重難點專項突破02二次函數(shù)綜合之“面積”問題(原卷版+解析)

重難點專項突破02二次函數(shù)綜合之“面積”問題【知識梳理】必備知識1二次函數(shù)的解析式結(jié)構(gòu)、圖形變換特征與類別2一次函數(shù)的概念、性質(zhì)與圖像特征3二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的類別4坐標(biāo)系中的面積求法:割補法、圖形變換法、坐標(biāo)法、共邊共角、垂線段等核心方法1.核心思路:判定求面積類別——使用模型解法求解2.核心技巧:利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，將代數(shù)的距離問題轉(zhuǎn)化為幾何的底邊與高等面積求解問題；割補類注意規(guī)則圖形的結(jié)構(gòu)特征；圖形替換類注意替換角度。3.核心推理過程:識別基礎(chǔ)條件，思考歸屬類別，采用核心技巧，判定解法考察重點1考察重點:坐標(biāo)系中的面積求法；二次函數(shù)的面積相關(guān)描述條件；面積求解方法的特征2邏輯重點:識別二次函數(shù)的基礎(chǔ)條件，直線交點，相交構(gòu)圖特征常見分析思路1先定面積求法:底X高;割補類;垂線段；將軍飲馬模型最大邊2利用二次函數(shù)與直線等函數(shù)解析式，求解數(shù)值【考點剖析】一、解答題1．（2023春·廣東揭陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線下方拋物線上一動點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動點P運動到什么位置時，使四邊形的面積最大，求出此時四邊形的面積最大值和P的坐標(biāo)．2．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點，，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點D，使？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，與直線相交于點F，求直線的函數(shù)表達3．（2023春·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，與軸交于點和點，與軸交于點，點為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接交于點，當(dāng)時，請求出點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點的坐標(biāo)為，點為軸負半軸上的一點，，連接，若，請求出點的坐標(biāo)；(4)M是平面內(nèi)一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，若的兩個頂點恰好落在拋物線上，請求點的坐標(biāo)．4．（2023春·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點和點，拋物線的頂點為點．

(1)求拋物線的表達式及頂點；(2)點在對稱軸上，且在點下方，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點恰好落在拋物線上，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點在拋物線的對稱軸上（點在點的下方），四邊形的面積為12，求的正切值．5．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點，，．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)的面積為S，求S的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)已知是拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2023春·山西太原·九年級山西實驗中學(xué)校考期中）【初步探究】如圖（1），拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．請直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)：A_________；B_________；C_________．【深度探究】如圖（2），點D的坐標(biāo)為，點P是該拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，連接．（1）請問是否有最大面積？若有，求出的最大面積和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．（2）點P在運動的過程中，和的交點為E，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出此時點E的坐標(biāo)．

7．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線過點，，點為x軸上一個動點（點M不與點A，C重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別交于點D，N．

(1)求此拋物線的解析式；(2)求當(dāng)點D是線段的中點時m的值；(3)當(dāng)與的面積相等時，求點M的坐標(biāo)；(4)過點D作軸于E，過點N作軸于F．直接寫出在矩形內(nèi)部的拋物線當(dāng)y隨x增大而增大時m的取值范圍．8．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負半軸交于點，與軸交于A，兩點，點A在點左側(cè)，點的坐標(biāo)為，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是第三象限拋物線上的動點，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求出此時點的坐標(biāo)；(3)將拋物線向右平移2個單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，在原拋物線的對稱軸上，為平移后的拋物線上一點，當(dāng)以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．9．（2023·海南海口·海師附中校考三模）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，頂點為D，連接，P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)t為何值時，的面積最大？并求出最大面積；(3)M為直線上一點，求的最小值；(4)過P點作軸，交于E點．是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標(biāo)為，點在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)點在軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點為，當(dāng)拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．(4)當(dāng)點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當(dāng)以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·湖北孝感·九年級漢川市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸只有一個公共點，與y軸交于點，虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋物線，則圖中兩個陰影部分的面積和為（

）A．4 B．2 C．6 D．82．（2023·安徽黃山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，過點平行于軸的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線上且在軸的上方，連接，則面積的最大值是(

