人教B版選擇性必修第一冊122空間中的平面與空間向量學案

1.2.2空間中的平面與空間向量

新課程標準新學法解讀

1學.會用待定系數法求平面的法

1.理解平面的法向量.向量(留意選擇平面內兩個不共線

2.把握利用平面的法向量證明平的向量).

行與垂直問題的思路.2.敏捷應用三垂線定理及其逆定

理證明垂直關系.

精梳理

［筆記教材］

學問點1平面的法向量

1.定義:假如。是空間中的一個平面，〃是空間中的一個

向量，且表示〃的有向線段所在的直線與平面。，那么稱〃

為平面Q的一個,也稱〃與平面Q垂直，記作.

2.性質：(1)假如直線I垂直平面那么直線/的任意一個

都是平面a的一個.

(2)假如〃是平面。的一個法向量，那么對任意實數2W0,空間

向量弱也是平面a的一個法向量，而且平面a的任意兩個法向量都

(3)假如n為平面a的一個法向量，A為平面a的一個的點，那么

對于平面a上任意一點B,向量油肯定與向量n垂直，即

,從而可知平面a的位置可由〃和A唯一確定.

答案：1.非零垂直法向量n±a

2.⑴方向向量法向量(2)平行(3)0

學問點2直線與平面平行、垂直的判定

。是直線/的一個方向向量，〃是平面。的一個法向量，那么

n//P0；

，或.

學問點3兩平面平行、垂直的判定

ni，肛分別是平面如，圖的法向量，那么

n?J_ne；

n\//肛臺，或.

答案：ai±?2a\//o.2與G2重合學問點4三垂線定理及其

逆定理

假如平面內的一條直線與平面的一條斜線在

定理該平面內的_______垂直，那么它也和這條\A

________垂直\/

假如平面內的一條直線和這個平面的一條/7//

/a4

逆定理________垂直，那么它也和這條斜線在該平面

內的________垂直

答案：射影斜線斜線射影

［重點理解］

1.依據待定系數法求平面的法向量

〃藺=0,

利用待定系數法求平面法向量時，由于方程組1_有很

,=

<nAC0

多組解，因此法向量有很多個.求解時，只需取一個較簡潔的非零向

量作為法向量即可.

2.構建兩個方程求解平面法向量的坐標

依據線面垂直的判定定理可知，只要直線垂直于該平面內的任意

兩條相交直線，它就垂直于該平面，也就垂直于該平面內的任意一條

直線，因此，法向量的坐標只要滿意兩個方程就可以了.

3.關于三垂線定理及其逆定理的說明

(1)三垂線定理及其逆定理這兩個定理中，“平面內〃這個條件

不能省略，否那么不肯定成立.這是由于由三垂線定理及其逆定理的

證明過程可知：只有平面內的直線滿意和斜線的射影(或斜線)垂直

時，才能保證該直線垂直于斜線與垂線所在的平面，從而由線面垂直

推出線線垂直.

(2)三垂線定理及其逆定理常用于判定空間直線相互垂直，在引

用時要清晰以下問題：①從條件上看，三垂線定理的條件是“和射影

垂直〃，其逆定理的條件是“和斜線垂直〃；②從功能上看，三垂線

定理用于解決共面垂直，證明異面垂直的問題，逆定理正好相反.

［自我排查］

1.假設直線/〃且/的方向向量為(2,加,1),平面儀的法向量

為(1,2),那么相等于()

A.-4B.-6

C.-8D.8

答案：C

2.(2022遼寧沈陽其次十七中學檢測)平面Q上三點4(321)，8(一

1,2,0),C(4,-2,-1),那么平面。的一個法向量為()

A.(4,-9,-16)B.(4,9,-16)

C.(-16,9,-4)D.(16,9,-4)

答案：B

3.(2022北京月考)直線/的方向向量〃=(一1,21)，平面a的法

向量》=(-2,4,2),那么直線I與平面a的位置關系是()

A.l//aB.lA_a

C.lUaD.IGa

答案：B

4.（2022重慶江津中學月考）"=（一2,2,5）,。=（6,-4,4）,

。分別是平面〃，/?的法向量，那么平面小戶的位置關系是()

A.平行

B.垂直

C.所成的二面角為銳角

D.所成的二面角為鈍角

答案：B

5.(2022天津第五十五中學月考)如圖，長方體

中，AB=4fBC=2,CG=3,E,尸分別是3C,CO的中點，以。

為原點，分別以D4,DC,OQi為坐標軸建立空間直角坐標系，那么

平面DiEF的一個法向量是.

