高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第8章第01節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖與直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖與直觀圖考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征近三年無單獨(dú)考查三視圖與直觀圖近三年無單獨(dú)考查高考分析本節(jié)內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)考查，多與后面幾何體的體積、表面積結(jié)合考查.1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點(diǎn)的連線球半圓或圓直徑所在的直線(2)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作棱臺(tái)2．直觀圖(1)平面圖形直觀圖的畫法斜二測畫法的規(guī)則是：①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段．③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的eq\f(1,2).3．三視圖(1)三視圖的特點(diǎn)：①主、俯視圖長對(duì)正；②主、左視圖高平齊；③俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)．(2)繪制簡單組合體的三視圖要注意以下幾點(diǎn)：①若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出．不可見輪廓線，用虛線畫出．②確定主視、俯視、左視的方向時(shí)，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同.③看清簡單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．提醒：1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定要強(qiáng)調(diào)截面與底面平行．(2)注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響．(3)幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系．2．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．(2)S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(2)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝90°.()(3)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()答案：(1)×(2)×(3)×2．(教材習(xí)題改編)用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓柱、圓錐、球的組合體解析：選C當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．3．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是()A．棱柱的側(cè)棱長都相等B．棱錐的側(cè)棱長都相等C．三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形D．有的棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等解析：選B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等．4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選B根據(jù)選項(xiàng)A、B、C、D中的直觀圖，畫出其三視圖，只有B項(xiàng)正確．5．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形解析：選D由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[明技法]解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的三個(gè)技巧(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力．(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，如典例(2)中的A，C兩項(xiàng)易判斷失誤．(3)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．[提能力]【典例】下列說法正確的是()A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn)解析：選BA錯(cuò)，如圖(1)；B正確，如圖(2)，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可證明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)，如圖(3)；D錯(cuò)，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱的延長線必相交于同一點(diǎn)．[刷好題](金榜原創(chuàng))給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是________．解析：認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③都不正確，②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確，④平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確．答案：①②③④空間幾何體的三視圖[析考情]空間幾何體的三視圖是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式考查，主要考查識(shí)圖、三視圖的還原及簡單計(jì)算等．[提能力]命題點(diǎn)1：由空間幾何體的直觀圖判斷其三視圖【典例1】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()解析：選B該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長方體，且五面體的一個(gè)面即為長方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項(xiàng)B適合．命題點(diǎn)2：由空間幾何體的三視圖求解其直觀圖【典例2】(2018·錦州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選DA，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D．命題點(diǎn)3：由空間幾何體的部分視圖求其他視圖【典例3】(2018·錦州模擬)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()解析：選B先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)(左)視圖．由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖②.[悟技法]三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖：注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向；注意能看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．[刷好題]1．(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：選B在正方體中還原該四棱錐，如圖所示．可知SD為該四棱錐的最長棱．由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B．2．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCDA．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P－BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1.空間幾何體的直觀圖[明技法][提能力]【典例】如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形解析：選C如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形，因此選C．[母題變式]若本例中直觀圖為如圖所示的一個(gè)邊長為1cm的正方形，解：將直觀圖還原為平面圖形，如圖．可知還原后的圖形中OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋2\r(2)2)＝3，于是周長為2×3＋2×1＝8(cm)．[刷好題