)A． B． C． D．3．（2022秋·河南安陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：中，，，O是中點，點E、F分別從B、C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿、運動，到點C、A時停止運動，設(shè)運動時間為t（s），的面積為S（），則能表示S與t函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．4．（2022秋·四川攀枝花·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與x軸相交于A、B兩點，若在拋物線上有且只有三個不同的點、、，使得、、的面積都等于m，則m的值是（）A．6 B．8 C．12 D．165．（2023·廣東·二模）已知拋物線的頂點是原點，點A在第一象限拋物線上，點B為點A關(guān)于原點對稱點，交拋物線于點C，則的面積S關(guān)于點A橫坐標(biāo)的m的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點，點的坐標(biāo)為，連接，．若面積為8，則的值是（

）A．4 B． C．8 D．7．（2022秋·九年級單元測試）已知拋物線與y軸交于點A，與x軸分別交于B、C兩點，將該拋物線分別平移后得到拋物線，，其中的頂點為點B，的頂點為點C，則有這三條拋物線所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（

）A．8 B．16 C．32 D．無法計算8．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上一動點，若點P使△ACP的面積最大，則點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）9．（2023·山東德州·模擬預(yù)測）如圖，拋物線：與拋物線：交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，分別交兩條拋物線于點，，則以下結(jié)論：①無論取何值，恒小于0；②可由向右平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度得到；③當(dāng)時，隨著的增大，的值先增大后減??；④四邊形的面積為18．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點，交軸的正半軸于點，對稱軸交拋物線于點，交軸于點，則下列結(jié)論：①；②；③（為任意實數(shù)）；④若點是拋物線上第一象限上的動點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點為A，與y軸的交點為點B，過點B作軸交函數(shù)圖像于點C，連接、，則的面積為_________．12．（2022·廣東佛山·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點B坐標(biāo)為，點D從點C沿邊運動到點B，以為邊作正方形，連接，在D運動過程中面積的最小值是___________．13．（2022春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，點P是拋物線上的一個動點，連接、，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為_____．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知拋物線的圖象與x軸相交于點A和點，與y軸交于點C，連接，有一動點D在線段上運動，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F，，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．連接，則的最大面積為___________．15．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點，連接，．已知點E坐標(biāo)為，點D在線段上，且．則四邊形面積的大小為______．

16．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知、為兩條定長的線段，，，，點A、C分別為線段，上的點（點C可與點P重合），、，若，則四邊形面積的最大值為___________．

17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點（點在的左邊），與軸交于點，點為此拋物線上的一動點（點在第一象限），連接，則四邊形面積的最大值為______．

18．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于A，兩點（點A位于點的左側(cè)），是拋物線上的一個動點，若，則所有滿足條件的點的橫坐標(biāo)之和是________．三、解答題19．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谀┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C．其中．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點P在二次函數(shù)圖象上，且，求點P的坐標(biāo)．20．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊?dāng)時，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．22．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．23．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)校考期末）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C，點A的坐標(biāo)為，連接．

(1)當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)若，①求m的值；②點P是x軸上方的拋物線上的一動點，連結(jié)．設(shè)的面積為S．若S為正偶數(shù)，試求點P的坐標(biāo)．24．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

重難點專項突破02二次函數(shù)綜合之“面積”問題【知識梳理】必備知識1二次函數(shù)的解析式結(jié)構(gòu)、圖形變換特征與類別2一次函數(shù)的概念、性質(zhì)與圖像特征3二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的類別4坐標(biāo)系中的面積求法:割補法、圖形變換法、坐標(biāo)法、共邊共角、垂線段等核心方法1.核心思路:判定求面積類別——使用模型解法求解2.核心技巧:利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，將代數(shù)的距離問題轉(zhuǎn)化為幾何的底邊與高等面積求解問題；割補類注意規(guī)則圖形的結(jié)構(gòu)特征；圖形替換類注意替換角度。3.核心推理過程:識別基礎(chǔ)條件，思考歸屬類別，采用核心技巧，判定解法考察重點1考察重點:坐標(biāo)系中的面積求法；二次函數(shù)的面積相關(guān)描述條件；面積求解方法的特征2邏輯重點:識別二次函數(shù)的基礎(chǔ)條件，直線交點，相交構(gòu)圖特征常見分析思路1先定面積求法:底X高;割補類;垂線段；將軍飲馬模型最大邊2利用二次函數(shù)與直線等函數(shù)解析式，求解數(shù)值【考點剖析】一、解答題1．（2023春·廣東揭陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線下方拋物線上一動點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動點P運動到什么位置時，使四邊形的面積最大，求出此時四邊形的面積最大值和P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)當(dāng)時，四邊形ABCP的最大值是，．【分析】對于（1），直接將點A，B的坐標(biāo)代入關(guān)系式，即可求出答案；對于（2），分別求出各線段的長，再表示出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)列出二次函數(shù)，整理為頂點式，再討論極值即可得出答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，

