第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3大考點(diǎn)8種解題方法)(原卷版+解析)2

第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點(diǎn)8種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問(wèn)題有意義．二、二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來(lái)．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x=﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左（右）平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越?。谝淮雾?xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=．六、二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一、二次函數(shù)的定義1.（2021?龍灣區(qū)模擬）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．2.（2020秋?合肥期末）若是二次函數(shù)，則．3.（2020秋?南丹縣期中）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為．二次函數(shù)的圖象4.（2020秋?臨沭縣期末）二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A． B． C． D．5.（2020秋?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．6.（2020秋?合川區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.（2020秋?靈山縣期末）拋物線的對(duì)稱軸是A． B． C． D．8.（2020秋?臥龍區(qū)期末）已知拋物線的頂點(diǎn)在軸上，則的值為A．2 B．4 C． D．9.（2021?河北模擬）對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè) B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 C．函數(shù)圖象開口朝下 D．該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)位于軸負(fù)半軸10.（2020秋?番禺區(qū)期末）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、（2021?寧波模擬）小甬從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12.（2021?曹縣一模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：（1），（2），（3）為任意實(shí)數(shù)），其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)13.（2021春?龍華區(qū)月考）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)14.（2021?婁星區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征15.（2021?鄭州模擬）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．16.（2021?于洪區(qū)一模）若點(diǎn)，，在拋物線的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．17.（2021?南平模擬）二次函數(shù)、是常數(shù)）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：023下列判斷正確的是A． B． C． D．二次函數(shù)的最值18.（2021?道外區(qū)一模）二次函數(shù)的最小值為2，則的值為．19.（2020秋?中站區(qū)期末）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值是．20.（2020秋?覃塘區(qū)期末）二次函數(shù)的最大值為．21.（2020秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值是，最小值是，則．22.（2020秋?瑤海區(qū)期末）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．23.（2020秋?越城區(qū)期末）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是，且過(guò)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并解釋你的判斷．八、二次函數(shù)的三種形式24.（2021?賀蘭縣校級(jí)一模）用配方法將二次函數(shù)化成的形式是．25.（2021?天河區(qū)校級(jí)二模）將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線，當(dāng)，時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限 D．第一，二，三，四象限3．（2021·儀征市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)月考）把拋物線向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線是（）A． B．C． D．4．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級(jí)二模）直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．設(shè)的面積為，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）將函數(shù)y＝（x+1）2﹣4的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的函數(shù)解析式為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣86．（2021·廣州市第五中學(xué)九年級(jí)期中）點(diǎn)，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）拋物線（其中，是常數(shù)）過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且物線的對(duì)稱軸與線段有交點(diǎn)，則的值不可能是（）A． B． C． D．148．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積最小值為（）A． B． C． D．9．（2021·山東濟(jì)南市·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題10．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級(jí)二模）如果將拋物線y＝x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___．11．（2021·陜西渭南市·九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+bx，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，則b的取值范圍為______．12．（2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______．13．（2021·珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點(diǎn)，比較：y1_____y2．14．（2021·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）二次函數(shù)y＝2x2+4x+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____．當(dāng)x=-1時(shí)，y=_____．15．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則關(guān)于的方程的解是_______．16．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有_______．（填序號(hào)）17．（2021·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），以CE為邊向外作矩形CEFG，且CG＝CE，連接BF，點(diǎn)O是線段BF的中點(diǎn)，連接OE，則OE的最小值為_____．18．（2021·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1，0)，對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若點(diǎn)A(-3，)、點(diǎn)B()、點(diǎn)C()在該函數(shù)圖象上，則：⑤若方程的兩根為，且，則其中正確的結(jié)論有__________．