題型05最值問題之費(fèi)馬點(diǎn)(原卷版+解析)

最值問題之費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)精講費(fèi)馬（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法國南部圖盧茲（Toulouse）附近的波蒙?德?羅曼，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王．1643年，費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置．另一位數(shù)學(xué)家托里拆利成功地解決了這個(gè)問題：如圖1，△ABC（三個(gè)內(nèi)角均小于120°）的三條邊的張角都等于120°，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點(diǎn)P，就是到點(diǎn)A，B，C的距離之和最小的點(diǎn)，后來人們把這個(gè)點(diǎn)P稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．下面是“費(fèi)馬點(diǎn)”的證明過程：如圖2，將△APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，則△A′AB為等邊三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，∴當(dāng)A'，P'，P，C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)PA+PB+PC有最小值為A'C的長(zhǎng)度，∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，∴△P'BP為等邊三角形，則當(dāng)A'，P'，P，C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點(diǎn)P，就是到點(diǎn)A，B，C的距離之和最小的點(diǎn)；說明：1、如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；2、如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。3、費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小.4、費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．2．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為（）A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．103.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝1，BC＝QUOTE3,點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO.若∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，則OA＋OB＋OC的值為（）.A.4B.QUOTE5C.QUOTE21D.QUOTE7二、填空題4．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為______．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．6．如圖，在△ABC中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．7．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝___________．9．問題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：?jiǎn)栴}解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________三、解答題10．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．12．【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大小；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．13．【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．14．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值15．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).17．背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在Rt△ABC中，，，，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．18．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．（3）已知銳角△ABC，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請(qǐng)找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究S△ABC與S△ABD的和，S△BCE與S△ACF的和是否相等．19．探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離；②如圖（B），若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有AB?CD+BC?DA＝AC?BD．此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+；第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，并請(qǐng)指出線段的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．（3）知識(shí)應(yīng)用：已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值．20．?dāng)?shù)學(xué)上稱“費(fèi)馬點(diǎn)”是位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)．現(xiàn)定義：菱形對(duì)角線上一點(diǎn)到該對(duì)角線同側(cè)兩條邊上的兩點(diǎn)距離最小的點(diǎn)稱為類費(fèi)馬點(diǎn)．例如：菱形ABCD，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，E、F是邊BC和CD上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足PE與PF之和最小，則稱點(diǎn)P為類費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P是BD上的類費(fèi)馬點(diǎn)①E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則PE+PF＝．②E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝60°，則PE+PF＝．（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝4，連接AC，點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，（即PA，PB，PC之和最小），①當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，BP＝．②當(dāng)∠ABC＝30°時(shí)，你能找到△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P嗎？畫圖做簡(jiǎn)要說明，并求此時(shí)PA+PB+PC的值．最值問題之費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)精講費(fèi)馬（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法國南部圖盧茲（Toulouse）附近的波蒙?德?羅曼，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王．1643年，費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置．另一位數(shù)學(xué)家托里拆利成功地解決了這個(gè)問題：如圖1，△ABC（三個(gè)內(nèi)角均小于120°）的三條邊的張角都等于120°，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點(diǎn)P，就是到點(diǎn)A，B，C的距離之和最小的點(diǎn)，后來人們把這個(gè)點(diǎn)P稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．下面是“費(fèi)馬點(diǎn)”的證明過程：如圖2，將△APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，則△A′AB為等邊三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，∴當(dāng)A'，P'，P，C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)PA+PB+PC有最小值為A'C的長(zhǎng)度，∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，∴△P'BP為等邊三角形，則當(dāng)A'，P'，P，C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點(diǎn)P，就是到點(diǎn)A，B，C的距離之和最小的點(diǎn)；說明：1、如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；2、如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。3、費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小.4、費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．2．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為（）A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．10【答案】B【詳解】解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均為等邊三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共線時(shí)最短，由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)D’E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值為4+3．3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝1，BC＝QUOTE3,點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO.若∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，則OA＋OB＋OC的值為（）.A.4B.QUOTE5C.QUOTE21D.QUOTE7【答案】D【詳解】易知本題為費(fèi)馬點(diǎn)模型.如圖，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，連接OO′，CA′,AA′.∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,∴點(diǎn)O為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)OA+OB+OC的值即A′O′+O′O+OC=CA′最小.∵∠ACB=90°,AC=1,BC=QUOTE3,∴AB=QUOTE????2+????2=12+32∴∠ABC=30°,A′B=2.∵∠ABA′=60°,∴∠A′BC=∠ABC＋∠ABA′=30o＋60°＝90°,在Rt△A′BC中，A′C=QUOTE????2+??′??2＝QUOTE7，∴(OA+OB+OC)min＝A′O′+00′+OC=A′C=QUOTE7.故選D.二、填空題4．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為______．【答案】【詳解】分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長(zhǎng)即為所求的最小值．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．【答案】【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．6．如圖，在△ABC中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．【答案】【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．7．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝___________．【答案】【詳解】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵M(jìn)G=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案為．9．問題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：?jiǎn)栴}解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________【答案】【詳解】如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，顯然△MOP為等邊三角形，∴，OM＋OG＝OP＋PQ，∴點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∴當(dāng)點(diǎn)N、O、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON＋OM＋OG最小，此時(shí)，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長(zhǎng)線于A，則∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∵M(jìn)Q＝MG＝4，∴AQ＝AM＝MQ?cos45°=4，∴NQ＝，故答案為.三、解答題10．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②；（2）【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時(shí)，y有最小值，最小值為8，當(dāng)x＝4時(shí)，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AEG是等邊三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值為．11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】+【詳解】證明：如圖所示，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN．由旋轉(zhuǎn)可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；（3）當(dāng)AC=BC=1時(shí)，AB=2，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB==CQ，NQ=，此時(shí)CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+12．【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大小；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．【答案】(1)①3；②150°；(2)【詳解】（1）①如圖，將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則，，∴為等邊三角形，；②∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，又∵是等邊三角形，∴∠PAC+=60°，∴∠BAP=，在△ABP與中，，∴△ABP≌（SAS），∴∴，，，又∵旋轉(zhuǎn)，∴；（2）如圖，將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則，在中，，，，又∵，，，過作⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則，，（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），，，為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，在中，，，∴的最小值為．13．【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．【答案】（1）等邊三角形；（2）BC的最小值為；（3）平行四邊形公園ABCD的面積為（平方米）．【詳解】（1）證明：的形狀是等邊三角形，理由如下;由旋轉(zhuǎn)知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN為等邊三角形故答案為：等邊三角形；（2）解：設(shè)AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，即，∴，即BC的最小值為；（3）解：如圖3，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∴△EBE'為等邊三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，要AE+BE+CE最小，即點(diǎn)A'，E'，E，C在同一條線上，即最小值為A'C，過點(diǎn)A'作A'F⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，設(shè)BF=x，則A'B=2x，根據(jù)勾股定理得，A'F=，∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，在Rt△A'FC中，根據(jù)勾股定理得，，∴當(dāng)x=，即AB=2x=3時(shí)，最小，此時(shí)，BC=6-3=3，A'F=，∴平行四邊形公園ABCD的面積為（平方千米）．14．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值【答案】【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過點(diǎn)P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=15．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．【答案】【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).【答案】(1)

