北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)解答題訓(xùn)練50題（含答案）

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)解答題專題訓(xùn)練50題含答案

一、解答題

I.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,O),B(2,-3)C(O,-3)

(1)求此函數(shù)關(guān)系式和圖像對(duì)稱軸.

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使得△PAB中PA二PB?若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo),若不存

在，說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=x2-2x-3,對(duì)稱軸x=l(2)(1,-1)

【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把A(3,0)、B(2,-3),C(0,-

3)代入，得到方程組，求出a,b,c的值，即可解答；

⑵設(shè)P(1,t),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到(1+1)2+12=(1-2)2+(t+3)2,由于

解得t=-l,則可判斷存在一點(diǎn)P,使PA=PB,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).

【詳解】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,

9a+3b+c=0

把A(3,O)、B(2,-3),C(0,-3)代入，得<4a+2b+c=-3,

c=-3

A=1

解得：b=-2

c=-3

y=x2-2x-3,

h-?

對(duì)稱軸x=--=——=1,

2a2

(2)存在，

設(shè)P(l,t)，

VPA=PB,

.,.(l+l)2+t2=(l-2)2+(t+3)2,解得t=-l,

工滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,T).

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法及兩點(diǎn)坐標(biāo)

的距離公式.

2.用配方法將下列函數(shù)解析式改寫(xiě)成y=〃(x+m)2+A的形式，并指出開(kāi)口方向、頂點(diǎn)

坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

(1)y=x2+4x+3

(2)y=-2x2-3x-4

(3)y=2x2-2x+l

(4)y=--x2+2x-2

【答案】(1)y=(x+2)2-l；開(kāi)口向上；頂點(diǎn)(-2,-1)；對(duì)稱軸直線x=-2；(2)

a7373

y=-2(x+J)2—2:；開(kāi)口向下；頂點(diǎn)(_3，_2/)；對(duì)稱軸直線x=-g(3)

48484

y=2(x-1)2+p開(kāi)口向上；頂點(diǎn)(*);對(duì)稱軸直線x$(4)y=-l(x-2)2；開(kāi)

口向下；頂點(diǎn)(2,0)；對(duì)稱軸直線x=2

【分析】(1)根據(jù)配方法把二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式

得到對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，由。=1>0得到開(kāi)口方向；

(2)根據(jù)配方法把二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式得到對(duì)稱

軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，由。=-2<0得到開(kāi)口方向；

(3)根據(jù)配方法把二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式得到對(duì)稱

軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，由a=2X)得到開(kāi)口方向；

(4)根據(jù)配方法把二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式得到對(duì)稱

軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，由a=-《V0得到開(kāi)口方向；

【詳解】(1)y=(x+2)2-l；開(kāi)口向上；頂點(diǎn)解2,7)；對(duì)稱軸直線x=?2

解析：j=(x2+4x)+3

=(X+2)2-4+3

=(X+2)2-1

37373

(2)y=-2(x+—)2-2—；開(kāi)口向下；頂點(diǎn)(一二,一2《)；對(duì)稱軸直線x=-1

48484

解析：J=-2(x2+—x)-4

3，7

=-2(X+-)2-2-

48

(3)y=2(x-l)2+1；開(kāi)口向上；頂點(diǎn)g；)；對(duì)稱軸直線x=g

解析：y=2(x2-x)+l

2

=2(X-1)-1+1

22

=2(4一9+:

22

(4)y=-l(x-2)2；開(kāi)口向下；頂點(diǎn)(2.0)；對(duì)稱軸直線x=2；

解析：J=-^U2-4x)-2

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)一般式化成頂點(diǎn)式，關(guān)鍵是根據(jù)配方法進(jìn)行變換，然

后根據(jù)頂點(diǎn)式及〃來(lái)判斷開(kāi)口方向及對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.計(jì)算：(-5/2)x底-(—)-^l1->/31-2sin600.

4

【答案】-2^-5

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】原式二26-4+6?1-2'巫

2

=-2>/3-4+5/3-1■也

=-2^-5.

【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.

4.計(jì)算：2sin30-厄-卜行-2)°

【答案】-25/3

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及實(shí)數(shù)相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】原式=2,一26一1二1-26-1=-26

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)及零指數(shù)哥運(yùn)算，熟記特殊

角的三角函數(shù)值及運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

5.(1)解方程：5Mx+3)=2。+3).

⑵計(jì)算：41sin450-cos230°+sin60°-tan300.

【答案」】(1)玉=：2,Z=-3；(2)3

54

【分析】(1)先提取公因式分解因式分為兩個(gè)一元一次方程解出即可得到答案；

(2)先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算加減即可.

