是隨的增加而減小,點(m,y1),(n,y2)在函數(shù)圖象上,且,,當(dāng)時,拋物線的開口朝下,在對稱軸的左側(cè)是隨的增加而增大,點(m,y1),(n,y2)在函數(shù)圖象上,且,,綜上所述,當(dāng)時,,當(dāng)時,.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22.(2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考)已知拋物線與軸交于點,與軸交于點和點,拋物線的對稱軸直線與拋物線交于點,與直線交于點.(1)點的坐標(biāo)為_______,_______(直接填寫結(jié)果).(2)若點是直線上方拋物線上的一個動點,是否存在點,使四邊形的面積為,若存在,求點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【答案】(1),;(2)不存在,理由見解析【分析】(1)把代入拋物線的解析式求出b,可得到拋物線解析式為,再另,求x(舍去負(fù)值),即可求出點B坐標(biāo);(2)假設(shè)存在滿足條件的點,如圖所示,連結(jié)、、,過點作軸于點,軸于點,設(shè)點的坐標(biāo)為,其中,則,,先根據(jù)三角形的面積公式求出,,再由得到.令,即,由,得出方程無解,即不存在滿足條件的點F.【詳解】解析:(1)拋物線過點,,解得,,拋物線的解析式為,令,解得,,(2)假設(shè)存在滿足條件的點,如圖所示,連結(jié)、、,過點作軸于點,軸于點,設(shè)點的坐標(biāo)為,其中,則,,,令,即,則,方程無解故不存在滿足條件的點.【點睛

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