∴，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為：；（2）當(dāng)時，，∴點．∵，，∴，，．設(shè)點P的坐標(biāo)為，，．∵，∴當(dāng)時，四邊形的最大值是，此時點P的坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，求特殊圖形的面積，求二次函數(shù)的極值等，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積和是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點，，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點D，使？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，與直線相交于點F，求直線的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)點D的坐標(biāo)為或或(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法解答；（2）設(shè)，根據(jù)題意及利用三角形面積列出方程，求出y的值后代入拋物線的解析式即可解答；（3）由勾股定理解得的長，再根據(jù)勾股定理逆定理證明為直角三角形，設(shè)直線與直線交于點F，過點F作軸于點M，由相似三角形的判定與性質(zhì)解得的長，求得點F的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式．【詳解】（1）把點代入拋物線得：，，；（2）由題意可知，，，，設(shè)，，，當(dāng)時，由，解得：或，此時點D的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，由，解得：或（舍去），此時點D的坐標(biāo)為；綜上所述，點D的坐標(biāo)為：或或；（3），，，為直角三角形，即，如圖，設(shè)直線與直線交于點F，過點F作軸于點M，

由題意得，，，∵，∴，，，，，，，，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，將、代入得：，解得：，直線的函數(shù)表達式為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象上點的特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，關(guān)鍵是利用面積關(guān)系求出點D的坐標(biāo)．3．（2023春·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，與軸交于點和點，與軸交于點，點為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接交于點，當(dāng)時，請求出點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點的坐標(biāo)為，點為軸負半軸上的一點，，連接，若，請求出點的坐標(biāo)；(4)M是平面內(nèi)一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，若的兩個頂點恰好落在拋物線上，請求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式求得的坐標(biāo)，進而得出，根據(jù)得出則點到軸的距離為，即可得出點的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交軸于點，求得直線的表達式為，聯(lián)立并解得(舍去正值)，即可求解．（4）依題意，軸，軸．當(dāng)點在拋物線上時，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為．得出點，當(dāng)點，在拋物線上時，同理可得．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴解得：，∴；（2）令，得．解得：．∴∴，∴，∵，∴過點作軸于點，

∴點到軸的距離為，∵，則，∴點；（3）設(shè)直線交軸于點，

∵，，∴，∴．則直線的表達式為聯(lián)立解得(舍去正值)．故點（4）∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴軸，軸．如圖1，當(dāng)點在拋物線上時，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為．∴解得，則點如圖2，當(dāng)點，在拋物線上時，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)比點的縱坐標(biāo)大，∴解得．則點∴點的坐標(biāo)為或

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點和點，拋物線的頂點為點．

(1)求拋物線的表達式及頂點；(2)點在對稱軸上，且在點下方，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點恰好落在拋物線上，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點在拋物線的對稱軸上（點在點的下方），四邊形的面積為12，求的正切值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點和點代入拋物線解析式得到，解方程組即可得到的值，從而得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點式，即可得到點的坐標(biāo)；（2）令點的坐標(biāo)為，則，從而得到，將代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，由可得，設(shè)直線的解析式為：，將，代入，求出直線的解析式，作，交于，令直線與軸交于點，根據(jù)可求得的長度，再根據(jù)勾股定理可求得的長度，最后根據(jù)正切的定義即可求得答案．【詳解】（1）解：將點和點代入拋物線解析式，得：，解得：，拋物線的解析式為：，，；（2）解：由（1）可知，對稱軸為直線：，點在對稱軸上，且在點下方，令點的坐標(biāo)為，則，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點的縱坐標(biāo)與點相同，點的橫坐標(biāo)為，，點恰好落在拋物線上，，解得：或，或，在的右邊，；（3）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為：，將，代入，得，解得：，直線的解析式為：，令直線與軸交于點，當(dāng)時，，解得：，，作，交于，，，，，，．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正切的定義，三角形面積的計算，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正切的定義，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點，，．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)的面積為S，求S的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)已知是拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)S最大值為，(3)存在，點或或或．【分析】（1）運用拋物線交點式解析式求解，設(shè)拋物線，點代入求解；（2）如圖，過點P作，垂足為點D，交于點E，設(shè)，確定的解析式，于是，從而，所以時，S最大值為，進而求得；（3）設(shè)，如圖，，，，分類討論：當(dāng)為對角線時，，由勾股定理，，解得，設(shè)點，則，從而得點或；另當(dāng)為對角線時，，同法求得，當(dāng)為對角線時，，同法求得點．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線，由經(jīng)過點，得，∴∴．（2）如圖，過點P作，垂足為點D，交于點E，

