2023年北京市初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：直線和圓

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編直線和圓一、單選題1．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離是4，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上情況都有可能二、填空題2．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B、C三點(diǎn)都在上，，過(guò)點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是_________．3．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀┤鐖D，，是的切線，切點(diǎn)分別為，．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．4．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數(shù)等于___________．5．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為x軸正半軸上一點(diǎn)．已知點(diǎn)，，為的外接圓．（1）點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．6．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的切線，是切點(diǎn)．若，則______________．三、解答題7．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，是的弦，與交于點(diǎn)E，，延長(zhǎng)至F，連接，使得．(1)求證：是的切線；(2)已知，，求的半徑長(zhǎng)．8．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)．對(duì)于線段和直線外的一點(diǎn)，給出如下定義：點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的夾角叫做線段關(guān)于點(diǎn)的可視角，其中點(diǎn)叫做線段的可視點(diǎn)．(1)在點(diǎn)、、中，使得線段的可視角為的可視點(diǎn)是；(2)為經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的圓，點(diǎn)是上線段的一個(gè)可視點(diǎn)．①當(dāng)為的直徑時(shí)，線段的可視角為度；②當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，線段的可視角為度；(3)已知點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的可視角最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小美設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：點(diǎn)A在上．求作：的切線．作法：①作射線；②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C和點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)B；④作直線．則直線即為所求作的的切線.根據(jù)小美設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解決下面的問(wèn)題：(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明.證明：連接，．由作圖可知，，．∴．∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線()(填寫(xiě)推理依據(jù))．10．（2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：直線是的切線；(2)若°，，求DF的長(zhǎng)．11．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．(1)求證：．(2)若，，求陰影部分的面積．12．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是直角三角形的外接圓，直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，且與相交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)當(dāng)時(shí)，在的圓上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)到直線的距離．13．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦于點(diǎn)，是的外角的平分線．(1)求證：是的切線；(2)連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若的半徑為，，求的長(zhǎng)．14．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知銳角，以為直徑畫(huà)，交邊于點(diǎn)M，平分與交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)F，若，，求長(zhǎng)．15．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀┤鐖D，AB為的直徑，點(diǎn)C在上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）連接AD．若，，求AD的長(zhǎng)．

參考答案1．A【分析】欲求直線l與圓O的位置關(guān)系，關(guān)鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系．若，則直線與圓相交；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓相離．據(jù)此判斷即可．【詳解】∵圓半徑，圓心到直線的距離．∴，∴直線l與的位置關(guān)系是相離．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是可通過(guò)比較圓心到直線距離與圓半徑大小關(guān)系完成判定．2．/20度【分析】連接，則，由圓周角定理得：，進(jìn)而求出的度數(shù)．【詳解】連接∵∴∵過(guò)點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接，運(yùn)用相關(guān)定理求解．3．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)等腰三角形的判定定理，得出為等腰三角形，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)等邊三角形的判定定理，得出為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】解：∵，分別為的切線，∴，，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．4．20°/20度【分析】連接OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB=90°，則利用互余可計(jì)算出∠AOB=40°，再利用圓周角定理得到∠ADC=20°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCD的度數(shù)．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．5．