專題0622.1二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)(知識點考點一站到底)-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊知識點考點一站到底(人教版)(原卷版+解析)

專題0622.1二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（知識點考點一站到底）知識點?筆記1.二次函數(shù)的概念：一般地，表達(dá)式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，其中x是自變量，ax2稱為二次項，bx稱為一次項，c叫做常數(shù)項．[注意]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a，b，c是常數(shù)，a必須不為0，而b，c可以為任意實數(shù)．用二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系列函數(shù)表達(dá)式的步驟：①審清題意，找出實際問題中的已知量、未知量，將文字、圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言；②找出等量關(guān)系；③設(shè)出表示變量的字母，列出函數(shù)表達(dá)式．在一般情況下，二次函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍要使實際問題有意義．2.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k圖象的形狀圖象的特點a>0a<0向x軸左右方向無限延伸是軸對稱圖形，對稱軸為直線x＝－h(huán)在直線x＝－h(huán)的左側(cè)是下降的，在直線x＝－h(huán)的右側(cè)是上升的在直線x＝－h(huán)的左側(cè)是上升的，在直線x＝－h(huán)的右側(cè)是下降的頂點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)，頂點是圖象的最低點，開口向上，圖象向上無限延伸頂點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)，頂點是圖象的最高點，開口向下，圖象向下無限延伸[點撥](1)拋物線y＝a(x＋h)2＋k的形狀由a決定，位置由h，k決定；(2)已知拋物線的頂點坐標(biāo)時，可用頂點式求函數(shù)表達(dá)式．3.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的性質(zhì)二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k圖象的形狀性質(zhì)a>0a<0自變量x的取值范圍是全體實數(shù)點(x1，y)與點(x2，y)關(guān)于直線x＝－h(huán)對稱當(dāng)x<－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而減小，當(dāng)x>－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而增大當(dāng)x<－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而增大，當(dāng)x>－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而減小當(dāng)x＝－h(huán)時，函數(shù)取得最小值，y最小值＝k，且沒有最大值，即y≥k當(dāng)x＝－h(huán)時，函數(shù)取得最大值，y最大值＝k，且沒有最小值，即y≤k4.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象的平移(1)平移時與上、下、左、右平移的先后順序無關(guān)；(2)拋物線的平移主要看頂點的移動，即在平移時抓住頂點坐標(biāo)的平移規(guī)律即可；(3)拋物線y＝a(x＋h)2＋k經(jīng)過反向平移也可以得到拋物線y＝ax2.5.二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)．3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．[點撥]三種形式之間的關(guān)系：↓因式分解eq\x(交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）)6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值．由已知條件列出關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值，即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式．考點?梳理考點1：二次函數(shù)的定義必備知識點：1.二次函數(shù)的概念：一般地，表達(dá)式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，其中x是自變量，ax2稱為二次項，bx稱為一次項，c叫做常數(shù)項．題型1列二次函數(shù)解析式解題指導(dǎo)：列函數(shù)表達(dá)式的步驟：①審清題意，找出實際問題中的已知量、未知量，將文字、圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言；②找出等量關(guān)系；③設(shè)出表示變量的字母，列出函數(shù)表達(dá)式．在一般情況下，二次函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍要使實際問題有意義．例1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2例2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，，且，設(shè)直線截此三角形所得的陰影部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B． C． D．例3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，則第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)m與n的解析式是______．練習(xí)1．（2022·廣東惠州·一模）正方形的面積y與它的周長x滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．反比例函數(shù)練習(xí)2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在一個邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，如果設(shè)剩余部分的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．練習(xí)3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，現(xiàn)有一個動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度沿AC向終點C運(yùn)動，動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB向終點B運(yùn)動，當(dāng)有一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts，的面積為S，求：（1）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)時，求線段PQ的長；（3）當(dāng)t為何值時，？練習(xí)4．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）（1）你知道下面每一個圖形中各有多少個小圓圈嗎？第5個圖形中應(yīng)該有多少個小圓圈？為什么？（2）完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)（3）如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？題型2判斷二次函數(shù)解析式解題指導(dǎo)：二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0，且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式例1．（2022·福建·莆田擢英中學(xué)九年級期末）下列各式中，y是關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）A．y＝4x+2 B． C． D．y＝例2．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列函數(shù)不是二次函數(shù)的是（

）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝1﹣x2C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1） D．y＝2（x＋3）2﹣2x2練習(xí)1．（2022·全國·九年級單元測試）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．練習(xí)2．（2022·浙江麗水·九年級期中）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1練習(xí)3．（2021·河南·油田十中九年級階段練習(xí)）若函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為（

）A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2練習(xí)4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？（1）y＝3x—1；（2）；（3）

；（4）；（5）；（6）題型3根據(jù)定義求參數(shù)解題指導(dǎo)：二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0，未知數(shù)的最高次數(shù)為2例1．（2022·全國·九年級單元測試）若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為____．例2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m為常數(shù)）．（1）當(dāng)m_______時，該函數(shù)為二次函數(shù)；（2）當(dāng)m_______時，該函數(shù)為一次函數(shù)．練習(xí)1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求滿足條件的m的值．練習(xí)2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)y=（a+1）+（a﹣2）x（a為常數(shù)），求a的值：(1)函數(shù)為二次函數(shù)；(2)函數(shù)為一次函數(shù)．練習(xí)3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求的值（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．考點2：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)必備知識點：題型1化一般式為頂點式解題指導(dǎo)：利用配方法化一般式為頂點式例1．（2022·浙江金華·八年級期末）已知拋物線的最低點的縱坐標(biāo)為，則拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．例2．（2021·天津市晟楷中學(xué)九年級階段練習(xí)）把二次函數(shù)用配方法化成的形式是________．練習(xí)1．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)九年級期末）拋物線的頂點坐標(biāo)為_________．練習(xí)2．（2021·遼寧大連·九年級期末）將二次函數(shù)化為的形式為________．練習(xí)3．（2022·陜西安康·九年級期末）已知拋物線，求其對稱軸和頂點坐標(biāo)．練習(xí)4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)是二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)用配方法確定該函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸．題型2二次函數(shù)的平移規(guī)律應(yīng)用解題指導(dǎo)：只要兩個函數(shù)的a相同，就可以通過平移重合。將二次函數(shù)一般式化為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，平移規(guī)律：左加右減，對x；上加下減，直接加減例1．（2021·黑龍江·蘭西縣第三中學(xué)九年級期中）將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．例2．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到圖象的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C．(3，-2) D．(3，2)練習(xí)1．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學(xué)九年級期末）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度得到的圖象的頂點坐標(biāo)是()A．(2，－4) B．(4，－2) C．(2，－1) D．(－2，－1)練習(xí)2．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級階段練習(xí)）要得到拋物線，可以將拋物線（