【詳解】(1)解：(5x—2)(x+3)=0,

5x-2=0或x+3=0.

/.X]=y,x2=-3.

（2）解:原式=&x*—（孝）+爭(zhēng)￥

=-3

4,

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法、特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算,

熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，注意不要混淆各特殊角的三角函數(shù)值.

6.為了落實(shí)“二十大”報(bào)告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖

如下：兩端是半圓形，中間是長(zhǎng)方形.（乃取3）

lOOni

⑴求這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng).

（2）求這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積.

（3）已知整個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是3：7,每

19

平方米草坪的價(jià)格是5元，比每平方米塑膠的價(jià)格低與，則購(gòu)買鋪滿該運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所需要

的塑膠和草坪的總費(fèi)用是多少元？

【答案】（l）440m

（2）12800m2

（3）428800（元）

【分析】（1）用長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊加上一個(gè)圓的周長(zhǎng)即可；

（2）用長(zhǎng)方形的面積加上圓的面積；

（3）根據(jù)等量關(guān)系列方程求出塑膠的單價(jià)，然后按比例分配求出塑膠跑道的面積和草

坪的面積，進(jìn)而求得結(jié)果；

【詳解】（1）解：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)：

C=100x2+40x2^-=200+804=200+240=440（m）

答：這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)為440米.

(2)解：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積：5=100x80+402^=8000+4800=l2800(m2)

答：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為：12800m2

(3)解：設(shè)平方米塑膠的價(jià)格為x元

根據(jù)題意得：。-=5

20

解得：x=100

3

該運(yùn)動(dòng)場(chǎng)塑膠跑道的面積為：12800X；；—=3840(m2)

該運(yùn)動(dòng)場(chǎng)草坪的面積為：12800x2-=8960(m?)

3+7

故總費(fèi)用為：3840x100+8960x5=428800(元)

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，圓的基本知識(shí)：熟練根據(jù)等量關(guān)系列方程

式解題的關(guān)鍵.

7.計(jì)算

(1)|l-tan60°|-^-^+sin45。+4

(2)-l2O22+>/i2-(7c-3)0-cos30°

【答案】(1)石+&+1;

(2)-2+|x/3.

【分析】(1)根據(jù)殊角的三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)易、化簡(jiǎn)二次根式和絕對(duì)值的運(yùn)算法則

計(jì)算后，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減即可得解；

(2)根據(jù)殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕、化簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算后，再進(jìn)行實(shí)

數(shù)的加減即可得解.

【詳解】(1)解：|l-tan60o|-|^-^j+sin45°+

=|1-\/3|-(-2)+^+^

=石一1+2+也+也

22

=6+五+1;

(2)解：-I2022+V12-(71-3)°-cos30°

=-1+273-1--

2

=-2+-^.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)

值是解題的關(guān)鍵.

8.計(jì)算tan450sin30Qcos60°-8s2450

【答案】-7

4

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：tan450sin30°cos60°-cos245°

22[2)

11

=----

42

4

【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角

函數(shù)值.

9.計(jì)算：

(l)7i8--4-2-,+-jJ——(&+1)。；

2yj2+1

⑵用-2|-V12xtan600+2cos30°+-.

【答案】⑴472-3；(2)-2.

【分析】(1)先計(jì)算乘方和化簡(jiǎn)二次根式，然后再計(jì)算除法，最后計(jì)算加減即可；

(2)先去絕對(duì)值符號(hào)和計(jì)算乘方，再把特殊三角函數(shù)值代入計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減

即可.

【詳解】解：(1)原式二36+近-1-1=4a—3；

(2)原式=2-石-2百x氏+2x立+2=2

2

【點(diǎn)睛】含有乘方的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算是本題的考點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

10.定義：同時(shí)經(jīng)過(guò)x軸上兩點(diǎn)A(m,0),45,0)5#〃)的兩條拋物線稱為同弦拋物

線.如拋物線C：y=*-l)(%-3)與拋物線C2：y=2(x-l)(x-3)是都經(jīng)過(guò)(1,0),

(3,0)的同弦拋物線.

(1)引進(jìn)一個(gè)字母，表達(dá)出拋物線&的所有同弦拋物線：

(2)判斷拋物線。：y=與拋物線a是否為同弦拋物線，并說(shuō)明理由；

(3)已知拋物線C/是C的同弦拋物線，且過(guò)點(diǎn)(4,5),求拋物線C對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大

值或最小值.

