高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)高考23題逐題特訓(xùn)6.隨機(jī)變量及其概率分布

6.隨機(jī)變量及其概率分布1．(2017·江蘇南通中學(xué)調(diào)研)設(shè)10件同類型的零件中有2件不合格品，從所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件數(shù)．(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；(2)求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．解(1)“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率為eq\f(8×2,10×9)＝eq\f(8,45).(2)X的取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(8×7×6,10×9×8)＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(8×7×2×3,10×9×8)＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(8×2×1×3,10×9×8)＝eq\f(1,15).故X的概率分布為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).2．(2017·江蘇贛榆中學(xué)質(zhì)檢)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為eq\f(5,12).現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1個(gè)球，取出的球不放回，直到其次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)．解(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))，由題意知eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,12)，化簡得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6.(2)由題意，X的可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(3×6,9×8)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(3×2×6,9×8×7)＝eq\f(1,14)，P(X＝4)＝eq\f(3×2×1×6,9×8×7×6)＝eq\f(1,84).所以取球次數(shù)X的概率分布為X1234Peq\f(2,3)eq\f(1,4)eq\f(1,14)eq\f(1,84)所求數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,14)＋4×eq\f(1,84)＝eq\f(10,7).3．(2017·江蘇如皋中學(xué)模擬)某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率為P2，在射擊比武活動中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測．在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；(2)計(jì)劃在2018年每月進(jìn)行1次檢測，設(shè)這12次檢測中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)為ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范圍．解(1)易得P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3).(2)該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率為P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))Peq\o\al(2,2)＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2).而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)P\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤eq\f(5,4).又0≤P2≤1，∴eq\f(3,4)≤P2≤1.4．(2017·江蘇平潮高級中學(xué)質(zhì)檢)某銀行的一個(gè)營業(yè)窗口可辦理四類業(yè)務(wù)，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘．經(jīng)統(tǒng)計(jì)以往100位顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間t結(jié)果如下：類別A類B類C類D類顧客數(shù)(人)20304010時(shí)間t(分鐘/人)2346注：銀行工作人員在辦理兩項(xiàng)業(yè)務(wù)時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率．(1)求銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)的概率；(2)用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)Y表示銀行工作人員辦理一筆業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的概率分布如下：Y2346Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(1,10)A表示事件“銀行工作人員在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)兩種情形：①辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，且辦理第二位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘；②辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘，且辦理第二位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘．∴P(A)＝P(Y＝2)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25).(2)X的取值為0,1,2.X＝0對應(yīng)辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間超過4分鐘，∴P(X＝0)＝eq\f(1,10).X＝1對應(yīng)辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為2分鐘，且辦理第二位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間超過2分鐘，或辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為3分鐘或辦理第一位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間為4分鐘，∴P(X＝1)＝P(Y＝2)P(Y>2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＝eq\f(43,50).X＝2對應(yīng)辦理前兩位顧客的業(yè)務(wù)所需時(shí)間均為2分鐘，∴P(X＝2)＝P(Y＝2)P(Y＝2)＝eq