）A．向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度 B．向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度C．向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度 D．向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度練習(xí)3．（2021·河南·油田十中九年級階段練習(xí)）把二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的解析式為，則______．練習(xí)4．（2021·浙江·溫州外國語學(xué)校九年級期中）將過點（2，2）的拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位，得到，則________．題型3二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系解題指導(dǎo)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與系數(shù)的關(guān)系判定結(jié)論：a：根據(jù)開口方向：開口向上a＞0，開口向下a＜0b：結(jié)合開口方向和對稱軸：左同右異：對稱軸在Y軸左側(cè)時，a、b符號相同，對稱軸在Y軸右側(cè)時，a、b符號相反c：根據(jù)圖像與Y軸交點的縱坐標(biāo)：交點縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)時，c＜0，交點縱坐標(biāo)為正數(shù)時，c＞0b：根據(jù)對稱軸方程：，帶入化簡變形即可c：聯(lián)立對稱軸方程：和一個特殊值帶入，替換掉b然后化簡變形即可c：聯(lián)立對稱軸方程：和一個特殊值帶入，替換掉a然后化簡變形即可b、c：①：遇到b2-4ac時，運(yùn)用函數(shù)與X軸交點個數(shù)判斷：當(dāng)有兩個交點時：b2-4ac＞0，當(dāng)有一個交點時：b2-4ac=0，當(dāng)沒有交點時：b2-4ac＜0②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等時，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可③：遇到abc時，運(yùn)用上面單獨a、b、c的正負(fù)判斷即可。例1．（2021·甘肅·莊浪縣陽川中學(xué)九年級期中）如圖是二次函數(shù)的圖像一部分，其對稱軸是x=-1，且過點（-3，0），說法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是拋物線上兩點，則；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022·甘肅·張掖市第一中學(xué)九年級期末）如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你認(rèn)為其中錯誤的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個練習(xí)1．（2022·江蘇南通·八年級期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個練習(xí)2．（2022·四川資陽·中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點．有以下四個結(jié)論：①，②，③，④若頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，y有最大值為2、最小值為，此時m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個練習(xí)3．（2022·廣東·湛江一中九年級課時練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個練習(xí)4．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示：①a＞b＞c，②一次函數(shù)y＝ax＋c的圖象不經(jīng)過第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意實數(shù))，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正確的結(jié)論有___(填序號)．題型4函數(shù)圖像共存問題解題指導(dǎo)：利用函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系，判斷共存函數(shù)圖像的對應(yīng)系數(shù)的正負(fù)，若一致則共存，不一致則不共存例1．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)(a是常數(shù)，且a≠0)的圖象可能是（）A． B．C． D．例2．（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)y＝ax和函數(shù)y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（

）A． B．C． D．練習(xí)1．（2022·湖北湖北·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限練習(xí)2．（2022·全國·九年級階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是（

） B． C．D．練習(xí)3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像相交于、兩點，則函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C． D．練習(xí)4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．題型5二次函數(shù)對稱性的運(yùn)用例1．（2022·甘肅·張掖育才中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（）A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝練習(xí)1．（2022·江蘇南通·八年級期末）若，是拋物線上的兩個點，則它的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線練習(xí)2．（2022·甘肅·張掖市第一中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)的對稱軸是直線________；函數(shù)的圖象的對稱軸是直線________．題型6二次函數(shù)增減性運(yùn)用例1．（2021·安徽省六安皋城中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線過A（－2，），B（－3，），C（2，）三點，則y1、y2、y3大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例2．（2022·浙江溫州·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練習(xí)1．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級期末）點（-1，），（3，），（5，）均在二次函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（