答案：(一6,3,2)(答案不唯一)

解析：???長方體中，4?=4,BC=2,CG=3,

E,尸分別是BC,CQ的中點，

???Oi(0,0,3),E(1,4,0),尸(0,2,0),

麻=(1,4,-3),江=(0,2,-3),

設平面。產的法向量是〃=(X,yfz),

\n-D^E=x+4y—3z=0f

那么J一

[〃?DiA=2y—3z=0,

取y=3,得〃=(—6,3,2),

那么平面DiE尸的法向量是(一6,3,2).

故答案為(一6,3,2).(答案不唯一).

強研習重F

研習1求平面的法向量

［典例1］在正方體438—A由］G。中，棱長為1,G,E,F

［解］如圖，以。為坐標原點，分別以D4,DC,。。所在直線為

x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

那么￡(1,o］,電1,0),

1

5，

設平面G￡F的法向量為/i=(x,yfz).

n-^E=^y—^z=O1

由〃_LGfe,w±Ffe,得＜

，

nFE=^x—^y=Of

?.一=y，

?［x=y.

令y=l,可得平面GE尸的一個法向量為n=(l,l,l).

［巧歸納］

求平面ABC的一個法向量的方法

(1)平面垂線的方向向量法：證明一條直線為一個平面的垂線,

那么這條直線的一個方向向量即為所求.

(2)待定系數法：步驟如下：

［練習1］在三棱錐P-ABC中，CP,C4,兩兩垂直，AC=

CB=1,PC=2,如圖，建立空間直角坐標系，那么以下向量中是平

面%B的法向量的是()

A.11,1,B.(1,^2,1)

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

答案：A

研習2利用空間向量證明平行關系

［典例2］正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為2,E,F分別是BBT，

的中點，求證：/G〃平面

Rjc

AR

［證明］如下圖，建立空間直角坐標系Dxyz,那么有0(0,0,0),

A(2,0,0),G(0,2,2),及2,2,1),F(0,0,D,囪(2,2,2),所以戶匕=(0,2,1),

次=(2,0,0),(0,2,1).

DV_______G

，?后之：￡____>

\^\7^

x/AEB

設〃I=(XI,y\9zi)是平面AOE的法向量，

那么ni±^A,刈_L造，

〃「/=2']=0,xi=O,

即1…得|「一物,

ln/-Afe=2yi+zi=0,

令zi=2,那么yi=-1,

所以m=(0,-1,2).

由于死??m=-2+2=0,所以戶&_L〃i.

又由于平面AOE,所以bG〃平面

［巧歸納］

用空間向量證明平行的方法

(1)線線平行：證明法直線的方向向量共線.

(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②

證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行.在證明線面平

行時，需留意說明直線不在平面內.

(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線

面平行、線線平行問題.［練習2］如圖，在長方體ABC。一AiBG。

中，AD=AB=4,A4i=2,點E,F,G分別是QQ”BD,A4i的中

點，求證：OiG〃平面E尸C

證明：方法一：如圖，以。為原點，兩，Dt,而1的方向分別

為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.

那么A(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),(0,0,2),G(4,0,l),E(0,0,l)，

產(220),

.??瓶二(4,0,-1),柞=(一2,-2,1),F&=(-2,2,0).

設平面E尸。的法向量為〃=(心y,z),

/2.在=0,-2x-2y+z=0,

那么

nF&=0,—2x+2y=0.

令x=l,解得y=Lz=4,

.*.71=(1,1,4).

又修而=4><1+0X1+(—l)X4=0,

/IJ_Z)|G.

又AG。平面EFC,

???OiG〃平面EFC.

方法二：取基底{次，Dt,Dbi}={a,b,c},

由題意得EC=￡Z)+DC=一呼+力，

E^=Eb+^F=-；c+；a+gb,

GT)\=GAi+A7Z)I=—a+/c,

設而i=A反:+o訪.

即存在2=1,v=-2,使6i=比-2前,

即GDi,反，肆共面.

又GDE平面EFC,

所以QiG〃平面E/C

研習3利用空間向量證明垂直關系

［典例3］如下圖，在正方體A3CQ—A向GQ］中，E,產分別是

BB、,的中點.求證：￡尸，平面84。.