(只填序號(hào))19．（2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級(jí)三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是______．三、解答題20．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣x+1，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，則y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，則y＝2×12﹣1+1＝2；所以函數(shù)y的最小值為2，最大值為4．彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．21．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A(2，3)，交y軸于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）若拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）已知點(diǎn)(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大?。?2．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，_______（直接填寫結(jié)果）．（2）若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積為，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2021·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)平行四邊形的面積為①求的最大值；②當(dāng)取最大值時(shí)，為該二次函數(shù)對(duì)稱軸上--點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．24．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，將這條拋物線的頂點(diǎn)記為，它的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)記為．（1）求出拋物線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）將拋物線平移到，拋物線的頂點(diǎn)記為，它的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)記為，如果以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是面積為的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線怎樣平移？為什么？備用圖25．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，如圖，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，以、為邊作矩形．（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）點(diǎn)是否會(huì)落在拋物線的下方，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若矩形的各邊與拋物線共有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點(diǎn)8種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問(wèn)題有意義．二、二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來(lái)．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x=﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左（右）平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=．六、二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一、二次函數(shù)的定義1.（2021?龍灣區(qū)模擬）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：．是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；．是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；．是反比例函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；．等式的右邊是分式，不是整式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，注意：形如、、為常數(shù)，的函數(shù)，叫二次函數(shù)．2.（2020秋?合肥期末）若是二次函數(shù)，則．【分析】利用二次函數(shù)定義可得且，再解即可．【解答】解：由題意得：且，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．3.（2020秋?南丹縣期中）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列式求出的值，再根據(jù)開口向上可得二次項(xiàng)系數(shù)大于0求出的取值范圍，從而得解．【解答】解：根據(jù)題意得，，解得，開口向上，，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記概念是解題的關(guān)鍵，要注意求出的取值范圍．二次函數(shù)的圖象4.（2020秋?臨沭縣期末）二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A． B． C． D．【分析】由一次函數(shù)可知，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，即可排除、，然后根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限，與軸的交點(diǎn)可得相關(guān)圖象進(jìn)行判斷．【解答】解：由一次函數(shù)可知，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，排除、；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，排除；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．5.（2020秋?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)位置，即可判斷函數(shù)的圖象與軸在交點(diǎn)的位置．【解答】解：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在第二象限，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為負(fù)數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定出交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)．6.（2020秋?合川區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【分析】由的圖象判斷出，，于是得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限，即可得到結(jié)論．【解答】解：的圖象的開口向下，，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷、的取值范圍．三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.（2020秋?靈山縣期末）拋物線的對(duì)稱軸是A． B． C． D．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：拋物線，該拋物線的對(duì)稱軸是直線，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8.（2020秋?臥龍區(qū)期末）已知拋物線的頂點(diǎn)在軸上，則的值為A．2 B．4 C． D．【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在軸上，可知該拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)在軸上，，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9.（2021?河北模擬）對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè) B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 C．