2024-2025學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|(x?1)(x?2)≤0}，B={?1,0,1,2,3}，則A∩B=(

)A.{?1,0,3} B.{?1,0,1} C.{1,2} D.{2,3}2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z?1)i=?1，則z?=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.設(shè)公差d≠0的等差數(shù)列{an}中，a2，a5，aA.1011 B.1110 C.344.已知sin(α+β)=?35,1A.?310 B.15 C.?5.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，則該四棱錐外接球的體積為(

)A.24π

B.26π

C.20π6.已知函數(shù)f(x)=2sinx+cosx?5x，若a=f(lg2)，b=f(ln3)，c=f((?1)0)，則a，bA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a7.若當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，函數(shù)y=sinx2與y=2sin(ωx?π4)(ω>0)的圖象有且僅有4A.[98,138) B.(8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+2)+f(x)=f(12)，f(?3x+1)為奇函數(shù)，且f(12)=12A.?11 B.?12 C.212二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若隨機(jī)變量X～N(5,σ2)且P(X<m)=P(X>n)，則下列選項(xiàng)正確的是A.E(2X+1)=7

B.m2+n2的最小值為50

C.P(X≥3+σ)>P(X≤3?σ)

D.10.1694年瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線(xiàn)，我們將其稱(chēng)為伯努利雙紐線(xiàn)，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F1(?a,0)，F(xiàn)2(a,0)距離之積等于a2(a>0)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn)，已知點(diǎn)P(x0,A.雙紐線(xiàn)C的方程為(x2+y2)2=2(x2?y2)

B.?11.已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)y=x2的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)的圖像沒(méi)有公切線(xiàn)

C.函數(shù)φ(x)=g(x)f(x)，則φ(x)有極大值，且極大值點(diǎn)x0∈(1,2)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.平面四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，CD=6，DA=7，則AC?BD=13.傾斜角為銳角的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)C：x23m2?y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)F1，分別交雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)于A，14.我國(guó)河流旅游資源非常豐富，夏季到景點(diǎn)漂流是很多家庭的最佳避暑選擇某家庭共6個(gè)人，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，計(jì)劃去貴州漂流.景點(diǎn)現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見(jiàn)，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有______種.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,ccosC=2a?bcosB．

(1)求角C；

(2)若△ABC的面積S=23，若16.(本小題15分)

如圖，在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，上、下底面是邊長(zhǎng)分別為4和6的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，設(shè)平面AB1C1∩平面ABC=l，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線(xiàn)l和直線(xiàn)BB1上，且滿(mǎn)足EF⊥l，EF⊥BB1．17.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B，R是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足kRA?kRB=?14，當(dāng)R為上頂點(diǎn)時(shí)，△ABR的面積為8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(?6,?2)的直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D，E(D,E與A、B18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?xsinx+mx2+n．

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求證：函數(shù)f(x)有唯一極值點(diǎn)；

(2)當(dāng)m=0,n=32時(shí)，求f(x)在區(qū)間[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)兩函數(shù)圖像在公共點(diǎn)處的公切線(xiàn)稱(chēng)為“合一切線(xiàn)”.若曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn)y=?cosx存在兩條互相垂直的“合一切線(xiàn)”，求19.(本小題17分)

若數(shù)列{an}滿(mǎn)足|ai|<1(i=1,2,?,n)，則稱(chēng)該數(shù)列為邊界為1的數(shù)列.對(duì)于邊界為1的有窮數(shù)列{an}，從該數(shù)列中任意去掉兩項(xiàng)ai，aj(i≠j)，同時(shí)添加ai+aj1+aiaj作為該數(shù)列的末項(xiàng)，可以得到一個(gè)項(xiàng)數(shù)為n?1項(xiàng)的新數(shù)列，稱(chēng)此過(guò)程為對(duì)數(shù)列{an}實(shí)施一次“降維”.規(guī)定這種“降維”只能實(shí)施于邊界為1的數(shù)列.如果數(shù)列{an}經(jīng)過(guò)若干次“降維”后成為只有一項(xiàng)的數(shù)列，即得到一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱(chēng)該實(shí)數(shù)為數(shù)列{an}的一個(gè)“坍縮數(shù)”．