設(shè)設(shè)直線的解析式為，得，解得∴則點，∴∴當(dāng)時，S最大值為，∴；（3）存在．設(shè)，如圖，，，當(dāng)為對角線時，由勾股定理，∴，解得，設(shè)點，則解得∴點或

如圖，當(dāng)為對角線時，

，即，解得，則解得∴點如圖，當(dāng)為對角線時，

，即，解得，則解得∴點綜上，點或或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積最值問題，二次函數(shù)與矩形存在性問題，注意分類討論，運用數(shù)形結(jié)合思想，將圖形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山西太原·九年級山西實驗中學(xué)?？计谥校境醪教骄俊咳鐖D（1），拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．請直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)：A_________；B_________；C_________．【深度探究】如圖（2），點D的坐標(biāo)為，點P是該拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，連接．（1）請問是否有最大面積？若有，求出的最大面積和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．（2）點P在運動的過程中，和的交點為E，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出此時點E的坐標(biāo)．

【答案】初步探究：；深度探究：（1）當(dāng)時，的面積最大為；（2）或或【分析】初步探究：分別求出當(dāng)時，y的值，當(dāng)時，x的值即可得到答案；深度探究：（1）設(shè)點P坐標(biāo)為，連接，根據(jù)得到，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）求出直線的解析式為，設(shè)，利用勾股定理得到，，，再分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況建立方程求解即可．【詳解】初步探究：在中，當(dāng)時，；當(dāng)，解得或，∴；拓展延伸：（1）設(shè)點P坐標(biāo)為，連接，∵點D坐標(biāo)為，點C坐標(biāo)為，

∴，∵點P坐標(biāo)為∴，∵，∴當(dāng)時，有最大面積，∴當(dāng)時，的面積最大為；

（2）設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，∵，∴，，，當(dāng)時，則，解得，∴∴；當(dāng)時，則，解得或（舍去），∴∴；當(dāng)時，則，解得或（舍去），∴，∴；綜上所述，點E的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線過點，，點為x軸上一個動點（點M不與點A，C重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別交于點D，N．

(1)求此拋物線的解析式；(2)求當(dāng)點D是線段的中點時m的值；(3)當(dāng)與的面積相等時，求點M的坐標(biāo)；(4)過點D作軸于E，過點N作軸于F．直接寫出在矩形內(nèi)部的拋物線當(dāng)y隨x增大而增大時m的取值范圍．【答案】(1)(2)1(3)或或(4)且【分析】（1）利用待定系數(shù)法可進行求解；（2）由題意可得直線的解析式，然后可得，，，進而問題可求解；（3）由題意可得，然后可得方程，進而求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖象，進而問題可求解．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，所以拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，所以直線的解析式為．由題知，，，，當(dāng)點D為線段的中點時，如圖1，