函數(shù)圖象開口朝下 D．該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)位于軸負(fù)半軸【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷．【解答】解：、對(duì)稱軸為，在軸左側(cè)，故符合題意；、因?qū)ΨQ軸為，時(shí)隨的增大而減小，故不符合題意；、，開口向上，故不符合題意；、是，即與軸交點(diǎn)為在軸正半軸，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟悉二次函數(shù)對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、與軸軸）交點(diǎn)是解決此類題的關(guān)鍵．10.（2020秋?番禺區(qū)期末）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】令，求出的值即可．【解答】解：令，則，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、（2021?寧波模擬）小甬從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】觀察圖象易得a＞0，﹣＝，所以b＜0，2a+3b＝0，因此abc＞0，由此可以判定①③是正確的；當(dāng)x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由點(diǎn)（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣2b+c＞0②是正確的；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，由點(diǎn)（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0④是正確的．【解答】解：∵拋物線開口方向向上，∴a＞0，∵與y軸交點(diǎn)在x軸的下方，∴c＜0，∵﹣＝，∴b＜0，∴abc＞0，∴①是正確的；對(duì)稱軸x＝﹣＝，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴②是正確的；當(dāng)x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，∵b＜0，∴﹣b＞0，∴a﹣2b+c＞0∴③是正確的；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，而點(diǎn)（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0，故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，還考查了同學(xué)們從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，以及考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．12.（2021?曹縣一模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：（1），（2），（3）為任意實(shí)數(shù)），其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由拋物線開口方向和對(duì)稱軸即可判斷①；由時(shí)，即可判斷②；由時(shí)，函數(shù)有最小值即可判斷③．【解答】解：①由圖象可知：，，，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，，故②正確；③當(dāng)時(shí)，取到值最小，，故，即，故③正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸和拋物線與軸的交點(diǎn)確定．13.（2021春?龍華區(qū)月考）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可求解．【解答】解：（1）由圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)可判別，①正確；（2）開口向下則，對(duì)稱軸“左同右異”則，與軸交于正半軸則，則，②錯(cuò)誤；（3）由對(duì)稱軸可得，則，由，可知，③錯(cuò)誤；（4）當(dāng)時(shí)，④錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)判定是解題的關(guān)鍵．14.（2021?婁星區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可以得到，，，對(duì)稱軸在右邊，時(shí)和時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)，然后通過(guò)靈活變形得到題目中各結(jié)論所求的式子的結(jié)果，然后對(duì)照判斷各個(gè)選項(xiàng)即可解答本題．【解答】解：①根據(jù)函數(shù)圖象的開口向下知，，對(duì)稱軸為直線在軸左邊，，，拋物線與軸交于正半軸，，．故①正確；②拋物線的對(duì)稱軸在的右邊，，，，，，故②錯(cuò)誤；③由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，故③正確；④，故④正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問(wèn)題需要的條件．五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征15.（2021?鄭州模擬）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】由對(duì)稱軸為直線，可知，距離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小即可．【解答】解：對(duì)稱軸為直線，且，到對(duì)稱軸直線的距離為1，到對(duì)稱軸直線的距離為0，到對(duì)稱軸直線的距離為3，，根據(jù)拋物線開口向上，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)開口向上，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.（2021?于洪區(qū)一模）若點(diǎn)，，在拋物線的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，開口方向，然后根據(jù)拋物線的增減性來(lái)判斷函數(shù)值的大小關(guān)系．【解答】解：拋物線中，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，又，即、、三個(gè)點(diǎn)都位于對(duì)稱軸右邊，函數(shù)值隨自變量增大而減?。?，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．17.（2021?南平模擬）二次函數(shù)、是常數(shù)）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：023下列判斷正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到、的值，從而可以直接求出、的值，即可判斷．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，把代入中，得．該二次函數(shù)解析式為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．．故正確，、、皆錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解本題關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式．二次函數(shù)的最值18.（2021?道外區(qū)一模）二次函數(shù)的最小值為2，則的值為．【分析】先把配成頂點(diǎn)式得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，有最小值為，根據(jù)題意得，然后解方程即可．【解答】解：，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值．求二次函數(shù)的最大（小值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．19.（2020秋?中站區(qū)期末）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值是．【分析】把點(diǎn)代入拋物線的解析式，得到，等式兩邊同加得，得到關(guān)于的二次函數(shù)解析式，然后整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．【解答】解：點(diǎn)在拋物線上，，，當(dāng)時(shí)，有最大值4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，整理成用表示的形式是解題的關(guān)鍵．20.（2020秋?覃塘區(qū)期末）二次函數(shù)的最大值為．【分析】先利用配方法得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解．