【答案】(I)：y=?a-l)(x-3)；(2)不是，理由見(jiàn)解析；(3)拋物線有最小值為一

5

3,

【分析】(1)拋物線的表達(dá)式為：尸。(彳-l)(x-3)(〃并且在1)；

(2)產(chǎn)g(/-3x+2)=g(x-l)(x-2),拋物線與x軸的交點(diǎn)為：(1,0)、(2,0),即可求

解；

(3)C是。的同弦拋物線，設(shè)其拋物線的表達(dá)式為：產(chǎn)a(x?l)(x?3)3押且存1),把點(diǎn)

(4,5)代入上式并解得：?=1,即可求解.

【詳解】(1)拋物線的表達(dá)式為：尸“v-1)。?3)(。并且存1)：

(2)不是,

理由是：

產(chǎn);(3-3x+2)=；(x?l)(x-2),

拋物線與x軸的交點(diǎn)為：(1,0)、(2,0)；

???。3與拋物線。不是同弦拋物線；

(3)C”是。的同弦拋物線，設(shè)其拋物線的表達(dá)式為：)=a(x-l)(x-3)(a8且存1)；

把點(diǎn)(4,5)代入上式并解得：?=|,

故拋物線表達(dá)式為：y=|(x-1??3)=((x-2)2-1,

Vd=|>0,故拋物線有最小值為：?g.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題

關(guān)鍵是要仔細(xì)閱讀弄清題意.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有RtHABO,其中團(tuán)OAB=90。，A0=4,B0=5,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)

。、A、B拋物線的解析式.

525

[^]y=--x2+y|x.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC_LBO于點(diǎn)C,先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出

AC、CO的長(zhǎng)度，即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)O、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線的解析式為

y=ax(x-5),把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可.

【詳解】如圖所示：

過(guò)點(diǎn)A作AC_LBO于點(diǎn)C,

VAO=4,BO=5,ZOAB=90°,

，AB=3,

???8=辦。_"2考,

則A(華，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B拋物線的解析式為：y=ax(x-5),

121616八

貝nijl7二axkx(zy-5),

解得:a=-(,

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的三種形式：(1)一般

式：y=ax2+bx+c(a#0,a、b、c為常數(shù))；(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k；(3)交點(diǎn)式

(與x軸)：y=a(x-xi)(x-X2)熟練掌握二次函數(shù)的三種形式是解題關(guān)鍵.

12.二次函數(shù)產(chǎn)以2+加+4的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：

X???01234???

)^=ax2+bx+446640

(1)求二次函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸；

3

⑵點(diǎn)(m,y/)、(2-w,”)是其圖像上的兩點(diǎn)，若〃則y/”(填

"V”或“=”)

3

【答案】(l))=-x2+3x+4；對(duì)稱軸戶5

⑵〉

【分析】（1）通過(guò)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=-2■求解；

（2）根據(jù)拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，及點(diǎn)（m,y/）、（2-〃[，"）與對(duì)稱軸的距

離求解.

（1）

—[a+b+4=6,[a=-\

解:由題意知：，“4人解得：L2，

[4a+2b+4=6[6=3

.*.y=-j2+3x+4；

h33

對(duì)稱軸A-——=--=—；

2a-22

⑵

解：若加>六，則〃l]>2-加

222

3

;拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=],

^?yi>y2.

故答案為：>.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握

二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系.

13.計(jì)算：（j）J?厄+2taM0。-（2-J3）°.

【答案】2

【詳解】試題分析：原式利用零指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉法則，二次根式性質(zhì)，以及特

殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.

試題解析：原式=3-2%+班-1=2.

考點(diǎn)：（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算；（2）零指數(shù)察；（3）負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；（4）特殊角的三角函數(shù)

值

14.如圖，己知該拋物線圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,-1）,與％軸交于點(diǎn)A（2,0）.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線上有一點(diǎn)3,且5加,=3,求點(diǎn)8的坐標(biāo).

【答案】(l)y="2—2x

(2)(3,3)或(T,3)

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)2-l,然后把A(2,0)代入求解即可；

(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(c,d),根據(jù)三角形的面積公式求d的值，再將縱坐標(biāo)d代入

拋物線解析式求c的值，確定8點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???該拋物線圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)

，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)2-i,

把A(2,0)代入，得0=儀2-爐-1,

解得4=1,

y=(x-l)'-1=^-2x；

(2)解：設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(c,d),

??,A(2,0),

:.AO=2t

??c一a

.,.-x2x|J|=3,

2

解得d=3或d=-3,

???頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為T,-3<-l,

***d=-3舍去，

?"=3,

?'?x2-2x=3?

解得X1=3,%2=-1,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3)或(-1,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)求

出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

15.計(jì)算：（2。16-幻e+（_；）?！.3tan3（T+“-VJ|.