）A．>> B．>= C．>> D．=>練習(xí)2．（2021·湖北咸寧·九年級階段練習(xí)）若點A（﹣3，），B（1，），C（m，）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1練習(xí)3．（2021·云南·富源縣第七中學(xué)九年級期中）若點A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都是二次函數(shù)的圖象上的點，則（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2練習(xí)4．（2022·江蘇南通·八年級期末）二次函數(shù)的圖象過點，，若當(dāng)時．隨著的增大而減小，則實數(shù)的取值范圍是______．題型7二次函數(shù)最值問題例1．（2022·甘肅·涼州區(qū)中佳育才學(xué)校九年級期末）已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．例2．（2022·安徽宿州·九年級期末）已知y關(guān)于x的函數(shù)，點P為拋物線頂點．（1）當(dāng)P點最高時，______．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)有最小值8，則_____．練習(xí)1．（2022·全國·九年級期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為8，則的值是____．練習(xí)2．（2019·河南洛陽·九年級期末）求二次函數(shù)的最值．練習(xí)3．（2022·全國·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象過點（－2，4），（1，－2）．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)－1≤x≤3時，求y的最大值與最小值的差；練習(xí)4．（2022·河南洛陽·九年級期末）已知拋物線．(1)寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時，函數(shù)取得最大值，請求出這個最大值．題型8二次函數(shù)解析式求法解題指導(dǎo)：二次函數(shù)表達(dá)式的類型及適用情況表達(dá)式類型表達(dá)式適用情況一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)已知圖象上三個任意點的坐標(biāo)y＝ax2＋bx(a≠0)圖象經(jīng)過原點，又知另兩個任意點的坐標(biāo)頂點式y(tǒng)＝ax2(a≠0)已知頂點坐標(biāo)為(0，0)，又知另一個任意點的坐標(biāo)y＝ax2＋k(a≠0)已知頂點坐標(biāo)為(0，k)，又知另一個任意點的坐標(biāo)y＝a(x＋h)2(a≠0)已知頂點坐標(biāo)為(－h(huán)，0)，又知另一個任意點的坐標(biāo)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)已知頂點坐標(biāo)為(－h(huán)，k)，又知另一個任意點的坐標(biāo)交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)(x1，0)，(x2，0)，又知另一個任意點的坐標(biāo)例1．（2021·安徽·霍邱縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求拋物線的解析式和頂點E坐標(biāo)．例2．（2022·浙江金華·八年級期末）求分別滿足下列條件的二次函數(shù)解析式：(1)二次函數(shù)圖像經(jīng)過三點．(2)二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)是，并經(jīng)過點．練習(xí)1．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校九年級期末）已知二次函數(shù)的圖象以A（1，－4）為頂點，且過點B（3，0）(1)求該函數(shù)的關(guān)系式；(2)求該函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；練習(xí)2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，求二次函數(shù)的解析式．(1)已知二次函數(shù)的頂點在原點，且過另一點(2，－4)，則二次函數(shù)的解析式為；(2)已知二次函數(shù)的頂點在y軸上，且縱坐標(biāo)為2，過另一點(1，4)，則二次函數(shù)的解析式為；(3)已知二次函數(shù)的頂點在x軸上，且橫坐標(biāo)為2，過另一點(1，－4)，則二次函數(shù)的解析式為；(4)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－3，0)，(1，0)，(0，3)，則二次函數(shù)的解析式為；(5)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，則二次函數(shù)的解析式為；(6)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A(3，0)，對稱軸為直線x＝1，與y軸正半軸交于點C，且OC＝2，則二次函數(shù)的解析式為；(7)將拋物線y＝4x2向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，所得拋物線的解析式為．專題0622.1二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（知識點考點一站到底）知識點?筆記1.二次函數(shù)的概念：一般地，表達(dá)式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，其中x是自變量，ax2稱為二次項，bx稱為一次項，c叫做常數(shù)項．[注意]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a，b，c是常數(shù)，a必須不為0，而b，c可以為任意實數(shù)．用二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系列函數(shù)表達(dá)式的步驟：①審清題意，找出實際問題中的已知量、未知量，將文字、圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言；②找出等量關(guān)系；③設(shè)出表示變量的字母，列出函數(shù)表達(dá)式．在一般情況下，二次函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍要使實際問題有意義．2.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k圖象的形狀圖象的特點a>0a<0向x軸左右方向無限延伸是軸對稱圖形，對稱軸為直線x＝－h(huán)在直線x＝－h(huán)的左側(cè)是下降的，在直線x＝－h(huán)的右側(cè)是上升的在直線x＝－h(huán)的左側(cè)是上升的，在直線x＝－h(huán)的右側(cè)是下降的頂點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)，頂點是圖象的最低點，開口向上，圖象向上無限延伸頂點坐標(biāo)是(－h(huán)，k)，頂點是圖象的最高點，開口向下，圖象向下無限延伸[點撥](1)拋物線y＝a(x＋h)2＋k的形狀由a決定，位置由h，k決定；(2)已知拋物線的頂點坐標(biāo)時，可用頂點式求函數(shù)表達(dá)式．3.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的性質(zhì)二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k圖象的形狀性質(zhì)a>0a<0自變量x的取值范圍是全體實數(shù)點(x1，y)與點(x2，y)關(guān)于直線x＝－h(huán)對稱當(dāng)x<－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而減小，當(dāng)x>－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而增大當(dāng)x<－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而增大，當(dāng)x>－h(huán)時，函數(shù)y隨x的增大而減小當(dāng)x＝－h(huán)時，函數(shù)取得最小值，y最小值＝k，且沒有最大值，即y≥k當(dāng)x＝－h(huán)時，函數(shù)取得最大值，y最大值＝k，且沒有最小值，即y≤k4.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象的平移(1)平移時與上、下、左、右平移的先后順序無關(guān)；(2)拋物線的平移主要看頂點的移動，即在平移時抓住頂點坐標(biāo)的平移規(guī)律即可；(3)拋物線y＝a(x＋h)2＋k經(jīng)過反向平移也可以得到拋物線y＝ax2.5.二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)．3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．[點撥]三種形式之間的關(guān)系：↓因式分解eq\x(交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）)6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值．由已知條件列出關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值，即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式．考點?梳理考點1：二次函數(shù)的定義必備知識點：1.二次函數(shù)的概念：一般地，表達(dá)式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，其中x是自變量，ax2稱為二次項，bx稱為一次項，c叫做常數(shù)項．