，，由，解得，（不合題意，舍去），所以當(dāng)點D是線段的中點時m的值是1．（3）解：由題知，，，由，得，即，解得，，．所以當(dāng)與的面積相等時，點M的坐標(biāo)為或或．（4）解：由可知開口向下，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴只需矩形包含對稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象即可，由（2）可知直線的解析式為，由圖4知：當(dāng)時，則，即，，即，此時矩形不包含二次函數(shù)的圖象，∴由圖2、圖3、圖4可知，在矩形內(nèi)部的拋物線當(dāng)y隨x增大而增大時m的取值范圍是且．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負半軸交于點，與軸交于A，兩點，點A在點左側(cè)，點的坐標(biāo)為，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是第三象限拋物線上的動點，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求出此時點的坐標(biāo)；(3)將拋物線向右平移2個單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，在原拋物線的對稱軸上，為平移后的拋物線上一點，當(dāng)以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)點的坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)及可得出點的坐標(biāo)，再根據(jù)點、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點作軸的垂線交直線于點，先求出點，用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)，則，得到，由，得：，，即可得到點D的坐標(biāo)；（3）先求得平移后的拋物線解析式為，設(shè)，，分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵點的坐標(biāo)為，，∴點的坐標(biāo)為，將點、代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）過點作軸的垂線交直線于點．

由，解得：，，∴，設(shè)直線的解析式為，把、代入，得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴∴，由，得：，，當(dāng)時，，時，，∴點的坐標(biāo)為，；（3），對稱軸為直線，將拋物線向右平移個單位后的拋物線解析式為，聯(lián)立，解得：，，設(shè)，，又，，以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形面積，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題．9．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，頂點為D，連接，P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)t為何值時，的面積最大？并求出最大面積；(3)M為直線上一點，求的最小值；(4)過P點作軸，交于E點．是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)當(dāng)時，的面積最大，最大面積為32(3)(4)存在，P點的坐標(biāo)為，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）利用拋物線的解析式求出點B的坐標(biāo)，得到直線的解析式，過點P作軸，交x軸于點F，交于點G，利用求出解析式，利用函數(shù)性質(zhì)解答即可；（3）作O關(guān)于直線的對稱點為，得到四邊形為正方形，則，則，當(dāng)A、M、三點共線時，最小，即為線段的長，勾股定理求出即可．（4）分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出點P的坐標(biāo)【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）當(dāng)時，得或，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得∴直線的解析式為．如圖，過點P作軸，交x軸于點F，交于點G．

設(shè)點，．∴．∴，∴當(dāng)時，的面積最大，最大面積為32；（3）作O關(guān)于直線的對稱點為，連接，如圖，

∵，，∴四邊形為正方形，則，則，當(dāng)A、M、三點共線時，最小，即為線段的長，∴最小值為．（4）∵，∴，

∵，∴，∵∴，∴，，，當(dāng)時，，解得或，∴；當(dāng)時，則，∴，解得（舍去）或，∴；當(dāng)時，則，∴，解得或（舍去），∴，綜上，P點的坐標(biāo)為，，．【點睛】此題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，軸對稱問題，等腰三角形的性質(zhì)，圖形面積問題，綜合掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．10．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標(biāo)為，點在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)點在軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點為，當(dāng)拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．(4)當(dāng)點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當(dāng)以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】(1)；頂點坐標(biāo)為(2)(3)或或或(4)或或【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)時，，求得拋物線與軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上的點在軸上時，橫坐標(biāo)為．其中，得出，即可求解；（3）①如圖所示，當(dāng)，即時，②當(dāng)，即時，③當(dāng)，即時，④當(dāng)，即，分別畫出圖形，根據(jù)最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為，建立方程，解方程即可求解；（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當(dāng)是的中點，②同理當(dāng)為的中點時，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，解得：∴拋物線解析式為；∵，∴頂點坐標(biāo)為，（2）解：由，當(dāng)時，，解得：，∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標(biāo)為．其中．∴∴解得：，∵點的坐標(biāo)為，∴；（3）①如圖所示，當(dāng)，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，∵頂點坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)之差為依題意，解得：；②當(dāng)，即時，

∵，即，依題意，，解得：或（舍去），③當(dāng)，即時，

則，解得：或（舍去），④當(dāng)，即，

則，解得：（舍去）或，綜上所述，或或或；（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，∴∴∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴∵,①當(dāng)是的中點，如圖所示

則，∴代入，即，解得：（舍去）或；②同理當(dāng)為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，解得：，③如圖所示，

設(shè)，則，∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴即∴，∴，∴，∵關(guān)于對稱，∴，解得：，綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·湖北孝感·九年級漢川市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸只有一個公共點，與y軸交于點，虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋物線，則圖中兩個陰影部分的面積和為（