5(4，0)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上求解即可；（2）點(diǎn)P在⊙M切點(diǎn)處時(shí)，最大，而四邊形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵⊙M為△ABP的外接圓，∴點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上，∵A(0，2)，B(0，8)，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：，故答案為：5；（2）過(guò)點(diǎn)，，作⊙M與x軸相切，則點(diǎn)M在切點(diǎn)處時(shí)，最大，理由：若點(diǎn)是x軸正半軸上異于切點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，設(shè)交⊙M于點(diǎn)E，連接AE，則∠AEB=∠APB，∵∠AEB是ΔAE的外角，∴∠AEB>∠AB，∵∠APB>∠AB，即點(diǎn)P在切點(diǎn)處時(shí)，∠APB最大，∵⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，2)、B(0，8)，∴點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y=5上，∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)P，ＭP⊥x軸，從而MP=5，即⊙M的半徑為5，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接MD、AM，如上圖，則MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，而∠POD=90°，∴四邊形OPMD是矩形，從而OP=MD，由勾股定理，得MD=，∴OP=MD=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)，故答案為：(4，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定及勾股定理，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．6．130°【分析】由題意易得，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解．【詳解】解：∵是的切線，∴，∴由四邊形內(nèi)角和可得：，∵，∴；故答案為130°．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）連接，由垂徑定理的推論可得垂直平分，，進(jìn)一步得，，可得，得，結(jié)論得證；（2）作于點(diǎn)H，連接，則，由角平分線的性質(zhì)定理得到，設(shè)的半徑長(zhǎng)為r,則，再證，得到，即可求得答案．【詳解】（1）連接，∵是的直徑，是的弦，，∴垂直平分，，∴，∴，∵，∴，∵的度數(shù)，度數(shù)的度數(shù)，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）作于點(diǎn)H，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，設(shè)的半徑長(zhǎng)為r，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴的半徑長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理及推論、圓周角定理及推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)①；②(3)或【分析】（1）以為底作等腰直角三角形，以直角頂點(diǎn)為圓心，直角邊為半徑作圓，則、兩點(diǎn)與優(yōu)弧上點(diǎn)形成的角是的可視角的可視點(diǎn)；（2）①是直徑，可視角是；②半徑是4時(shí)，圓心和、兩點(diǎn)形成的是等邊三角形，圓心角是，故可視角是；（3）當(dāng)是最大時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的圓與軸相切，進(jìn)而可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，以為底在軸作等腰和，以和為圓心，為半徑作和，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上或上時(shí)，線段的可視角是，此時(shí)，點(diǎn)，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)不是的可視角為的可視點(diǎn)，，點(diǎn)是的可視角為的可視點(diǎn)，，點(diǎn)不是的可視角為的可視點(diǎn)，故答案是：；（2）①是直徑，，②，，，故答案是：，；（3）如圖2，作的外接圓，作直徑，連接，，，，，當(dāng)最小時(shí)，最大，即最大，點(diǎn)在上，當(dāng)和軸相切時(shí)，最大，此時(shí)，連接，作于，軸，，在中，，，，，或．【點(diǎn)睛】本題是新定義理解題，考查了圓周角定理及其推論，圓的切線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是確定最大時(shí)，是的外接圓與軸相切．9．(1)見(jiàn)解析；(2)；；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【分析】（1）依據(jù)題意，按步驟正確尺規(guī)作圖即可；（2）結(jié)合作圖，完成證明過(guò)程即可．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，（2）證明：連接，．由作圖可知，，．∴，∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線(經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故答案為：；；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力和切線的證明；能夠按要求規(guī)范作圖是解題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，證明可得結(jié)論；（2）再中，，，得到，，再在中，由，繼而求得；【詳解】（1）證明：連接．∵是的直徑，平分，∴.又∵，∴．即．∴直線為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，設(shè)則，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定，特殊角的直角三角形性質(zhì)，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問(wèn)題．11．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，由圓周角定理可知，再由即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，由圓周角定理求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理，和直角三角形的性質(zhì)求得，，根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，是半圓的直徑，，，，．（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，扇形面積，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．12．(1)見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得出，進(jìn)而得出，證明，得出，即可得證；（2）分點(diǎn)在以及半圓上，分別作出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，是的直徑，，，，又，，，是切線，，，是切線；（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，，，，，直徑，，，當(dāng)點(diǎn)在半圓上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn),，垂足為點(diǎn)，四邊形是矩形，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一性，可以判斷是的角平分線，因?yàn)猷徑腔パa(bǔ)，進(jìn)而可得最后推出是的切線；（2）利用外角定理可得，從而得到，利用三線合一性可知，進(jìn)而可以得到是等邊三角形，根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可求得．【詳解】（1）解：∵是直徑，∴平分弦∴垂直平分線段∴是的角平分線，是等腰三角形∴∴是外角的平分線∴∴是是切線（2）解：∵，是是切線∴∴∵∴∴∵是等腰三角形∴是等邊三角形∴∵，∴∴中，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵．14．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)可得，根據(jù)角平分線的定義，則，最后根據(jù)，，即可證明；（2）連接，可得，即可求出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，通過(guò)證明，即可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）如圖：連接，∵為直徑，，∴，∵，平分，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并靈活運(yùn)用．15．（1）證明見(jiàn)解析；（2）AD=4【分析】（1）連接