題型1列二次函數(shù)解析式解題指導(dǎo)：列函數(shù)表達(dá)式的步驟：①審清題意，找出實際問題中的已知量、未知量，將文字、圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言；②找出等量關(guān)系；③設(shè)出表示變量的字母，列出函數(shù)表達(dá)式．在一般情況下，二次函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍要使實際問題有意義．例1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根據(jù)兩年后機(jī)器價值＝機(jī)器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．【詳解】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，故選：D．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖像要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．例2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，，且，設(shè)直線截此三角形所得的陰影部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】中，，且，可得；再由平行線的性質(zhì)得出，即，進(jìn)而證明，最后根據(jù)三角形的面積公式，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：如圖所示，∵中，，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：．故選：B．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識點．解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系．例3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，則第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)m與n的解析式是______．【答案】m=2n2?n【分析】圖（1）中只有一層，有（4×0＋1）一個正方形，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了一層，第二層有（4×1＋1）個．圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎(chǔ)長增加了一層，第三層有（4×2＋1），依此類推出第n層正方形的個數(shù)，即可推出當(dāng)有n層時總的正方形個數(shù)．【詳解】解：經(jīng)分析，可知：第一層的正方形個數(shù)為（4×0＋1），第二層的正方形個數(shù)為（4×1＋1），第三層的正方形個數(shù)為（4×2＋1），……第n層的個數(shù)為：[4×（n?1）＋1]，第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)m為：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n?2）＋1]＋[4×（n?1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n?2）＋1＋4×（n?1）＋1＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n?2＋n?1）＝n＋4＝n＋2n（n?1）＝2n2?n．即：m=2n2?n．故答案為：m=2n2?n【點睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變換總結(jié)規(guī)律，由圖形變換得規(guī)律：每次都比上一次增加一層，增加第n層時小正方形共增加了4（n?1）＋1個，將n層的小正方形個數(shù)相加即可得到總的小正方形個數(shù)．練習(xí)1．（2022·廣東惠州·一模）正方形的面積y與它的周長x滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．二次函數(shù) D．反比例函數(shù)【答案】C【分析】由周長，先求出正方形的邊長，然后結(jié)合面積公式，即可得到答案．【詳解】解：∵正方形的周長為x，∴正方形的邊長為，∴正方形的面積；故選：C．【點睛】本題考查了函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的面積和周長公式．練習(xí)2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在一個邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，如果設(shè)剩余部分的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：設(shè)剩下部分的面積為y，則：y=-x2+4（0＜x＜2），故選：C．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，利用剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積得出是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，現(xiàn)有一個動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度沿AC向終點C運(yùn)動，動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB向終點B運(yùn)動，當(dāng)有一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為ts，的面積為S，求：（1）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)時，求線段PQ的長；（3）當(dāng)t為何值時，？【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)t為2或3時，．【分析】（1）由點P點Q的運(yùn)動速度和運(yùn)動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式求解即可；（2）當(dāng)時，代入（1）中公式可得PC，CQ的長，再由勾股定理即可求出PQ；（3）結(jié)合（1）得到的關(guān)系式，代入條件，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由條件可得：，，∴，∴，；（2）當(dāng)時，，，∴；（3）由題意可得：，整理得：，解得：，，∴當(dāng)t為2或3時，．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，方程思想是解決本題的關(guān)鍵．練習(xí)4．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）（1）你知道下面每一個圖形中各有多少個小圓圈嗎？第5個圖形中應(yīng)該有多少個小圓圈？為什么？（2）完成下表：邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)（3）如果用n表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？【答案】（1）第1個圖形：1個；第2個圖形：7個；第3個圖形：19個；第4個圖形：37個；第5個圖形：61個，理由見解析；（2）1，7，19，37，61；（3）【分析】（1）首先，觀察每個圖形的特點，算出每一個圖形中的小圓圈數(shù)，據(jù)此推過推算即可得到第5個圖中小圓圈的個數(shù)；（2）直接將（1）算出的結(jié)果填入下列表格即可；（3）接下來通過對表格進(jìn)行分析，即可得到每一個圖形的小圓圈數(shù)與該圖形一條邊上的小圓圈數(shù)之間的關(guān)系．【詳解】（1）觀察每個圖形的特點，就可以算出第1個圖形的小圓圈有1個，第2個圖形的小圓圈有2+3+2=7個，第3個圖形的小圓圈有3+4+5+4+3=19個，第4個圖形的小圓圈有4+5+6+7+6+5+4=37個，由此可推知第5個圖形的小圓圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61個；（2）將（1）算出的結(jié)果填入下列表格，如下表所示，邊上的小圓圈數(shù)12345每個圖中小圓圈的總數(shù)17193761（3）結(jié)合（1）（2）可知，與之間的函數(shù)關(guān)系為：首尾相加得．【點睛】本題主要考察根據(jù)圖形和數(shù)字尋找規(guī)律的知識.解決此類找規(guī)律的題目一般從特殊的數(shù)據(jù)入手，根據(jù)前后式子之間的異同推斷出規(guī)律，再利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決相關(guān)問題．題型2判斷二次函數(shù)解析式解題指導(dǎo)：二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0，且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式例1．（2022·福建·莆田擢英中學(xué)九年級期末）下列各式中，y是關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）A．y＝4x+2 B． C． D．y＝【答案】C【分析】根據(jù)形如（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)是二次函數(shù)，判斷即可．【詳解】解：A．y=4x+2，是一次函數(shù)，故A不符合題意；B．，當(dāng)a≠0時，才是二次函數(shù)，故B不符合題意；C．，是二次函數(shù)，故C符合題意；D．y＝，等號右邊是分式，不是二次函數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列函數(shù)不是二次函數(shù)的是（

