24.2.2 課時3 切線長定理與三角形內切圓 人教版九年級數(shù)學上冊課件

24.2.2課時3切線長定理與三角形內切圓第二十四章

圓1.掌握切線長的定義及切線長定理.2.初步學會運用切線長定理進行計算與證明.3.認識三角形的內切圓及其有關概念，會作一個三角形的內切圓，掌握內心的性質.上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線(如下圖所示)，如果點

P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB1.猜想：圖中的線段PA與PB有什么關系？2.圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關系？O.PAB如圖，過圓外一點P有兩條直線PA,PB分別與⊙O相切.經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.注意：切線是直線，不可度量；切線長是切線上切點與切點外另一點之間的線段的長，可以度量.POAB如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點分別為A，B.在半透明的紙上畫出這個圖形，沿著直線PO將圖形對折，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？你能證明嗎？POABPOAB證明：如圖，連接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.特別提醒經過圓上一點作圓的切線，有且只有一條，過切點的半徑垂直于這條切線；經過圓外一點作圓的切線，有兩條，這點和兩個切點所連的兩條線段相等.若連接兩切點

A，B，AB交

OP于點

M.你又能得出什么新的結論?請給出證明.解：OP垂直平分

AB.證明：∵

PA，PB是

⊙O的切線，

點

A，B是切點，

∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.

∴

OP垂直平分

AB.MOPAB如圖是切線長定理的一個基本圖形,可以直接得到結論：(1)PO⊥AB；(2)AO⊥AP，BO⊥BP；(3)AP=BP；(4)∠1=∠2=∠3=∠4；

(5)AD=BD.例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA與⊙O分別相切于點E，F(xiàn)，G，H.求證：AB+CD=AD

+BC.證明：∵AB，BC，CD，DA與

⊙O分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴

AB+CD=AD+BC.思考如圖是一塊三角形的鐵片，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使截下來的圓與三角形的三條邊都相切？假設符合條件的圓已作出，那么這個圓的圓心到三角形的三條邊的距離都等于半徑.如何找到這個圓心呢？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分線BM和CN，交點為O.2.過點O作OD⊥BC，垂足為D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.歸納要點解讀1.一個三角形有一個內切圓，而一個圓有無數(shù)多個外切三角形.2.三角形的內心在三角形的內部.三角形內心的性質三角形的內心是三角形三條角平分線的交點.三角形的內心到三角形三邊的距離相等.例2如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的長.解：設AF=x，則AE=x.CD=CE=AC－AE=13－x,BD=BF=AB－AF=9－x.由BD+CD=BC,可得(13－x)+(9－x)=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.歸納求三角形內切圓的問題，一般的作輔助線的方法為：一是連頂點、內心產生角平分線；二是連切點、內心產生半徑及垂直條件.1.下列說法正確的是(

)A．過任意一點總可以作圓的兩條切線B．圓的切線長就是圓的切線的長度C．過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等D．過圓外一點所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑C2.下列說法錯誤的是()A．三角形有且只有一個內切圓B．等腰三角形的內心一定在它的底邊的高上C．三角形的內心不一定都在三角形的內部D．若I是△ABC的內心，則AI平分∠BACCBPOA3.PA，PB是☉O的兩條切線，A，B是切點，OA=3.（1）若AP=4，則OP=

；（2）若∠BPA=60°，則OP=

.564.如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠BIC的度數(shù).ABCI解：連接IB，IC.∵點I是△ABC的內心，∴BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB.在△IBC中，5.如圖，在△ABC中，I是內心，∠BAC的平分線和△ABC的外接圓相交于點D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=