）A．4 B．2 C．6 D．8【答案】D【分析】連接，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積求解即可．【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點M，連接．由題意可知，，∵∴，∵拋物線是軸對稱圖形，∴圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形的面積，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．2．（2023·安徽黃山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，過點平行于軸的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線上且在軸的上方，連接，則面積的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定，再解方程得，，所以，設(shè)，利用三角形面積公式表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，解得，則，，，設(shè)，當(dāng)時，面積的最大值為．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，面積問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南安陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：中，，，O是中點，點E、F分別從B、C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿、運動，到點C、A時停止運動，設(shè)運動時間為t（s），的面積為S（），則能表示S與t函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，中點的定義，推出三角形全等，然后由三角形的面積公式列出方程求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)的解析式判斷其函數(shù)的圖形．【詳解】解：如圖，連接，由題意得：，，，，，∵O是中點，∴，，在與中，，∴，∴，∴，∴，化為頂點式：，∴頂點坐標(biāo)為，故選：B．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，動點問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·四川攀枝花·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與x軸相交于A、B兩點，若在拋物線上有且只有三個不同的點、、，使得、、的面積都等于m，則m的值是（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的解析式，先求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上有且只有三個不同點滿足以為底的三角形的面積相等，判斷該三個點中有一個是拋物線的頂點，從而算出m的值．【詳解】∵拋物線與x軸相交于A、B兩點，∴點，點，該拋物線的對稱軸是直線，∴，該拋物線頂點的縱坐標(biāo)是：，∵在拋物線上有且只有三個不同的點、、，使得、、的面積都等于m，∴m8，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點及三角形的面積．解決本題的關(guān)鍵是找到滿足使、、的面積相等的一個點．5．（2023·廣東·二模）已知拋物線的頂點是原點，點A在第一象限拋物線上，點B為點A關(guān)于原點對稱點，交拋物線于點C，則的面積S關(guān)于點A橫坐標(biāo)的m的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)求出，繼而寫出A，B的坐標(biāo)，用兩點間距離公式得出的長，再寫出的解析式，根據(jù)垂直，可得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求出點C點的坐標(biāo)，繼而求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】∵拋物線的頂點是原點，∴，∴，∴解析式為，∴，∵點B為點A關(guān)于原點對稱點，∴，∴直線的解析式為，，∵交拋物線于點C，∴直線的解析式為，令，解得（0舍去），∴，∴，∴，即，故選：A．【點睛】本題考查了兩點間距離公式，三角形的面積公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式和應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點，點的坐標(biāo)為，連接，．若面積為8，則的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】設(shè)，，其中，，聯(lián)立與得，即，可得，．因為，根據(jù)面積為8即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，，其中，．聯(lián)立與得：，即，，．，面積為8，，解得，，，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)關(guān)系解決問題．7．（2022秋·九年級單元測試）已知拋物線與y軸交于點A，與x軸分別交于B、C兩點，將該拋物線分別平移后得到拋物線，，其中的頂點為點B，的頂點為點C，則有這三條拋物線所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（

）A．8 B．16 C．32 D．無法計算【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和拋物線的對稱性可知圖中陰影部分的面積的面積．【詳解】】解：∵，∴，，則．又當(dāng)時，，則，故．∴拋物線是由拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度得到的，拋物線由拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度得到的，∴．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象平移問題，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式，根據(jù)二次函數(shù)圖象平移，利用割補法求解．8．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上一動點，若點P使△ACP的面積最大，則點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3）【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)和直線AC的解析式，過點P作PGy軸交AC于點G，設(shè)P（t，），則G（t，t＋2），求出PG＝，可得，進而可得當(dāng)t＝時，有最大值，問題得解．【詳解】解：將點A（?3，0），B（1，0）代入中，得，解得：，∴二次函數(shù)解析式為，令x＝0，則，∴C（0，2），設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n，代入A（?3，0），C（0，2）得，解得，∴直線AC的解析式為y＝x＋2，過點P作PGy軸交AC于點G，設(shè)P（t，），則G（t，t＋2），∴PG＝，∴，∴當(dāng)t＝時，有最大值，此時P（，），故選：A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，求出函數(shù)解析式，表示出PG的長是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·山東德州·模擬預(yù)測）如圖，拋物線：與拋物線：交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，分別交兩條拋物線于點，，則以下結(jié)論：①無論取何值，恒小于0；②可由向右平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度得到；③當(dāng)時，隨著的增大，的值先增大后減??；④四邊形的面積為18．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①將化成頂點式，再判斷即可．②將、的解析式都轉(zhuǎn)化成頂點式，由頂點坐標(biāo)即可判斷與的平移關(guān)系．③將的表達式求出來，根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷的增減性．④先求出四點的坐標(biāo)，再由計算即可．【詳解】①∴無論x取何值時，恒小于0，故①正確．②把代入中得∴的表達式為：頂點為∵的頂點為∴可由先向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到．故②錯誤．③，的值隨x值的增大而減小，故③錯誤．④由：可知對稱軸為，且由：可得對稱軸為，且