）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝1﹣x2C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1） D．y＝2（x＋3）2﹣2x2【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．y＝（x﹣1）2是二次函數(shù)；B．y＝1﹣x2是二次函數(shù)C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1）=，是二次函數(shù)；D．y＝2（x＋3）2﹣2x2，不是二次函數(shù)，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的定義．練習(xí)1．（2022·全國·九年級單元測試）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，逐一分析判斷即可得出正確選項．【詳解】A、是二次函數(shù)，符合題意；B、是一次函數(shù)，不合題意；C、是反比例函數(shù)，不合題意；D、不是二次函數(shù)，不合題意；故選A．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2022·浙江麗水·九年級期中）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項分析即可，二次函數(shù)的定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．【詳解】A.y＝＋x＋1，不是二次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；

B.y＝x2－(x＋1)2，不是二次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；

C.y＝－x2＋3x＋1，是二次函數(shù)，故該選項正確，符合題意；D.y＝3x＋1，不是二次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；故選C【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·河南·油田十中九年級階段練習(xí)）若函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為（

）A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義和已知條件得出且m＋3≠0，再求出答案即可．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴且m＋3≠0，解得：m=3，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，注意：形如（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫二次函數(shù)．練習(xí)4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？（1）y＝3x—1；（2）；（3）

；（4）；（5）；（6）【答案】（2）（4）是二次函數(shù)【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解∶（1）不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是1．（2）是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念．（3）不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是3．（4）是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念．（5）不是二次函數(shù)，因為原式整理后為y=－x．（6）不是二次函數(shù)，因為x－2為分式，不是整式．故（2）（4）是二次函數(shù)．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如（其中a、b、c均為常數(shù)，且）的函數(shù)關(guān)系稱為二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型3根據(jù)定義求參數(shù)解題指導(dǎo)：二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0，未知數(shù)的最高次數(shù)為2例1．（2022·全國·九年級單元測試）若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為____．【答案】2【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由題意可知

m2-2=2，m+2≠0，解得：m=2．故答案為：2．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定義，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．例2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m為常數(shù)）．（1）當(dāng)m_______時，該函數(shù)為二次函數(shù)；（2）當(dāng)m_______時，該函數(shù)為一次函數(shù)．【答案】

≠2

=2【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次項的系數(shù)不能為0，列出不等式，求解得出m的取值范圍；（2）根據(jù)一次函數(shù)的定義，一次項的系數(shù)不能為零，且二次項的系數(shù)應(yīng)該為0，據(jù)此求解得出m的值；【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=（m﹣2）x2+mx﹣3為二次函數(shù)，∴m﹣2≠0，∴m≠2．（2）∵函數(shù)y=（m﹣2）x2+mx﹣3為一次函數(shù)，∴m﹣2=0，m≠0，∴m=2．故答案為：（1）≠2；（2）=2【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義，利用函數(shù)的定義建立方程或不等式是解本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求滿足條件的m的值．【答案】5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解∶根據(jù)題意得∶，且，解得m=5，即滿足條件的m的值為5．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如（其中a、b、c均為常數(shù)，且）的函數(shù)關(guān)系稱為二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)y=（a+1）+（a﹣2）x（a為常數(shù)），求a的值：(1)函數(shù)為二次函數(shù)；(2)函數(shù)為一次函數(shù)．【答案】(1)a=1(2)a=0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函數(shù)的定義得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；（2）利用一次函數(shù)的定義分別求出即可．(1)當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，解得：a=±1，a≠-1，∴a=1；(2)當(dāng)時，函數(shù)為一次函數(shù)，解得：a=0，當(dāng)a+1=0，即a=﹣1時，函數(shù)為一次函數(shù)，所以，當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，a=1，當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，a=0或﹣1．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求的值（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題；【詳解】解：（1）由題意得，解得；（2）由題意得，，解得且．【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，（1）根據(jù)二次項的系數(shù)等于零，一次項的系數(shù)不等于零；（2）根據(jù)二次項的系數(shù)不等于零，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．考點2：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)必備知識點：題型1化一般式為頂點式解題指導(dǎo)：利用配方法化一般式為頂點式例1．（2022·浙江金華·八年級期末）已知拋物線的最低點的縱坐標(biāo)為，則拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)頂點的縱坐標(biāo)求出m的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵拋物線的最低點的縱坐標(biāo)為，∴，即∴，當(dāng)m=1時，拋物線為．故選：B．【點睛】本題考查拋物線的頂點坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是掌握拋物線的頂點坐標(biāo)為．例2．（2021·天津市晟楷中學(xué)九年級階段練習(xí)）把二次函數(shù)用配方法化成的形式是________．【答案】【分析】利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了將二次函數(shù)的解析式化成頂點式，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)九年級期末）拋物線的頂點坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】先將二次函數(shù)化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)頂點式直接可得答案．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．練習(xí)2．（2021·遼寧大連·九年級期末）將二次函數(shù)化為的形式為________．【答案】【分析】運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式即可．【詳解】＝故答案為【點睛】本題考查二次函數(shù)的三種形式，正確運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·陜西安康·九年級期末）已知拋物線，求其對稱軸和頂點坐標(biāo)．【答案】拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為【分析】把函數(shù)解析式整理成頂點形式，然后寫出對稱軸和頂點坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)是二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)用配方法確定該函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸．【答案】(1)m＝－1(2)頂點為，對稱軸為直線x＝1【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)：最高次為2次，且二次項系數(shù)不等于0即可求出m的值；（2）用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式改寫成頂點式即可確定函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸．（1）由題意可知：，解得：m＝－1（2）∴頂點為，對稱軸為：直線x＝1【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)和用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式改寫成頂點式，熟練地根據(jù)頂點式寫出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸是解題的關(guān)鍵．題型2二次函數(shù)的平移規(guī)律應(yīng)用解題指導(dǎo)：只要兩個函數(shù)的a相同，就可以通過平移重合。將二次函數(shù)一般式化為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，平移規(guī)律：左加右減，對x；上加下減，直接加減例1．（2021·黑龍江·蘭西縣第三中學(xué)九年級期中）將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定出原拋物線的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加，求出新圖象的頂點坐標(biāo)，然后頂點式寫出新拋物線解析式即可得答案．【詳解】∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0），∴向右平移2個單位，再向上平移1個單位后的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，1），∴得到新拋物線的解析式是，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．例2．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到圖象的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C．(3，-2) D．(3，2)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：拋物線向右平移3個單位，然后向下平移2個單位，則平移后拋物線的解析式為：，頂點坐標(biāo)為：(3，-2)．故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟知“上加下減，左加右減”的法則．練習(xí)1．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學(xué)九年級期末）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度得到的圖象的頂點坐標(biāo)是()A．(2，－4) B．(4，－2) C．(2，－1) D．(－2，－1)【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，先確定拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0），再利用點的平移規(guī)律得到頂點平移后對應(yīng)點的坐標(biāo)，從而得到平移后拋物線的頂點坐標(biāo)．【詳解】解：函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（0，0），點（0，0）向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位是點（2，?1），即平移后拋物線的頂點坐標(biāo)是（2，?1）．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．練習(xí)2．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級階段練習(xí)）要得到拋物線，可以將拋物線（

