數(shù)學選修2-3課件第三章統(tǒng)計案例3.1

3.1

獨立性檢驗第3章

統(tǒng)計案例學習目標1.了解2×2列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計量χ2的意義.3.通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學答案可通過表格與圖形進行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷.知識點一2×2列聯(lián)表思考

山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調(diào)查了學生的課外活動方式，結果整理成下表：答案

體育文娛合計男生210230440女生60290350合計270520790如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？

Ⅱ

類1類2合計Ⅰ類Aab_____類Bcd______合計_________a＋b＋c＋d(1)2×2列聯(lián)表的定義對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)：梳理a＋bc＋da＋cb＋d(2)χ2統(tǒng)計量的求法知識點二獨立性檢驗獨立性檢驗的概念用χ2統(tǒng)計量研究兩變量是否有關的方法稱為獨立性檢驗.知識點三獨立性檢驗的步驟1.獨立性檢驗的步驟要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”，可按下面的步驟進行：(1)提出假設H0：

；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表及χ2公式，計算

的值；Ⅰ與Ⅱ沒有關系χ2表示在H0成立的情況下，事件“

”發(fā)生的概率.(3)查對臨界值，作出判斷.其中臨界值如表所示：χ2≥x0P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.推斷依據(jù)(1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”.(2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”.(3)若χ2＞2.706，那么有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”.(4)若χ2≤2.706，那么就認為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能作出結論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.題型探究例1

在一項有關醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表.解作列聯(lián)表如下：解答類型一2×2列聯(lián)表

喜歡甜食不喜歡甜食合計男117413530女492178670合計6095911200分清類別是列聯(lián)表的作表關鍵步驟.表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結果.反思與感悟則表中a，b的值分別為____，_____.解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.跟蹤訓練1

(1)下面是2×2列聯(lián)表：答案解析52

54

y1y2合計x1a2173x222527合計b46100(2)某學校對高三學生作一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學生中有213名在考前心情緊張.作出2×2列聯(lián)表.解作列聯(lián)表如下：解答

性格內(nèi)向性格外向合計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計4265941020例2

對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結果如下表所示.類型二由χ2進行獨立性檢驗解答

又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別.解假設病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術還是血管清障手術沒有關系，由表中數(shù)據(jù)得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392，因為χ2≈1.779<2.706，所以不能得出病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術還是血管清障手術有關系的結論，即這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響沒有差別.獨立性檢驗的關注點在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關系越弱；|ad－bc|越大，關系越強.反思與感悟跟蹤訓練2

某省進行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某一教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；解答解2×2列聯(lián)表如下所示：

贊同不贊同總計老教師101020青年教師24630總計341650(2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有關系.解假設“對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關”.解答≈4.963<6.635，所以沒有99%的把握認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有關.例3

電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖如圖.類型三獨立性檢驗的綜合應用將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關？解答

非體育迷體育迷合計男

女

1055合計

解由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得因為2.706<3.030<3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體育迷”與性別有關.(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的概率分布，均值E(X)和方差V(X).解答P(χ2≥x0)0.100.050.01x02.7063.8416.635解由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為獨立性檢驗的步驟第一步，假設兩個分類變量X與Y無關系；第二步，找相關數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表；第三步，由公式χ2＝

(其中n＝a＋b＋c＋d)計算出χ2的值；第四步，將χ2的值與臨界值進行比較，進而作出統(tǒng)計推斷.這些臨界值，在高考題中常會附在題后，應適時采用.反思與感悟跟蹤訓練3

某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學校高二年級在學業(yè)水平考試中的數(shù)學學科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學生的數(shù)學成績，如下表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級數(shù)學成績：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)10253530x乙校高二年級數(shù)學成績：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)153025y5(1)計算x，y的值，并分別估計以上兩所學校數(shù)學成績的平均分；(精確到1分)解答解依題意知，甲校應抽取110人，乙校應抽取90人，∴x＝10，y＝15，估計兩個學校的平均分，甲校的平均分為乙校的平均分為(2)若數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”？解答

甲校乙?？傆媰?yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

又4.714>3.841，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”.解數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到2×2列聯(lián)表如下：

甲校乙?？傆媰?yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計11090200當堂訓練1.在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是______的.(填有關，無關)答案23451有關則空格中的數(shù)據(jù)分別為：①____；②____；③____；④____.2.為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關系，隨機抽查301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空.答案2345186

180

229

301

經(jīng)常頭暈很少頭暈合計長發(fā)35①121短發(fā)37143②合計72③④3.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是_____.(填序號)①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。虎趶莫毩⑿詸z驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。虎廴魪摩?與臨界值的比較中得出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤.答案23451解析③解析對于①，99%的把握是通過大量的試驗得出的結論，這100個吸煙的人中可能全患肺病也可能都不患，是隨機的，所以①錯；對于②，某人吸煙只能說其患病的可能性較大，并不一定患病；③的解釋是正確的.23451

心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)54504.某科研機構為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：答案23451解析0.01根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝

≈15.968，因為χ2>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關系，那么這種判斷出錯的可能性為_____.解析因為χ2>6.635，所以有99%的把握說禿發(fā)與患心臟病有關，故這種判斷出錯的可能性有1－0.99＝