軸，即故④正確．綜上，正確的有①和④，故選：B【點睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，以及二次函數(shù)中求四邊形面積．綜合性較強，屬于壓軸題．熟練掌握二次函數(shù)的一般式與頂點式的轉(zhuǎn)換，求二次函數(shù)的對稱軸，求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點，交軸的正半軸于點，對稱軸交拋物線于點，交軸于點，則下列結(jié)論：①；②；③（為任意實數(shù)）；④若點是拋物線上第一象限上的動點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，由拋物線與軸交于點，得到對稱軸，從而得到，①正確；由①中，拋物線開口向下及拋物線交軸的正半軸即可確定②錯誤；根據(jù)二次函數(shù)最值即可得到，③錯誤；根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求法，得到，利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)即可確定④錯誤．【詳解】解：∵拋物線與軸交于點，∴對稱軸為直線，即，∴，故①正確，符合題意；∵拋物線開口向下，∴，∴，∵拋物線交軸的正半軸，∴，∴，故②錯誤，不符合題意；

∵拋物線的對稱軸，開口向下，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，∴（為任意實數(shù)），∴（為任意實數(shù)），故③錯誤，不符合題意；∵，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，將點代入，∴，∴，過點作軸交于點，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，的面積最大，故④不正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖形與性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積等是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點為A，與y軸的交點為點B，過點B作軸交函數(shù)圖像于點C，連接、，則的面積為_________．【答案】/1.5【分析】過點A作，垂足為D，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和頂點坐標(biāo)公式可求出A、B、C三點的坐標(biāo)公式，即可求出答案．【詳解】解：過點A作，垂足為D，如圖所示，由題意得，二次函數(shù)解析式為，令，解得：，∴B點坐標(biāo)為，∵軸，∴C點縱坐標(biāo)也等于c,∵二次函數(shù)的頂點是A點，根據(jù)頂點坐標(biāo)公式，把a，b，c代入得：，，∴A點坐標(biāo)為，∵二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱且B點坐標(biāo)為，∴C點坐標(biāo)為，∴的長為，的長為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．12．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點B坐標(biāo)為，點D從點C沿邊運動到點B，以為邊作正方形，連接，在D運動過程中面積的最小值是___________．【答案】【分析】由勾股定理可求正方形的面積，可求面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵頂點B坐標(biāo)為，∴，∴，∴正方形的面積，∴面積，∴當(dāng)時，△BEF面積的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用參數(shù)表示面積是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，點P是拋物線上的一個動點，連接、，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為_____．【答案】或或【分析】根據(jù)，求出拋物線的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為，再根據(jù)得到，得到，分別根據(jù)和進行求解即可得到答案．【詳解】解：如下圖所示，∵拋物線與x軸的兩個交點分別為，∴，，，解得：，，∴拋物線的解析式為：；設(shè)點P的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，當(dāng)時，，∴，，當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)P點的坐標(biāo)分別為或或時，；故答案為：或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用建立方程求出P的點縱坐標(biāo)．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知拋物線的圖象與x軸相交于點A和點，與y軸交于點C，連接，有一動點D在線段上運動，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F，，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．連接，則的最大面積為___________．【答案】【分析】先利用待定系數(shù)法求出拋物線和直線解析式，設(shè)，，則，故，進而求解即可．【詳解】解：，，，將，代入得，，解得，，當(dāng)時，，即；設(shè)直線解析式為，，解得，直線解析式為，設(shè)，，，，，開口向下，當(dāng)時，的最大值為，故答案為：【點睛】本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．15．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點，連接，．已知點E坐標(biāo)為，點D在線段上，且．則四邊形面積的大小為______．