■

【答案】25/3-2

【詳解】試題分析：根據(jù)零指數(shù)塞的性質(zhì)，負(fù)正整數(shù)基的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)，絕

對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可.

試題解析：（2016?,7）：+（-!）'?3tan30"1-#|

■

?1—2*g?^3-1

-275-2

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)運(yùn)算

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1,D,

B（4,l）,C（3,3）.

（1）將ABC向下平移4個(gè)單位后得到MBG，請(qǐng)畫(huà)出&4/B/G；

（2）將以8C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△&6G，請(qǐng)畫(huà)出AA?6G，并直接寫(xiě)

出sinNA282c2的值；

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析，乎

【分析】（1）將A,B,C的向下平移4個(gè)單位后得到A1，B,,G坐標(biāo)，依次連接即

可；

（2）將A,B,C三點(diǎn)繞繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到A?B2,C2,依次連接即可

得到△4即72，作C2DJ_B2c2,求出82G=有，即可求出SinNA282c2的值.

【詳解】解：(1)將A,B,C的向下平移4個(gè)單位后得到AyB,,G坐標(biāo)，依次連

接即可得到486如圖所示;

(2)將A,B,C三點(diǎn)繞繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到A2,B2,C2,依次連接即可

得到△△262c2如圖所示，

作C2D_LB2c2,

在RSDB2G中,

22

52C2=V1+2=N/5,

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圖形平移旋轉(zhuǎn)的考查，熟練掌握?qǐng)D形平移，旋轉(zhuǎn)的作法及三角函數(shù)

知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

17.在AABC中，ZACJ?=90°,以3C為直徑的。。交A8于點(diǎn)O.

A

⑴如圖①，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓弧交48于點(diǎn)M,連接CM,若NABC=

66°,求NACM：

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)。作的切線DE交4c于點(diǎn)E,求證：AE=EC；

3

(3)如圖③，在(1)(2)的條件下，若3病=一，求SAADE：SAACM的值.

4

【答案】(1)N4CM=33°

(2)證明見(jiàn)解析

4

(3)SAADE：SAACM=-

【分析】(1)證明ABCM是等腰三角形，求出NACM=N8MC=57。，由ZACB=

90°,求得NACM：

(2)證明△EOOgAECO(SAS),則OE=CE,得到NA=NAOE,即可求解：

(3)設(shè)8c=3x,AC=4x,AB=5x,PJiJED=EC=^AC=AE=2x,由

612

△AMHs^ABC,得到SAACM=gxACxMH=gx4.r￡x=?x2,同理可得：SAADE=

Ii4848

2

—AE*Df=—x2xx—x=—xt即可求解.

222525

(1)

解：由題意知，BC=BM,

???△BCM是等腰三角形

VZABC=66°,

AZ.BMC=ZBCM=(180°-ZABC)=57°,

VZACB=90°,

ZACM=ZACB-ZBCM=90°-57°=33°；

(2)

解：如圖④，連接OE，OD,

TOE為圓。的切線，

：?/EDO=/ECO=90。,

：.AEDO與^ECO都是直角三角形

?：OE=OE,OD=OC,

:.4ED0沿△ECO(HL),

：.DE=CEt

9：0D=0B

："BDO=/DBC

VZBDO+ZADE=90°,ZDBC+ZA=90°,

:.NADE=NA

：,AE=DEf

：.AE=CEi

(3)

解：如圖⑤，過(guò)M作MH_LAC于點(diǎn)”，過(guò)。作O/L4C于點(diǎn)/,連接8,

A

圖⑤

???BC是。。的直徑

：.ZBDC=ZADC=90°

???/ACO+NA=90。，NACD+/OC8=90。,

:./A=/DCB

3

??lan/DCB=tan/A=一,

設(shè)BC=3X9AC=4X,

貝I」48=y/AC、BC2=5X，

9：AE=CE

工點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)

/.ED=EC=^AC=AE=2x,

而AM=AB-MB=AB-BC=5x-3x=2x,

???NA”M=NAC8=90。，NA=NA

:.AAMH^/\ABCt

.MHAM

則S44cM=gxACxMH=gx4xx6-x=y10-x2

VZA/D=ZACB=90°,NA=N4

：.4AD1S?ABC,

48

同理可得：Dl=—x,

2

則SAADE=^AE-DI=gx2xx—,r=—x,

22OS

4

所以SADE：SAACM=-.

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線

的性質(zhì)定理、勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用定理和性質(zhì)解決問(wèn)題.