［證明］方法一：設防=a,Ab=c,AA\=b9連接3D,

那么彷=￡51+^F=g廊1+3力I)

=5(XX+即尸;(筋］+2一協)

=2(-a+b+c).

9

：A^i=A^+AA\=a+bf

Ep-A^i=；(—a+6+c>(〃+b)

=2(&2-a2+co.+cb)

=1(|&|2-|a|2+0+0)=0,

工前工ASi,即E/UA8.

同理，EF±BiC.

義AB】CBiC=Bi,???所，平面8N。.

方法二：設正方體的棱長為2凡建立如下圖的空間直角坐標系,

那么A(2a,0,0),C(0,2a,0),Bi(2a,2a,2a),E(2af2a,a),F(a,a,2a).

z

；?EF=(a,a,2a)—(2a,2a9a)=(-a,—a,a),

A^\=(2a,2a,2a)—(26?,0,0)=(0,2a,2〃),

At?=(0,2a,0)—(2a,0,0)=(-2a,2a,0).

:濟協i=(—a,—a,。)(0,2。,2。)=(—a)X0+(—Q)X2Q+QX2Q

=0,訪?At=(-a,—a,〃)?(一2a,2?,0)=2a2—2a2+0=0,

AEF±ABi,EF-LAC.

又AB]AAC=A,?,?M_L平面BMC.

方法三：連接B。，BD\.

V￡,尸分別是8F,。出的中點,

EF//BD\.

VBD±C4,9O_L平面ABC。，

???AC_LBOi(三垂線定理)，

同理

???BD]_L平面BiAC,

???斯，平面BiAC.

[巧歸納]

證明垂直的方法

(1)定理法：利用線面垂直的判定定理及三垂線定理和逆定理.

(2)向量法：①線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量

共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.

②面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定

定理用向量表示.

［練習3］如圖，在正三棱柱ABC—A閏G中，E,

廠分別是5囪，CG上的點，且BE=a,CF=2a,求證：平面4石尸，

平面ACF.

證明：以A為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系Axyz,

不妨設。=2,

那么A(0,0,0),E他,1,2),"0,2,4),

?,?屈=(小，1,2),酢=(0,2,4).

?.”軸_L平面ACR???可取平面AC廠的一個法向量為機=(1,0,0).

設平面AEF的法向量為〃=(x,y,z),

〃.他=W%+y+2z=0,

那么

t

n-AF=2y+4z=0f

取z=l,得〃=(0,-2,1).

?.?機7i=0,:.m_Ln,

，平面AEb_L平面AC尸.

研習4三垂線定理及其逆定理的應用

［典例4］在正方體A5CQ—45］CIDI中，P是。。［的中點，0

為底面ABCD的中心,求證：BxO1PA.

［證明］如下圖，由題可得網是平面5BQQ的一條斜線段，BQ

是平面BBiDiD內的一條線段.

由條件可知，40，平面3囪。］。，連接P0,那么P0為布在平

面38Q］。內的射影.連接8P,設正方體4BCO-A8Gz)1的棱長

為1,那么5101=^2,DiP=z,DP*。。=乎，50=孚，BBT

JLL，

=1,

ABiP=|,P0=喙,囪0=幸，

乙乙乙

1

：.Pd+B\(fi=B^9

：.P0^B\0.

依據三垂線定理可得BxO-LAP.

［巧歸納］

利用三垂線定理證明線線垂直的關鍵點與留意點

(1)關鍵點：找到平面的一條垂線，有了垂線，才能作出斜線的

射影.

(2)留意點：要留意定理中的“平面內的一條直線〃這一條件，

無視這一條件，就會產生錯誤的結果.

［練習4］在三棱錐P—43c中，PALBC,PBVAC,求證：PC

±AB.

證明：如下圖，過點P作尸”，平面A8C,垂足為“，連接4”

并延長交BC于點E,連接并延長交4c于點尸.

p

???P"J_平面ABC,M±BC,

?,?斜線段必在平面ABC內的射影為線段A”，由三垂線定理的

逆定理知BC.LAH.

同理可證BFVAC.

那么“為△ABC的垂心，連接C”并延長交4B于點G,于是

CGLAB,而線段CH是斜線段PC在平面ABC內的射影，故PC±

AB.