）A．向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度 B．向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度C．向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度 D．向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度【答案】C【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【詳解】解：∵y=2(x-4)2+1的頂點坐標(biāo)為（4，1），y=2x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），∴將拋物線y=2x2向右平移4個單位，再向上平移1個單位，可得到拋物線y=2(x-4)2+1．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答時注意抓住點的平移規(guī)律和求出關(guān)鍵點頂點坐標(biāo)．練習(xí)3．（2021·河南·油田十中九年級階段練習(xí)）把二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的解析式為，則______．【答案】7【分析】將平移后的函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)平移方式倒推出平移前的函數(shù)解析式，得出相應(yīng)的系數(shù)，即可求解．【詳解】解：平移后的函數(shù)解析式為：，根據(jù)平移方式可知，平移后的圖像向上平移2個單位，向左平移3個單位可得原圖像，∴原函數(shù)解析式為：，∴，，∴，故答案為：7．【點睛】此題主要考查根據(jù)拋物線的平移規(guī)律求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．練習(xí)4．（2021·浙江·溫州外國語學(xué)校九年級期中）將過點（2，2）的拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位，得到，則________．【答案】－3【分析】由題意可知，拋物線y＝＋bx＋c過點（0，－3），代入y＝＋bx＋c即可求得c．【詳解】解：點（2，2）向左平移2個單位，再向下平移5個單位得到（0，－3）可知，拋物線y＝＋bx＋c過點（0，－3）代入可得c＝－3故答案為：－3【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，平移，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，能夠理解題意，明確拋物線y＝＋bx＋c過點（0，－3）是解題的關(guān)鍵．題型3二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系解題指導(dǎo)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與系數(shù)的關(guān)系判定結(jié)論：a：根據(jù)開口方向：開口向上a＞0，開口向下a＜0b：結(jié)合開口方向和對稱軸：左同右異：對稱軸在Y軸左側(cè)時，a、b符號相同，對稱軸在Y軸右側(cè)時，a、b符號相反c：根據(jù)圖像與Y軸交點的縱坐標(biāo)：交點縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)時，c＜0，交點縱坐標(biāo)為正數(shù)時，c＞0b：根據(jù)對稱軸方程：，帶入化簡變形即可c：聯(lián)立對稱軸方程：和一個特殊值帶入，替換掉b然后化簡變形即可c：聯(lián)立對稱軸方程：和一個特殊值帶入，替換掉a然后化簡變形即可b、c：①：遇到b2-4ac時，運(yùn)用函數(shù)與X軸交點個數(shù)判斷：當(dāng)有兩個交點時：b2-4ac＞0，當(dāng)有一個交點時：b2-4ac=0，當(dāng)沒有交點時：b2-4ac＜0②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等時，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可③：遇到abc時，運(yùn)用上面單獨a、b、c的正負(fù)判斷即可。例1．（2021·甘肅·莊浪縣陽川中學(xué)九年級期中）如圖是二次函數(shù)的圖像一部分，其對稱軸是x=-1，且過點（-3，0），說法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是拋物線上兩點，則；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由開口方向確定a的符號；由拋物線與y軸的交點確定c的符號；由對稱軸確定b的符號，判斷①③；利用圖像得出與x軸的另一交點，進(jìn)而得出a+b+c=0，即可判斷②，x=2時，y＞0，判斷④；根據(jù)函數(shù)增減性，判斷⑤．【詳解】∵二次函數(shù)的圖像開口向上，∴a＞0，∵二次函數(shù)的圖像交y軸的負(fù)半軸于一點，∴c＜0，∵對稱軸是直線x=-1，∴-=-1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，2a-b=0，故①②正確；∵拋物線的對稱軸為x=-1，且過點（-3，0），∴拋物線與x軸另一交點為（1，0）．∵當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=2時y＞0，即4a+2b+c＞0，故③錯誤；∵關(guān)于直線x=-1的對稱點的坐標(biāo)是，又∵當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而增大，3＞，∴，故④正確．綜合上述可得：①②④正確，共計3個．故選：C．【點睛】考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是理解：二次函數(shù)（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）．拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)：時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點．例2．（2022·甘肅·張掖市第一中學(xué)九年級期末）如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你認(rèn)為其中錯誤的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】D【分析】由拋物線與x軸交點情況判斷與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及a的范圍推理的符號，根據(jù)當(dāng)x＝1的函數(shù)值判斷的符號．【詳解】解：（1）根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，∴；故本選項正確；（2）由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點在點（0，1）以下，∴；故本選項錯誤；（3）由圖示，知對稱軸；又函數(shù)圖象的開口方向向下，∴，∴，即，故本選項正確；（4）根據(jù)圖示可知，當(dāng)x＝1，即，∴；故本選項正確；綜上所述，其中錯誤的是（2），共有1個；故選：D．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·江蘇南通·八年級期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置，與軸的交點即可判斷①；當(dāng)時，，即可判斷②；當(dāng)時，，即可判斷③；根據(jù)拋物線與軸有2個交點，即可判斷④．【詳解】解：①拋物線開口向下，，∵，∴，，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，，，故錯誤；②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時，，，故錯誤．③拋物線的對稱軸為，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，當(dāng)時，，，故正確；④拋物線與軸有2個交點，△，故正確．故選：B．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當(dāng)與同號時（即，對稱軸在軸左；當(dāng)與異號時（即，對稱軸在軸右；③常數(shù)項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于．練習(xí)2．（2022·四川資陽·中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點．有以下四個結(jié)論：①，②，③，④若頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，y有最大值為2、最小值為，此時m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】①：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，，即可判斷出；②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④：運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點，∴，，∴，∴，故①正確；從圖中可以看出，當(dāng)時，函數(shù)值大于1，因此將代入得，，即，故②正確；∵，∴，從圖中可以看出，當(dāng)時，函數(shù)值小于0，∴，∴，故③正確；∵二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入得，，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∴當(dāng)時，；∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，得到，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個正確結(jié)論，故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·廣東·湛江一中九年級課時練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵與y軸的交點為在y軸的正半軸上，∴c＞0，∵對稱軸為，得2a=-b，∴a、b異號，即b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵拋物線與x軸的交點可以看出，當(dāng)x=-1時，y＜0，∴a-b+c＜0，即b＞a+c，故②錯誤；∵對稱軸，得2a=-b，∴4a+2b+c=-2b+2b+c=c，又∵c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，故④正確．故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)4．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示：①a＞b＞c，②一次函數(shù)y＝ax＋c的圖象不經(jīng)過第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意實數(shù))，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正確的結(jié)論有___(填序號)．【答案】④⑤##⑤④【分析】①根據(jù)拋物線開口向上，且與y軸的交點再y軸負(fù)半軸，即可判定a＞0，c＜0，再結(jié)合拋物線的對稱軸可得b=2a，即可判斷；②根據(jù)以得出的a＞0，c＜0，即可判斷；③令m=-1即可判斷；⑤根據(jù)圖象可知，當(dāng)x=1時，拋物線的函數(shù)值大于0，可得當(dāng)x=1時，有，即可判斷；④結(jié)合b=2a，可得，即可判斷．【詳解】∵拋物線開口向上，且與y軸的交點再y軸負(fù)半軸，∴a＞0，c＜0，∵拋物線的對稱軸為x=-1，∴，∴即b=2a，且b＞0，即有b＞a＞c，故①錯誤；∵a＞0，c＜0，∴可知一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，故②錯誤；∵m為任意數(shù)，∴當(dāng)m=-1時，有，故③錯誤；∵根據(jù)圖象可知，當(dāng)x=1時，拋物線的函數(shù)值大于0，∴當(dāng)x=1時，有，故⑤正確∵b=2a，∴，故④正確，故答案為：④⑤．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的對稱軸，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．解答此題時要注意數(shù)形結(jié)合的思想．題型4函數(shù)圖像共存問題解題指導(dǎo)：利用函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系，判斷共存函數(shù)圖像的對應(yīng)系數(shù)的正負(fù)，若一致則共存，不一致則不共存例1．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)(a是常數(shù)，且a≠0)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)和的一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的特征分析即可．【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限；函數(shù)的開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)；當(dāng)時，函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限；函數(shù)的開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象綜合，根據(jù)圖象判斷函數(shù)解析式中字母的取值，正確理解函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)y＝ax和函數(shù)y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：A.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向上，，與軸的交點在軸正半軸，則，矛盾，故A不正確；B.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向上，，與軸的交點在軸正半軸，則，矛盾，故B不正確；C.正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向下，，與軸的交點在軸正半軸，則，故C正確；D..正比例函數(shù)中，二次函數(shù)開口向下，，與軸的交點在軸正半軸，則，矛盾，故D不正確；故選C【點睛】本題考查了正比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，掌握正比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·湖北湖北·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限．【詳解】解：∵拋物線的頂點（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出n、m的符號．練習(xí)2．（2022·全國·九年級階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是（