18.（1）計(jì)算：（-J）-2-肪+（6-兀）0+2cos450

2-r1

（2）解方程：土—=1-

x-33-x

【答案】（1）2+72:（2）x=2.

【分析】（1）按順序先分別進(jìn)行負(fù)指數(shù)幕的運(yùn)算、立方根的運(yùn)算、。次幕的運(yùn)算、代

入特殊角的三角函數(shù)值，然后再按運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可得；

（2）方程兩邊同時(shí)乘以x-3,化為整式方程，解整式方程后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得答案.

【詳解】（1）原式=4-3+l+2x亞

2

=2+72;

（2）方程兩邊同時(shí)乘以x-3,

得:2-x=x-3+1,

解得:x=2,

檢驗(yàn)：x=2時(shí)，x-3#）,所以x=2是分式方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程，涉及了負(fù)指數(shù)幕、0指數(shù)幕、特

殊角的三角函數(shù)值等，熟練掌握與實(shí)數(shù)相關(guān)的運(yùn)算法則、解分式方程的一般步驟以及

注意事項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，CD切OO于點(diǎn)D,連結(jié)OC,交OO于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作弦AB_LOD,點(diǎn)E

4

為垂足，已知。0的半徑為10,sin/COD=1.

（2）CD的長(zhǎng)；

40

【答案】（1）16（2）y

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出BE的長(zhǎng)，即可求出AB；

CD4

（2）由sin/COD=h=二，CD=k,則CO=5k,OD=3k,即可求出k,再求出CD.

【詳解】⑴???AB_LOD,???AB=2BE,sinZCOD=—

4

BE=10x—=8

5

AAB=16

⑵?；CD切。O于D,

.\CD±OD,

CD4

.-.sinZCOD=—=-

OC5

設(shè)CD=k,則CO=5k,OD=3k,

/.OD=3k=10,k=—

3

40

ACD=4k=—

3

2

20.(1)計(jì)算:(3.14-笈)°x(-2-)+8,(-際xsin450-當(dāng)；

（2）化簡(jiǎn)求值：注+[四]/二——!-],其中4=百.

2x2[2x）U-lx+lj

9

【答案】⑴（2）-3

4

【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)，特殊角

三角函數(shù)值，結(jié)合實(shí)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算求值即可；

<2）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，結(jié)合因式分解通分、約分，再求值；

【詳解】解：（1）原式=lxj_L]+|&_3|x也一逑=_,+逑_2—逑=_?；

4J1?224224

后-x+i（2x丫3x+3-x+l22x+4

⑵原式一（1）（川）二二一（1）（川）

2x-2-2x-4_-6-6

=

=（x+l）（x-l）~（x+l）（x-l）x2_1

x=G代入得：原式二-3；

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值；掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

21.下圖為某小區(qū)的兩幢1O層住宅樓，由地面向上依次為第1層、第2層....第

10層，每層的高度為3m,兩樓間的距離AC=30m.現(xiàn)需了解在某一時(shí)段內(nèi)，甲樓對(duì)

乙樓的聚光的影響情況.假設(shè)某一時(shí)刻甲樓樓頂B落在乙樓的影子長(zhǎng)EC=h,太陽(yáng)光

線與水平線的夾角為a.

(1)用含a的式子表不h；

(2)當(dāng)a=30。時(shí)，甲樓樓頂B的影子落在乙樓的第幾層?從此時(shí)算起，若a每小時(shí)增加

10°,幾小時(shí)后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光.

【答案】(1)30-30tana(2)甲樓頂B的影子落在第五層；應(yīng)在1個(gè)半小時(shí)后，甲樓

的影子剛好不影響乙樓的采光

【分析】(1)過(guò)E作EF_LAB,垂足為E在直角三角形BFE中，用銳角三角函數(shù)表

示出h即可；

<2)令a-30c求得h的近似值后即可判斷影了落在第幾層.結(jié)合題中數(shù)據(jù)可知不影響

采光時(shí)a為45。，再根據(jù)每小時(shí)增加10。，即可得解.

【詳解】⑴過(guò)E作EFJ_AB,垂足為F,則NBEF=a

32

呂

呂

呂

呂、太陽(yáng)光

甲

乙

樓

…

…

樓

呂

呂

口

口

圖1

在RSBFE中，F(xiàn)E=AC=30,AB=10x3=30

ABF=AB-EC=30-h

BF

Vtana=—，/.BF=EF><tana

FE

即30—h=30><tana

h=30—30tana

⑵、當(dāng)a=30°時(shí)，h=30-30tan30M2.68

???甲樓頂B的影子落在第五層

不影響乙樓的采光時(shí)，AB的影子頂部應(yīng)剛好落在C處，

此時(shí)，AB=30,AC=30,

/.ZBCA=45°,

則Na=45°,

???角a每小時(shí)增加10度,

.??應(yīng)在1個(gè)半小時(shí)后，甲樓的影子剛好不影響乙樓的采光.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角

三角形模型.