(1)設(shè)數(shù)列{an}的遞推公式為a參考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.29213.714.348

15.解：(1)由于ccosC=2a?bcosB，根據(jù)正弦定理得sinCcosC=2sinA?sinBcosB，

所以sinCcosB=2sinAcosC?sinBcosC，

所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC，

則有sin(B+C)=sinA=2sinAcosC，

在△ABC中，sinA≠0，cosC=12，則C=π3．

(2)由(1)得S△ABC=12absinC=12ab×32=34ab=23，

故ab=8，又AD=2DB，且|CD|=2213，

所以CD=CB?DB=CB?13AB16.解：(1)證明：由三棱臺(tái)ABC?A1B1C1知，B1C1/?/平面ABC，

因?yàn)锽1C1?平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面ABC=l，所以B1C1//l，

因?yàn)镋F⊥l，所以EF⊥BC，又EF⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1?平面BCC1B1，

所以EF⊥平面BCC1B1；

(2)取BC中點(diǎn)M，連接AM，以A為原點(diǎn)，AM所在直線(xiàn)為y軸，AA1所在直線(xiàn)為z軸，

過(guò)點(diǎn)A做x軸垂直于yOz平面，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺(tái)的高為?，

則B(3,33,0),B1(2,23,?),CB=(6,0,0),BB1=(?1,?3,?)，17.解：(1)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B，R是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，

不妨設(shè)橢圓上頂點(diǎn)R0(0,b)，

此時(shí)kR0A?kR0B=ba?b?a=b2?a2=?14，

因?yàn)椤鰽BR0的面積為8，

所以12×2ab=8，

聯(lián)立解得a=4，b=2，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y24=1．

(2)依題意，直線(xiàn)DE的斜率存在，設(shè)斜率為k，

又點(diǎn)M(?6,?2)，則直線(xiàn)DE的方程為y=k(x+6)?2，設(shè)D(x1,18.(1)證明：函數(shù)φ(x)=x?sinx，有φ′(x)=1?cosx≥0，則φ(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，有φ(x)>φ(0)=0，即x?sinx>0．

當(dāng)m=1時(shí)，由f(x)=?xsinx+x2+n，得f′(x)=?sinx?xcosx+2x，且f′(0)=0．

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=x(1?cosx)+x?sinx．

因?yàn)??cosx≥0，x?sinx>0，所以f′(x)>0．

因?yàn)閒′(?x)=?f′(x)對(duì)任意x∈R恒成立，所以當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0．

則f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以x=0是f(x)的唯一極值點(diǎn)．

(2)解：當(dāng)m=0,n=32時(shí)，f(x)=?xsinx+32，f′(x)=?sinx?xcosx，

當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，f′(x)≤0，所以f(x)在x∈[0,π2]上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒(0)=32>0,f(π2)=3?π2<0，

所以由零點(diǎn)存在定理知f(x)在x∈[0,π2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)x∈[π2,π]時(shí)，令?(x)=f′(x)=?sinx?xcosx，則?′(x)=?2cosx+xsinx，

當(dāng)x∈(π2,π)時(shí)，有?′(x)>0，所以?(x)在[π2,π]上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(π2)=?1?0,?(π)=π?0，所以存在m∈(π2,π)使得?(m)=0，

當(dāng)x∈(π2,m)時(shí)，f′(x)=?(x)<?(m)=0，所以f(x)在(π2,m)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈[π2,m]時(shí)f(x)≤f(π2)<0，故f(x)在[π2,m]上無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)x∈(m,π)時(shí)，f′(x)=?(x)>?(m)=0，所以f(x)在(m,π)上單調(diào)遞增，

又f(m)<f(π2)?0,f(π)=32?0，所以f(x)在(m,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述：f(x)在[0,π]上有且只有2個(gè)零點(diǎn)．

(3)解：設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn)y=?cosx的兩條互相垂直的“合一切線(xiàn)”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，19.解：(1)由題意，可得該數(shù)列第3項(xiàng)a3=12，

由遞推公式an+1=2an2an?1(n∈N+)，可得a2=?12,a1=16，

經(jīng)計(jì)算，無(wú)論降維過(guò)程如何進(jìn)行，最終得到的坍縮數(shù)都是16．

(2)設(shè)?1<ai<1，?