） B． C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)與x軸的交點為（m，0），（n，0），從而得到，進(jìn)而得到函數(shù)經(jīng)過第一三四象限，且與y軸的交點位于點（0，-1）的下方，即可求解．【詳解】解：令y=0，則，解得：，∴二次函數(shù)與x軸的交點為（m，0），（n，0），∵，∴，∴函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，且與y軸的交點位于點（0，-1）的下方．故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像相交于、兩點，則函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由=x2+bx+c圖象可知，對稱軸x=＞0，，，拋物線與y軸的交點在x軸下方，故選項B，C錯誤，拋物線的對稱軸為，∴，∴拋物線y=x2+（b-1）x+c的對稱軸在y軸的右側(cè)，故選項D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，明確二次函數(shù)中各項系數(shù)的意義及利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．練習(xí)4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】題干中二次函數(shù)的圖象開口向下，可以判斷出a的符號為負(fù)，一次函數(shù)的圖象與x軸正方向夾角小于90°，且與y軸交點在y軸的正半軸，可以據(jù)此判斷出b、c的符號皆為正，再去判斷各選項哪個符合二次函數(shù)的圖象．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴a<0，又∵一次函數(shù)的圖象與x軸正方向夾角小于90°，且與y軸交點在y軸的正半軸，∴b>0，c>0，則>0，可知二次函數(shù)開口方向向下，對稱軸在y軸右側(cè)，且與y軸交點在y的正半軸，選項B圖象符合，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，題目比較簡單，解決題目需要熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系．題型5二次函數(shù)對稱性的運(yùn)用例1．（2022·甘肅·張掖育才中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（）A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝【答案】B【分析】根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量即可求出對稱軸．【詳解】解：由圖表可知：x=0時，y=-6，x=1時，y=-6，∴二次函數(shù)的對稱軸為：，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．練習(xí)1．（2022·江蘇南通·八年級期末）若，是拋物線上的兩個點，則它的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】C【分析】由已知，點、是該拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，所以只需求兩對稱點橫坐標(biāo)的平均數(shù)．【詳解】解：因為點、在拋物線上，根據(jù)拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩點，其橫坐標(biāo)的平均數(shù)就是對稱軸，所以，對稱軸；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)關(guān)于對稱軸成軸對稱．練習(xí)2．（2022·甘肅·張掖市第一中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)的對稱軸是直線________；函數(shù)的圖象的對稱軸是直線________．【答案】