【解答】解：，由知當(dāng)時(shí)，取得最大值5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，；確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．21.（2020秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值是，最小值是，則．【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，即可由此找到和的值，從而求出的值．【解答】解：原式可化為，可知函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，解得，．如圖：，當(dāng)時(shí)，，即．則．故答案為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，找到的取值范圍，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象找到的值和的值．考點(diǎn)七：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式22.（2020秋?瑤海區(qū)期末）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】利用待定系數(shù)法，將，的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的解析式．【解答】解：把點(diǎn)，代入，得，，解得，，此拋物線解析式為：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．23.（2020秋?越城區(qū)期末）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是，且過(guò)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并解釋你的判斷．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，再把代入求出的值，寫出二次函數(shù)的表達(dá)式即可；（2）把點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式，通過(guò)等式左右是否相等判斷是否在二次函數(shù)圖象上．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為：，把點(diǎn)代入，得：，，函數(shù)解析式為：；．（2）二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，理由如下：當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)圖象以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．八、二次函數(shù)的三種形式24.（2021?賀蘭縣校級(jí)一模）用配方法將二次函數(shù)化成的形式是．【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，在加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的三種形式：（1）一般式：，、、為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：；交點(diǎn)式（與軸）．25.（2021?天河區(qū)校級(jí)二模）將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：，所以，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：，、、為常數(shù)）；（2）頂點(diǎn)式：；（3）交點(diǎn)式（與軸）．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解析：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線，當(dāng)，時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限 D．第一，二，三，四象限【答案】C【分析】由得到開口向下，又由，可以推出對(duì)稱軸，由得到此函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由此可以畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，即可判斷函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限．【詳解】解：在拋物線中，∵，∴開口向下，∵，∴，即對(duì)稱軸在軸右側(cè)，∵，∴函數(shù)交于原點(diǎn)，∴畫簡(jiǎn)圖如圖，∴它的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系，首先由a的符號(hào)判斷出拋物線得到開口方向，再由b的符號(hào)判斷出對(duì)稱軸在y軸的左邊還是右邊，最后結(jié)合c＝0，可得出拋物線經(jīng)過(guò)的象限．3．（2021·儀征市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)月考）把拋物線向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：把拋物線向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為：．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的平移，屬于基本題型，熟知拋物線的平移規(guī)律是解答的關(guān)鍵．4．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級(jí)二模）直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．設(shè)的面積為，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先將（2，kb）點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式，求出k與b的關(guān)系式，再求出一次函數(shù)y=kx+b（kb≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出△ABO的面積S，再根據(jù)b≥4，去掉絕對(duì)值，利用二次函數(shù)最值求法，可求出S的最小值．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，代入一次函數(shù)解析式得：，，，，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，的面積為，；若，，，的最小值為：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí)，表示圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積，注意應(yīng)該加絕對(duì)值保證是正值，這是做題中經(jīng)常犯錯(cuò)的地方．5．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）將函數(shù)y＝（x+1）2﹣4的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的函數(shù)解析式為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣8【答案】A【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，函數(shù)y＝（x+1）2﹣4的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得的解析式為：；由“上加下減”的原則可知，將圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度所得的函數(shù)解析式為：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·廣州市第五中學(xué)九年級(jí)期中）點(diǎn)，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】二次函數(shù)拋物線向上，且對(duì)稱軸為．根據(jù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近來(lái)判斷縱坐標(biāo)的大?。驹斀狻拷猓骸叨魏瘮?shù)y＝x2?2x＋1＝（x-1）2∴該二次函數(shù)的拋物線開口向上，且對(duì)稱軸為：x＝1．∵點(diǎn)，，都在二次函數(shù)y＝x2?2x+1的圖象上，而三點(diǎn)橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸x＝1的距離按由遠(yuǎn)到近為：∴y3＜y2＜y1．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，找出對(duì)稱軸．7．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）拋物線（其中，是常數(shù)）過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且物線的對(duì)稱軸與線段有交點(diǎn)，則的值不可能是（）A． B． C． D．