22.如圖1是一個(gè)公園入口雙翼閘機(jī)的雙翼展開(kāi)時(shí)的截面圖，閘機(jī)的雙翼V尸C4和

成軸對(duì)稱，尸C和Q。均垂直于地面，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與3在同一水平線上，

且它們之間的距離為16cm,雙翼邊緣AC=8Q=54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角

NPCA=NQDB=300.

圖

1圖?

(1)求閘機(jī)通道寬度，即PC和QD之間的距離；

⑵經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，8：00至14：00該公園入園游客較多，圖2為該公園8：00至14：

00每一小時(shí)為一個(gè)時(shí)段的入園人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖的一部分(每個(gè)時(shí)間段含前一個(gè)整點(diǎn)時(shí)刻不

含后一個(gè)整點(diǎn)時(shí)刻)，現(xiàn)已知所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4200人.

①求出9：00?10：00時(shí)段的入園游客人數(shù)；

②根據(jù)該公園的承載能力，建議“某個(gè)時(shí)段入園游客超過(guò)5000人”或“在園內(nèi)游客總數(shù)超

過(guò)20000人”的對(duì)游客入園進(jìn)行適當(dāng)限流，如不考慮個(gè)別出園游客，那么哪幾個(gè)時(shí)段建

議公園需要采取限流措施？并分別說(shuō)明原因.

【答案】(l)70cm

(2)①6000人；②9：00-10：00和13：00-14：00需要限流，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)過(guò)A作AE〃CP于點(diǎn)E,過(guò)8作8尸，Q。于點(diǎn)尸，根據(jù)三角函數(shù)即可得

到答案；

(2)平均數(shù)為4200人，設(shè)9：00-10：00人數(shù)為凡然后根據(jù)平均數(shù)概念列出方程

求解即可.

【詳解】(1)解：過(guò)A作AE〃CP于點(diǎn)E,過(guò)8作8/_LQ。于點(diǎn)尸，

直角三角形ACE中，AE=sin300xAC=27,

同理，8尸=27且AB=16,27x2+16=70,

.?.PC與Q。間的距離為70cm.

(2)①平均數(shù)為4200人，設(shè)9：00-10：00人數(shù)為x,

,(3000+x+4800+3800+2500+5l00)+6=4200,

.\x=6(XX),

.-.9：00-10：00時(shí)段的入園游客人數(shù)為6000；

②9：00-10：00和13：00-14：00需要限流，

9：00-10：00限流原因：入園人數(shù)是6000,超過(guò)5000；

13：0014；00限流原因如下：

12：00-13：00入園總?cè)藬?shù)為20100人超過(guò)20000人；

13：00-14：00入園人數(shù)為：5100人，超過(guò)5000人；

13：(X)-14：00時(shí)段入園游客超過(guò)50(X)人或在園內(nèi)游客總數(shù)超過(guò)20(XX)人.

【點(diǎn)睛】此題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖，掌握三角函數(shù)和平均數(shù)的概念是解決此題關(guān)鍵.

23.如圖，點(diǎn)8在。O的直徑AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在上，AD=DB,

N8=30。，若0O的半徑為4.

⑴求證：是OO的切線；

(2)求C8的長(zhǎng).

D

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)4

【分析】(1)連接。。，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得到乙120。，

ZADO=Z4=30°,那么NOD8=90。，根據(jù)切線的判定方法即可證明8。是。的切

線；

(2)解含30。角的RtZ\O8O,得出08=28,再根據(jù)。8=08-8=2。。-0￡>=。0

即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接0。，

NA=NB=30。，

:.ZADB=\S00-ZA-ZB=\2(r,

*：OA=OD,

：.ZADO=ZA=3QP,

：.NODB=ZADB-ZADO=900,

又???點(diǎn)。在OO上，

是。的切線；

(2)在RiZXOBO中，VZODB=90°,ZB=30°,

,08=207)=8,

：.CB=OB-OC=2OD-OD=OD=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正

確切線的判定，等邊對(duì)等角，含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(AB)，點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心.

AB=100m,C是AB上一點(diǎn)，OCA.AB,垂足為。，CD=10m,求這段彎路的半徑.

B

【答案】這段彎路的半徑為130m.

【分析】設(shè)這段彎路的半徑為rm,

由垂徑定理可得BD=DA=^AB=50m.