2

-1【分析】根據(jù)二次函數(shù)和的對稱軸的求解方法即可寫出它們的對稱軸，本題得以解決．【詳解】解：∵二次函數(shù)中，，b＝2，∴其對稱軸為；∵與x軸的兩交點為（1，0），，∴其對稱軸．故答案為：2；．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的兩種形式，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不同形式的函數(shù)解析式的特點確定求解方法．題型6二次函數(shù)增減性運(yùn)用例1．（2021·安徽省六安皋城中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線過A（－2，），B（－3，），C（2，）三點，則y1、y2、y3大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出拋物線對稱軸為直線x=－1，拋物線開口向下，再根據(jù)離拋物對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小求解即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向下，∵拋物線過A（－2，），B（－3，），C（2，），點C離對稱軸最遠(yuǎn)，點A離對稱軸最近，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確求出拋物線對稱軸和判斷出開口方向是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江溫州·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)所給函數(shù)解析式，得到一個新的二次函數(shù)，若，則新的二次函數(shù)二次項系數(shù)要大于0，并且，據(jù)此求解即可．【詳解】解：，選項A：若，則，，無法判斷的符號，故此選項不符合題意；選項B：若，則，，則故此選項符合題意；選項C：若，則，則這個二次函數(shù)開口向下，不可能對于任意的x，都有，故此選項不符合題意；同理選項D也不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級期末）點（-1，），（3，），（5，）均在二次函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（

）A．>> B．>= C．>> D．=>【答案】D【分析】求出拋物線的對稱軸為x＝1，拋物線開口向下，然后根據(jù)拋物線的增減性和對稱性判斷即可．【詳解】解：∵，a＝－1＜0，∴對稱軸為x＝1，拋物線開口向下，∴（3，），（5，）在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵3<5，∴>，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，（-1，）與（3，）關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．練習(xí)2．（2021·湖北咸寧·九年級階段練習(xí)）若點A（﹣3，），B（1，），C（m，）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出二次函數(shù)的對稱軸為x＝﹣2，分a＜0和a＞0兩種情況討論，分別根據(jù)圖像上點的坐標(biāo)特征得到關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可解答．【詳解】解：拋物線y＝ax2+4ax+c的對稱軸為x＝﹣＝﹣2，∵點A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴當(dāng)a＜0，則|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；當(dāng)a＞0，則1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次不等式．練習(xí)3．（2021·云南·富源縣第七中學(xué)九年級期中）若點A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都是二次函數(shù)的圖象上的點，則（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)，拋物線開口向上，對稱軸是直線，當(dāng)時，隨的增大而增大，點，，都是二次函數(shù)的圖象上的點，點關(guān)于對稱軸的對稱點是，，，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．練習(xí)4．（2022·江蘇南通·八年級期末）二次函數(shù)的圖象過點，，若當(dāng)時．隨著的增大而減小，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】且【分析】將已知點代入解析式，用含的代數(shù)式表示，再表示出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：將代入得①，將代入得②，由②①得，，，拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時．隨著的增大而減小，時，，解得，時，，解得，故答案為：且．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過分類討論求解．題型7二次函數(shù)最值問題例1．（2022·甘肅·涼州區(qū)中佳育才學(xué)校九年級期末）已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．【答案】-5【分析】將二次函數(shù)的解析式化為頂點式，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可．【詳解】解：由知，當(dāng)x=2時，y有最小值為-4-m，∵該函數(shù)的最小值為1，∴-4-m=1，解得：m=-5，故答案為：-5．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握求二次函數(shù)的最值方法是解答的關(guān)鍵．例2．（2022·安徽宿州·九年級期末）已知y關(guān)于x的函數(shù)，點P為拋物線頂點．（1）當(dāng)P點最高時，______．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)有最小值8，則_____．【答案】

1

【分析】（1）將拋物線一般式化為頂點式，即可得到頂點，縱坐標(biāo)化為的形式，即可得出結(jié)果；（2）將代入得，，這時當(dāng)時，函數(shù)有最小值5，且函數(shù)圖象開口向上，由于，函數(shù)有最小值8，故只有當(dāng)時，函數(shù)取得最小值8，代入即可求出答案．【詳解】（1）∵，∴頂點，∵，∴當(dāng)時，取得最大值5，∴當(dāng)P點最高時，；故答案為：1；（2）當(dāng)時，，∵當(dāng)時，函數(shù)有最小值5，且函數(shù)圖象開口向上，又∵，函數(shù)有最小值8，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值8，∴∴，（不合題意，舍去）∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值8，則，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最值的求法，求最值除了考慮開口方向還要考慮自變量的取值范圍和對稱軸的關(guān)系，這是解決本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·全國·九年級期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為8，則的值是____．【答案】無解【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性并結(jié)合，分類討論解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，①當(dāng)，即時，此時二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，在取最大值，即，解得，與不符；②當(dāng)即時，此時離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn)，∴二次函數(shù)在取最大值，即，解得，與不符；③當(dāng)即時，此時離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn)，∴二次函數(shù)在取最大值，即，解得與不符；④當(dāng)即時，此時二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大，在取最大值，，解得與不符．綜上不存在符合題意的的值．故答案：無解．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．練習(xí)2．（2019·河南洛陽·九年級期末）求二次函數(shù)的最值．【答案】當(dāng)，二次函數(shù)的最小值為【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵，∴當(dāng)，二次函數(shù)的最小值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，正確把二次函數(shù)解析式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·全國·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象過點（－2，4），（1，－2）．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)－1≤x≤3時，求y的最大值與最小值的差；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)點，利用待定系數(shù)法即可得；（2）將二次函數(shù)的解析式化成頂點式為，再利用二次函數(shù)的增減