重效果學業(yè)

1.（2022宜昌其次中學月考）假設直線I的一個方向向量為a=

（2,5,7）,平面。的一個法向量為〃=（1/，-1）,那么（）

A.I//aB./J,a

C.lUaD.A,C均有可能

答案：D

2.（多項選擇題）（2022江蘇南京第十四中學月考）A（—4,6,-1）,

5（4,3,2）,那么以下各向量中是平面AOB（O是坐標原點）的一個法向量

的是（）

A.卜果I，9）B.序1,一9）

C.(-15,4,36)D.(15,4,—36)

答案：BD

解析：設平面408（。是坐標原點）的法向量是〃=a,y,z）,

w-OX=0,—4x+6y—z=0,

那么即，

〃?仍=0,4x+3y+2z=0,

ris

工一甲

令y=l,解得＜y=],

＜z=-9,

x=15,

令y=4,解得＜y=4,

、z=-36,

故w=(竽，1,—9)或“=(15,4,—36).

應選BD.

3.(2022山東濟南一中模擬)在四棱錐P—ABC。中，底面A3CD

是平行四邊形，A^=(2,—1,—4),AT)=(4,2,0),A?=(—1,2,—

1),那么以與底面ABC。的關系是()

A.相交B.垂直

C.不垂直D.成60。角

答案：B解析：由于筋.A？MZXI—D+JDXZ+LQXI-

DMO,所以屈_L協.

由于Wb-aA=4X(—l)+2X2+0X(—l)=0,所以才力_1不?,又

ABHAD=Af所以APJ_4BCD,應選B.

4.如圖，在正方休4BCO-4BGOi中，O是底面ABCO的中

心，P是。。的中點.設。是CG上的點，當點。在什么位置時，

平面。山?！ㄆ矫嬗??

解：以。為原點，0A,反，仍]的方向分別為x軸、y軸、z

軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標系Dxyzf設正方體的棱長為2,

那么0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,D，5(2,2,0).

設Q(0,2,c),???次=(1,-1,0),

舁二(—1,-1,1),池=(—2,0,c).設平面以0的法向量為〃

"血=0,

=(x,y,z),那么<

“9=0,

x-y=0,

可得?,八令X=1,那么y=l,z=2,

<—x—y+z=0,

???平面PAO的一個法向量為〃=(1,1,2).

假設平面。山?！ㄆ矫鍼AO,

那么〃也是平面DiBQ的一個法向量.

.,?〃?毆=0,即-2+2c=0,：.c=\,

故當。為CG的中點時，平面。山。〃平面玄。.

5.如圖，四棱錐P—A5c。中，底面43CD,ABLAD,AC

A.CD,ZABC=60°fPA=AB=BC=2,E是PC的中點，求證：

(1)CD_LAE；

(2)PO_L平面ABE.

證明：(1)以4為坐標原點，AB,AD,4P所在的直線分別為M

y,z軸，建立如下圖的空間直角坐標系,

所以Cl)=(—1，,0),命=&29

所以亦?屈=-1xJ+Wx坐+0X1=0,

乙D乙

所以C7)_LA￡

(2)由(1),得用)=(0,羋，一2),

肪=(2,0,0),助=也,坐1)

設向量〃=(x,y,z)是平面A8E的法向量，那么

(2x=0,

由V4

lnAE=O,+z=0,

取y=2,那么〃=(0,2,一小)，

所以初=歲”所以尸。〃〃，所以平面A8E.

課后自讀方案

［誤區(qū)警示］混淆空間平面位置關系與法向量位置關系致錯

［例如］在四周體ARC。中，A3,平面5CZ),BC=CD,NBCD

=90°,ZADB=30°,E,尸分別是AC,4。的中點.推斷平面BE尸

與平面ABC是否垂直.

［錯解I過A作RX//CD9

VCD±BC,

：.Bx±BC,建立如下圖的空間直角坐標系，那么平面48c的一

個法向量為般=(1,0,0).設5c=4,那么CQ=〃，BD=^2a.

???N4D8=30。,：.AB=yf2af

C(0,。,0),D(a9a,0),A(0,0,

.,.庇=((),坐a阱=年，2,2ay

VMB￡=0,加麗WO,

：.n不是平面BEF的法向量,故平面BE尸與平面43c不垂直.

［錯因分析］錯解中主要有三處錯誤，一是混淆了面面平行與面

面垂直的向量表示，當平面ABC與平面BEb垂直時，應有兩平面的

法向量垂直，從而應是〃與能，呼