因?yàn)镃D=1Om,得OD=(r-IO)m.

在RSBOD中，根據(jù)勾股定理可列出方程解出半徑長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)這段彎路的半徑為rm,

因?yàn)镺C_LAB于D,AB=100(m),

所以BD=DA=gAB=50(m).

因?yàn)镃D=10(m),

得OD=-10(m).

因?yàn)镽QBOD中，根據(jù)勾股定理有

BO2=BD2+DO2.

即r2=502+(r-10)2.

解得r=130(m).

因此這段彎路的半徑為130m.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理與勾股定理的應(yīng)用.

25.計(jì)算：V54->/6-^/(sin300-sin60)2.

【答案】一過(guò)+L

62

【分析】先利用特殊的三角函數(shù)值計(jì)算，再利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出結(jié)

果.

=且_正+_L

322

62

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值及二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握運(yùn)算法則.

26.已知二次函數(shù)尸?2_法+。且Rb,若一次函數(shù))=米+4與二次函數(shù)的圖象交于

點(diǎn)42,0).

(1)寫(xiě)出一次函數(shù)的解析式，并求出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)心c時(shí)，求證：直線尸"+4與拋物線產(chǎn)雙2_法+c一定還有另一個(gè)異于點(diǎn)人

的交點(diǎn)；

⑶當(dāng)c<a4c+3時(shí)，求出直線曠=履+4與拋物線丁=奴2_加+。的另一個(gè)交點(diǎn)8的坐

標(biāo)；記拋物線頂點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸與直線)=丘+4的交點(diǎn)為N,設(shè)

5=€2,/28稱，寫(xiě)出$關(guān)于。的函數(shù)，并判斷S是否有最大值？如果有，求出最大

值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為產(chǎn)-2x+4；(2,01(-1,0).(2)證明見(jiàn)解析；(3)

S=36r-3-+47,最大值為了7.

【分析】(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即求得k的值；把點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函

數(shù)解析式，且把a(bǔ)=b代入，求得c=-2a,所有二次函數(shù)解析式為y=ax2-ax-2a,令y=0

即求得與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)由(1)得直線解析式為廣-2x+4,拋物線解析式為y=ax2-ax-2a,兩方程聯(lián)立消

去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，求得其△=(3a+2)2,由于a>c,c=2a,求得

a>0,故△=(3a+2)2>0,方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，即直線與拋物線除了點(diǎn)A還有

另一個(gè)交點(diǎn).

(3)由cVa%+3和c=-2a求得OVagl,故拋物線開(kāi)口向上，可畫(huà)出拋物線與直線的

大致圖象.聯(lián)立直線與拋物線解方程即求得點(diǎn)B坐標(biāo)(用a表示).將拋物線解析式配

方求得頂點(diǎn)M和對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)稱軸與直線交點(diǎn)N的坐標(biāo)，點(diǎn)N縱坐標(biāo)減去點(diǎn)

M縱坐標(biāo)得MN的長(zhǎng)，進(jìn)而能用含a的式子表示SAAMN與SABMN,代入即寫(xiě)出S關(guān)于

a的函數(shù)關(guān)系式.由OVaWl得到當(dāng)a=l時(shí)，S能有最大值，并能求出最大值.

【詳解】解：⑴把點(diǎn)A(2,0)代入y=kx+4得：2k+4=0

二.k=-2

???一次函數(shù)的解析式為y=-2x4-4

二次函數(shù)丫=2乂2-bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,0),且a=b

/.4a-2a+c=0

解得：c=-2a

???二次函數(shù)解析式為y=ax2-ax-2a(awO)

當(dāng)ax?-ax-2a=0,解得：x,=2,x2=-l

???二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(TQ).

(2)證明：由⑴得：

直線解析式為y=-2x+4,

拋物線解析式為丫=2*2-a*-2@

y=-2x+4

y=ax2-ax-2a

整理得：ax2+(2-a)x-2a-4=0

/.A=(2—a)"-4a(-2a-4)

=a2-4a+4+8a2+16a=9a2+12a+4

=(3a+2>

.a>c?c=-2a

/.a>-2a

/.a>0

,-.3a+2>0

i=(3a+2)2>0

關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

???直線與拋物線還有另一個(gè)異于點(diǎn)A的交點(diǎn)

(3)c<a<c+3,c=-2a

.,.-2a<a<-2a+3

.?.(Xa<l,拋物線開(kāi)口向上

Jy=-2x+4

1y=ax2-ax-2a

整理得：0?+(2—a)”—2a—4—0，(3a+2)2>0

-(2-〃)±J(3a+2)_(2-a)±(3a+2)

?X=-------------------------=----------------------

2

二%=2（即點(diǎn)A橫坐標(biāo)），?=一1一一

a

（24

...直線產(chǎn)區(qū)+4與拋物線尸以2-bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為卜1-71+6

9

拋物線尸數(shù)2—a

4

???頂點(diǎn)用（3，-］，，對(duì)稱軸為直線x=g

???拋物線對(duì)稱軸與直線）=-2x+4的交點(diǎn)N（g,3）

252511I1

S=—S-S=—x—MNx,「----MN—x?

