2024-2025學(xué)年廣東省高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知M={x|?12?sinx?12A.{?π6,0} B.{?π4,0}2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表：鋼管口徑(cm)11.012.514.016.518.520.521.022.0頻數(shù)26741004046523824則這批鋼管口徑的中位數(shù)為(

)A.14.00cm B.15.25cm C.16.25cm D.16.50cm3.已知直線l1：?m2x+y?1=0，直線l2：(2m?3)x+y?3=0，則m=?3A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知向量a=(2,1),b=(m?2,m)，若a//bA.5 B.3 C.5 D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，將圓C：x2+y2=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的A.x29+4y2=1 B.96.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2b(sin2A?sinBcosC)=csin2B，若點(diǎn)D在BC邊上，且AD平分∠BAC，則AD=(

)A.b2+c2bc B.bc7.在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是23,45A.25 B.13 C.6138.當(dāng)a≥e時(shí)，方程ex+x+lnx=lna+ax在[1,+∞)A.0 B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,z+2z?=3+A.z的實(shí)部為1 B.z的虛部為?3

C.|z|=4 D.直線OA10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F(1,0)是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)(與M，N均不重合)，且點(diǎn)P位于第一象限，過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)Q，點(diǎn)A(2,5)，則(

)A.C：y2=4x B.∠OPQ+∠FON<180°

C.|PA|+|PQ|的最小值為26 D.11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則(

)A.若f(2)>f(1)，則f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.若f(x2)=?f(?x2)，則f(x)是奇函數(shù)

C.若f(1?x)=f(1+x)，且f(2?x)=f(2+x)，則f(x+2)=f(x)

D.若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若2m+5n=12，則log213.函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<3π2)，若f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[?14.已知圓臺(tái)的上、下底半徑分別為r和R，若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是______；若R=2r=2，圓臺(tái)的高為?，且1???2，則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c依次為等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)，設(shè)其公比為q，且a>1，q?1．

(1)若a=2,q∈{32,2}，求{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(2)證明：當(dāng)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=13x3+a2x2+2x+bsinx(a,b∈R)．

(1)當(dāng)b=0時(shí)，若f(x)存在極大值，且存在極小值，求a的取值范圍；

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=2AB=22，PA=BC=AD=1．

(1)求證：平面PBC⊥平面PAD；

(2)若EC=3DE，求平面PAE18.(本小題17分)

已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，焦距為23．

(1)求Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)(0,?b)作直線l分別交Γ的左、右兩支于19.(本小題17分)

將4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋n次(n為正整數(shù))，設(shè)X為與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，p為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率．

(1)當(dāng)n=5時(shí)，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；

(2)若正四面體有瑕疵，即p≠12．

①設(shè)pn是拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：pn=p+(1?2p)pn?1(n?2)；參考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.BC

12.1213.?14.(0,R215.解：(1)因?yàn)閝?1，所以0<a?b?c，

由題意可知，a+b>c，

所以a+aq>aq2，

所以q2?q?1<0，q≥1，

解得，1?q<1+52，

因?yàn)閝∈{32,2}，

所以q=32，

所以Sn=a[1?(32)n]1?32=2a[(32)n?1]．

當(dāng)a=2時(shí)，Sn=4×[(316.解：(1)當(dāng)b=0時(shí)，f(x)=13x3+a2x2+2x，定義域?yàn)镽，

所以f′(x)=x2+ax+2，

因?yàn)閒(x)存在極大值，且存在極小值，

所以f′(x)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以Δ=a2?4×2>0，

所以a>22或a<?22，

即a的取值范圍是(?∞,?22)∪(22,+∞)．

(2)證明：當(dāng)a=2b=2時(shí)，f(x)=13x3+x17.解：(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)為G，連結(jié)AG，

因?yàn)镃D=2AB=22，所以AB=CG，因?yàn)锳B//CD，

所以四邊形ABCG為平行四邊形，

所以AG//BC，

在三角形AGD中，因?yàn)锳G=BC=1,AD=1,GD=CD2=2，

所以AG2+AD2=DG2，所以AG⊥AD，

所以BC⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥BC，因?yàn)镻A∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC⊥平面PAD，因?yàn)锽C?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAD．

(2)由AG⊥AD，PA⊥平面ABCD，得AG，AD，AP兩兩垂直，

分別以AG，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則G(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

C(2,?1,0)，B(1,?1,0)，

因?yàn)镋C=3DE,CD=22，所以DE=22，又DG=2，所以E為DG的中點(diǎn)，

因?yàn)锳D=AG，所以GD⊥AE，又PA⊥平面ABCD，GD?平面ABCD，

所以PA⊥GD，因?yàn)镻A∩AE=A，PA，AE?平面PAE，

所以GD⊥平面PAE，

所以平面PAE的法向量為GD=(?1,1,0)，

又PC=(2,?1,?1),PB=(1,?1,?1)，

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為18.解：(1)因?yàn)棣＃簒2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，焦距為23，

所以ca=62,2c=23,

解得a=2，c=3，所以b=c2?a2=1，

所以Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22?y2=1．

(2)由題意可設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx?1，雙曲線Γ的漸近線方程為y=±x2，

不妨設(shè)C，D分別在左、右位置，

聯(lián)立y=x2,y=kx?1,得xC=22k?119.解：(1)因?yàn)檎拿骟w的質(zhì)地是均勻的，p為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率，

所以p=24=12，

進(jìn)一步得，X～B(5,12)，

所以E(X)=np=5×12=52，D(X)=np(1?p)=5×12×12=54；

(2)證明：①因?yàn)閜n是拋正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，

所以pn?1是拋正四面體n?1次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，

當(dāng)n?2時(shí)，當(dāng)在前n?1次拋擲試驗(yàn)中正四面體與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次時(shí)，第n次拋擲的結(jié)果必須出現(xiàn)奇數(shù)，才可以保證前