【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出A，B，C三點的坐標(biāo)，然后再求出所在直線的解析式，設(shè)，根據(jù)，求出D點坐標(biāo)，再利用割補法即可求出四邊形的面積．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點；，，；容易求出所在直線的解析式為；設(shè)，，；；；，；；故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，涉及到了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用割補法求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握二次函數(shù)的綜合知識是解題的關(guān)鍵．16．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知、為兩條定長的線段，，，，點A、C分別為線段，上的點（點C可與點P重合），、，若，則四邊形面積的最大值為___________．

【答案】【分析】過點C作于點D，易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，從而得到，由，可得，即，設(shè)，則四邊形的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，S隨x的增大而增大，再結(jié)合，可知當(dāng)時，S取得最大值，．【詳解】解：過點C作于點D，如圖所示：

∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則四邊形的面積為：，∵，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，S隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時，S取得最大值，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點（點在的左邊），與軸交于點，點為此拋物線上的一動點（點在第一象限），連接，則四邊形面積的最大值為______．

【答案】【分析】過作于，如圖所示，根據(jù)拋物線圖像與性質(zhì)求出的坐標(biāo)，再由，利用二次函數(shù)最值性質(zhì)求出四邊形面積最大值即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：

設(shè)，則，拋物線與軸交于兩點（點在的左邊），與軸交于點，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，解得或，即、，，，拋物線開口向下，有最大值，即當(dāng)時，四邊形面積有最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合的面積最值問題，熟練掌握二次函數(shù)綜合面積問題解法，靈活運用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于A，兩點（點A位于點的左側(cè)），是拋物線上的一個動點，若，則所有滿足條件的點的橫坐標(biāo)之和是________．【答案】6【分析】根據(jù)題意利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出的長，設(shè)，結(jié)合即可求出點P的所有坐標(biāo)，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)，，∵拋物線與軸交于A，兩點（點A位于點的左側(cè)），∴，，∴，設(shè)，則．∵，∴，解得，當(dāng)時，，解得或；當(dāng)時，，解得或．∴符合題意的點的坐標(biāo)為或或或，共有4個不同的點，∴所有滿足條件的點橫坐標(biāo)之和為6．故答案為：6.【點睛】本題考查二次函數(shù)面積問題，涉及到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．三、解答題19．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校校考期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C．其中．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點P在二次函數(shù)圖象上，且，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點B的坐標(biāo)，進而求出的面積，則由三角形面積公式可求出點P的縱坐標(biāo)，進而求出點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：當(dāng)時，則，解得或，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，解得，即；當(dāng)時，解得或，即或；綜上所述，點P的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．20．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點的坐標(biāo)為或【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點和點坐標(biāo)直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．（2）過線段的中點，且與平行的直線上的點與點，點連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案．【詳解】（1）解：因為拋物線經(jīng)過點和點兩點，所以，解得，所以拋物線解析式為：．（2）解：如圖，設(shè)線段的中點為，可知點的坐標(biāo)為，過點作與平行的直線，假設(shè)與拋物線交于點，（在的左邊），（在圖中未能顯示）．設(shè)直線的函數(shù)解析式為．因為直線經(jīng)過點和，所以，解得，所以，直線的函數(shù)解析式為：．

又，可設(shè)直線的函數(shù)解析式為，因為直線經(jīng)過點，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，．又，所以，直線上任意一點與點，點連線組成的的面積都滿足．所以，直線與拋物線的交點，即為所求，可得，化簡，得，解得，所以，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．故答案為：存在，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點是解題的關(guān)鍵．21．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊?dāng)時，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)（?。?；（2）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（ⅰ）根據(jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當(dāng)時，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進而即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，解得：，∴；（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，∵，∴解得：，∴直線，如圖所示，依題意，，，，

∴，，∴當(dāng)時，與的面積之和為，（ⅱ）當(dāng)點在對稱右側(cè)時，則，∴，當(dāng)時，，∴，∴，解得：，

當(dāng)時，，∴，∴，解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）過點作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，過點作對稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：或，∵其中點在拋物線對稱軸的左側(cè)．∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴；（3）解：依題意，點恰好在軸上，則，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C，點A的坐標(biāo)為，連接．

(1)當(dāng)時，求