AMN.BisiMvirNw92222BN

25r9J1A1/c9J1Ia)

=—(3+—a2——(3+—a)—+1+—

184V2J24y22)

0<a<l

3

0<3a<3>—W—3

a

3

???當(dāng)a=l時(shí)，3a=3,-：=-3均取得最大值

377

...S=3a-±+：有最大值，最大值為：.

a44

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方

程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式的應(yīng)用.其中第(1)(2)題求解的結(jié)論是

沒(méi)有附加條件的，故在后續(xù)證明或計(jì)算時(shí)能直接使用.在沒(méi)有圖象的情況下考查二次

函數(shù)和一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，在解題時(shí)要根據(jù)題意畫(huà)出大致圖

象再進(jìn)行解題.

27.已知如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖象過(guò)點(diǎn)B(0,3),與x軸正半軸交于點(diǎn)A

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)C為拋物線上位于直線BA上方的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合)，過(guò)點(diǎn)C

作CDJ_x軸交直線BA于點(diǎn)D.請(qǐng)問(wèn)：是否存在一點(diǎn)C,使線段CD的長(zhǎng)度最大？若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段CD長(zhǎng)度的最大值.

315

【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)(3,0)；(3)存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)(不，—),線段CD

24

長(zhǎng)度的最大值為9:

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)令y=0,再解方程-x2+2x+3=0即可求得點(diǎn)A坐標(biāo)；

(3)先求得直線AB的解析式，點(diǎn)C坐標(biāo)為(n,-n2+2n+3),則點(diǎn)D坐標(biāo)為(n,-

n+3),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)???二次函數(shù)y=?x2+2x+m的圖象過(guò)點(diǎn)B(0,3),

/.m=3,

???二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)把y=0代入解析式y(tǒng)=-x2+2x+3中,得:

-x2+2x+3=0,

解得:xi=3,X2=-l(舍負(fù))，

工點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0)；

(3)存在一點(diǎn)C,使線段CD的長(zhǎng)度最大.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(0,3)的一次函數(shù)的解析式為：y=k.x+bt

.?.[b=3

13k+b=0

仕=-1

解得

[。=3

???直線AB的解析式為y=-4+3,

??,點(diǎn)C在二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象上，

，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(n,-n2+2n+3),則點(diǎn)D坐標(biāo)為(n,-n+3),

ACD=(-n2+2n+3)-(-n+3)

=-n2+3n

,3遂9

='(n-2)+4，

3

.?.當(dāng)n=1時(shí)，線段CD的長(zhǎng)度最大，

線段CD長(zhǎng)度的最大值為:，

4

315

此時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為(5，—).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.水果批發(fā)市場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利(毛利潤(rùn))10元，每天可售出

500千克.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷量將

減少20千克

(1)若以每千克能盈利18元的單價(jià)出售，問(wèn)每天的總毛利潤(rùn)為多少元？

(2)現(xiàn)市場(chǎng)要保證每天總毛利洞6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則每千克應(yīng)漲

價(jià)多少元？

(3)每千克漲價(jià)多少時(shí)，每天的總毛利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

【答案】(1)6120元；(2)5元；(3)每千克漲價(jià)17.5元時(shí)，每天的總毛利潤(rùn)最大，

最大利潤(rùn)是6125元

【分析】(1)設(shè)每千克盈利x元，可售y千克，由此求得關(guān)于y與I的函數(shù)解析式，進(jìn)

一步代入求得答案即可；

(2)利用每千克的盈利x銷售的千克數(shù)=總利潤(rùn)，列出方程解答即可；

(3)設(shè)總毛利潤(rùn)為他得到w關(guān)于x的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求出結(jié)果即可.

【詳解】解；(1)設(shè)每千克盈利“元，可售y千克,

則當(dāng)x=10時(shí),產(chǎn)500,

當(dāng)x=U時(shí)，）=500-20=480,

10〃+方=500

由題意得,

1U+Z?=48O

解得:葭僅二一城20

因此）=-20x+700,

當(dāng)x=18時(shí)，產(chǎn)340,

則每天的毛利潤(rùn)為18x340=6120元;