(2)；或

（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；∵E為BD中點(diǎn)，∴=∴EG=1，GD＝∴OG＝∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.過E作EG⊥x軸于G∴,∴在△AGE中，,.過點(diǎn)作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′為等邊三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；易求得Q（，1），則H（，0）；∴AH=；由割線定理得：AP?AE=OA?AH，即：AP=OA?AH÷AE=×÷=故：可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為17．背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在Rt△ABC中，，，，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；（2）證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．18．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．（3）已知銳角△ABC，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請(qǐng)找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究S△ABC與S△ABD的和，S△BCE與S△ACF的和是否相等．【答案】(1)2；；(2)見詳解；(3)S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．【詳解】（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴＝∴PB2＝PA?PC＝12，∴PB＝2；（2）證明：在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC＝120°．連接AP，再在PB'上截取PE＝PC，連接CE．∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE為正三角形，∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．∵△ACB'為正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∴∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．∴BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．（3）如下圖，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分線于點(diǎn)P，P點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；證明：過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，∵∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，∴∠ACB＝∠CAF，∴AF∥MC，∴四邊形AMCF是平行四邊形，又∵FA＝FC，∴四邊形AMCF是菱形，∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°，∵在△BAC與△EMC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM＝∠DAB+∠BAM＝60°+∠BAM∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝60°+∠BAM∴∠BAC＝∠DAM在△ABC和△ADM中AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM∴△ABC≌△ADM（SAS）故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM＝CA，再連接AM、DM、EM（輔助線這樣做△AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡(jiǎn)便）易證△AMC為等邊三角形，在△ABC與△MEC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴AB＝ME，∠ABC＝∠MEC，又∵DB＝AB，∴DB＝ME，∵∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，∠BME＝∠BCE+∠MEC＝60°+∠MEC，∴∠DBC＝∠BME，∴DB∥ME，即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，∴四邊形DBEM是平行四邊形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC＝S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．19．探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離；②如圖（B），若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有AB?CD+BC?DA＝AC?BD．此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+