14【答案】A【分析】用函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)得到c=2-2b，結(jié)合對(duì)稱軸所在的區(qū)間，得到，從而求出c的范圍判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(2，6)，∴，即：c=2-2b，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線：與線段有交點(diǎn)，∴，即：，∴，∴6≤c=2-2b≤14，∴5不可能取到，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是找到b的取值范圍以及c=2-2b．8．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用勾股定理可得AC=6cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，利用分割圖形求面積法可得，利用配方法即可求出四邊形的面積最小值．【詳解】解：在中，，，，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值，最小值為cm2．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理．利用分割圖形求面積法找出是解題的關(guān)鍵．9．（2021·山東濟(jì)南市·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，據(jù)此即可求得其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，作出函數(shù)圖象，直觀的觀察可得到的取值范圍【詳解】點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的圖象即為圖中虛線部分，如圖，當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，從圖可知函數(shù)的最大值是當(dāng)時(shí)，取得最大值3，最小值是當(dāng)時(shí)，取得最小值，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，分段討論函數(shù)的最值，可以通過(guò)函數(shù)圖象輔助求解，理解新定義，畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級(jí)二模）如果將拋物線y＝x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___．【答案】y=（x-1）2+3【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為：y=（x-1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=（x-1）2向上平移3個(gè)單位所得拋物線的解析式為：y=（x-1）2+3，故答案為：y=（x-1）2+3．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”利用頂點(diǎn)的變化確定圖形的變化是解題的關(guān)鍵．11．（2021·陜西渭南市·九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+bx，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，則b的取值范圍為______．【答案】b≥﹣4【分析】先表示出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性列出不等式求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)y＝2x2+bx對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣，∵a＝2＞0，x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，∴﹣≤1，解得b≥﹣4．故答案為：b≥﹣4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與二次函數(shù)的對(duì)稱軸，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的增減性．12．（2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______．【答案】【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且，可得該函數(shù)圖象開口向下，從而得到當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即可求解．【詳解】解：∵∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，∵，∴該函數(shù)圖象開口向下，∵，∴此時(shí)圖象位于對(duì)稱軸的右邊，∴此時(shí)隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，則最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．13．（2021·珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點(diǎn)，比較：y1_____y2．【答案】＜【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對(duì)稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝x2＋a，∴圖象開口向上，對(duì)稱軸為y軸，∴A（﹣2，y1）與（2，y1）關(guān)于y軸對(duì)稱∵當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，且5＞2∴y1＜y2．故答案為＜．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．14．（2021·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）二次函數(shù)y＝2x2+4x+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____．當(dāng)x=-1時(shí)，y=_____．【答案】(-1，-1）-1【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；將x=-1代入二次函數(shù)解析式即可求y．【詳解】解：∵y＝2x2+4x+1=2(x2+2x+1)?1=2(x+1)2?1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，?1)，當(dāng)x=-1時(shí)，y＝故答案為：(?1，?1)；【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法及點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求頂點(diǎn)坐標(biāo)可用配方法，也可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．15．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則關(guān)于的方程的解是_______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列出①，②，由①②聯(lián)立方程組求得a、b的值，然后列出關(guān)于x的方程(x-1)2=0，通過(guò)解方程來(lái)求x的值．【詳解】根據(jù)圖象，對(duì)稱軸，①又頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，，②由①②解得，，，由，得，即，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答該題時(shí)，一定要讀懂圖中給出的相關(guān)信息，運(yùn)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)解答．16．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有_______．（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置可判斷a、b、c的符號(hào)，然后再根據(jù)兩根關(guān)系和拋物線與x的交點(diǎn)情況逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解析：二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，且，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)圖象開口一定向下，，，又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線又，，，故①正確；當(dāng)時(shí)，，②正確；當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，將代入得，故④正確；綜上，答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵．17．（2021·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），以CE為邊向外作矩形CEFG，且CG＝CE，連接BF，點(diǎn)O是線段BF的中點(diǎn)，連接OE，則OE的最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，得出，，再根據(jù)已知設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理求出，求出的最小值即可．【詳解】解：延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，如圖所示：為中點(diǎn)，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)，即，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定，關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)的掌握和綜合運(yùn)用．18．（2021·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1，0)，對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若點(diǎn)A(-3，)、點(diǎn)B()、點(diǎn)C()在該函數(shù)圖象上，則：⑤若方程的兩根為，且，則其中正確的結(jié)論有__________．(只填序號(hào))【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：①由對(duì)稱軸可知：x＝?＝2，∴4a＋b＝0，故①正確；②由圖可知：x＝?3時(shí)，y＜0，∴9a?3b＋c＜0，即9a＋c＜3b，故②正確；③令x＝?1，y＝0，∴a?b＋c＝0，∵b＝?4a，∴c＝?5a，∴8a＋7b＋2c＝8a?28a?10a＝?30a由開口可知：a＜0，∴8a＋7b＋2c＝?30a＞0，故③正確；④由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)C關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為（，y3），∵?3＜?＜，∴y1＜y2＜y3故④錯(cuò)誤；⑤由題意可知：（?1，0）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為（5，0），∴二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x?5），令y＝?3，∴直線y＝?3與拋物線y＝a（x＋1）（x?5）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，∴x1＜?1＜5＜x2故⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確理解二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，本題屬于中等題型．19．（2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級(jí)三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是______．【答案】①③【分析】①正確，如圖1中，在上截取，連接．證明即可解決問(wèn)題；②錯(cuò)誤，由（1）可得，，由此即可判定不平分；③正確，如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接CH，則，再證明即可解決問(wèn)題．④錯(cuò)誤，如圖1，設(shè)，則，利用三角形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．【詳解】解：如圖1中，在上截取，連接．，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，故①正確；∵在中，，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴不平分，故②錯(cuò)誤；如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接CH，又∵，，∴，，，，，又，，，，，，故③正確；如圖1，設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為，故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．三、解答題20．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣x+1，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，則y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，則y＝2×12﹣1+1＝2；所以函數(shù)y的最小值為2，最大值為4．彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．【答案】不正確，二次函數(shù)的最大值為4，最小值為1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出其對(duì)稱軸，然后確定函數(shù)圖象的增減性，利用增減性和對(duì)稱性求解即可得到答案．【詳解】解：彤彤的解答不正確，∵∴二次函數(shù)的的對(duì)稱軸，∵，且2＞0，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，二次函數(shù)在時(shí)，y隨x增大而減小，二次函數(shù)在時(shí)，y隨x增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，∴二次函數(shù)的最大值為4，最小值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．21．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A(2，3)，交y軸于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）若拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）已知點(diǎn)(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大?。敬鸢浮浚?）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）將將代入解析式即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求得對(duì)稱軸；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得即可求得解析式；（3）分類討論，根據(jù)開口方向及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可比較y1和y2的大小．【詳解】（1）交y軸于點(diǎn)B，將代入，解得，，過(guò)，，即，；（2）對(duì)稱軸為，若拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，將代入，解得，，即；（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，拋物線的開口朝上，在對(duì)稱軸的左側(cè)是隨的增加而減小，點(diǎn)(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上，且，，當(dāng)時(shí)，拋物線的開口朝下，在對(duì)稱軸的左側(cè)是隨的增加而增大，點(diǎn)(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上，且，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，_______（直接填寫結(jié)果）．（2）若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積為，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）不存在，理由見解析【分析】（1）把代入拋物線的解析式求出b，可得到拋物線解析式為，再另，求x（舍去負(fù)值），即可求出點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，如圖所示，連結(jié)、、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則，，先根據(jù)三角形的面積公式求出，，再由得到.令，即，由，得出方程無(wú)解，即不存在滿足條件的點(diǎn)F.【詳解】解析：（1）拋物線過(guò)點(diǎn)，，解得，，拋物線的解析式為，令，解得，，（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，如圖所示，連結(jié)、、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則，，，令，即，則，方程無(wú)解故不存在滿足條件的點(diǎn)．【點(diǎn)睛