選擇性必修第一冊測試 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

選擇性必修一數(shù)學(xué)測試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知直線l:y=3x-2,則直線l經(jīng)過的象限為 ()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b與向量c=(-2,m,-4)平行,則實數(shù)m的值是 ()A.2 B.-2 C.10 D.-103.已知拋物線的方程為x2=-2y,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ()A.y=-1 B.y=1C.y=12 D.y=-4.圓C1:(x+1)2+(y+1)2=1與圓C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切線有且僅有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5.已知F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點,點B也在橢圓上,且滿足OA+OB=0(O為坐標(biāo)原點),AF2·FA.y=22x B.y=-22xC.y=-32x D6.如圖四棱錐P-OABC的底面是矩形,設(shè)OA=a,OC=b,OP=c,E是PC的中點,則 ()A.BE=-12a-12b+12cB.BE=-a-12b+12cC.BE=-a+12b+12cD.BE7.如圖為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強(qiáng)度鋼珠壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現(xiàn)測得AB=10mm,若所用鋼珠的直徑為26mm,則凹坑深度為 ()A.1mm B.2mmC.3mm D.4mm8.設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,|F1F2|=2c,過F2作x軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為A,已知Qc,3a2,|F2Q|>|F2A|,點P是雙曲線C右支上的動點,且|PF1|+|PQ|>32|F1F2|A.102,+∞ B.1,76C.76,102 D.1,102二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于點A,B,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△PAB面積的可能取值是 ()A.2 B.2C.4 D.610.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱A1D1和C1D1的中點,則下列結(jié)論正確的是 ()A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.點D與點B11.已知A,B兩點的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線AP,BP相交于點P,且兩直線的斜率之積為m(m≠0),則下列結(jié)論正確的是 ()A.當(dāng)m=-1時,點P的軌跡為圓(除去與x軸的交點)B.當(dāng)-1<m<0時,點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(除去與x軸的交點)C.當(dāng)0<m<1時,點P的軌跡為焦點在x軸上的拋物線D.當(dāng)m>1時,點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點)12.設(shè)拋物線y=ax2的準(zhǔn)線與對稱軸交于點P,過點P作拋物線的兩條切線,切點分別為A和B,則()A.點P的坐標(biāo)為0,-14aB.直線AB的方程為y=14aC.PA⊥PBD第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數(shù)x+y=.

14.已知圓x2+y2-6x+4y+12=0與直線x-ay-3=0相切,則a=.

15.在邊長為1的等邊三角形ABC中,將三角形ABC沿邊BC的高線AD折起,使得二面角B-AD-C為60°,則點D到平面ABC的距離為.

16.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,點P(4,y0)在拋物線上,K為l與y軸的交點,且|PK|=2|PF|,則y0=.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知△ABC的頂點A(5,1),邊AB上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,邊AC上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0.(1)求頂點C的坐標(biāo);(2)求△ABC的面積.18.(12分)如圖在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中點.(1)求直線CD與平面ACM所成角的正弦值;(2)求點P到平面ACM的距離.19.(12分)已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0),邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0,點(-1,1)在邊AD所在的直線上.(1)求矩形ABCD的外接圓的方程;(2)已知直線l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),證明直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交,并求出相交的弦最短時的直線l的方程.20.(12分)給出下列條件:①拋物線C上的點A到點12,0的距離比它到直線x=-32的距離小1;②F是橢圓x234p+③B(0,1),對于拋物線C上的點A,|AB|+|AF|的最小值為52從這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中并完成解答.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,滿足.

(1)求拋物線C的方程;(2)D(2,y)是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點,直線l:y=x+m與C交于M,N兩點,若△DMN的面積為m2,求m的值.(注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.)21.(12分)如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是矩形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=2,AC=1,BC=5,AA1=2.(1)求證:AA1⊥平面ABC.(2)在線段BC1上是否存在一點D,使得AD⊥A1B?若存在,求出BDBC22.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22,左頂點為A(-2,0).過點A作直線l交橢圓C于另一點D,交(1)求橢圓C的方程.(2)若P為AD的中點,是否存在定點Q,對任意的直線l,OP⊥EQ恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.單元測試卷答案1.D[解析]直線l:y=3x-2在x軸上的截距為233,在y軸上的截距為-2,所以直線l:y=3x-2.A[解析]a+b=(1,-1,2),由(a+b)∥c,得-21=m-1=-3.C[解析]由拋物線的方程為x2=-2y,可得拋物線的焦點在y軸的負(fù)半軸上,則其準(zhǔn)線方程為y=12.故選C4.D[解析]兩圓的圓心分別為C1(-1,-1),C2(2,1),半徑r1=r2=1,因為|C1C2|=(-1-2)2+(-15.A[解析]設(shè)A(x1,y1),因為OA+OB=0,所以B(-x1,-y1),又F1(-c,0),F2(c,0),所以AF2=(c-x1,-y1),F1F2=(2c,0),又因為AF2·F1F2=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,得x1=c,代入橢圓方程得y1=b2a,因為橢圓的離心率e=22,所以a=2c,b=c6.B[解析]連接OB,OE,BE=BO+OE=(BA+BC)+12(OP+OC)=-(OC+OA)+12(OP+OC)=-OA-12OC+127.A[解析]凹坑深度d=|OC|-|OM|,其中|OC|=r=13mm,|OM|=r2-|AM|2=132-52=8.B[解析]將x=c代入雙曲線的方程,可得y=±bc2a2-1=±b2a,則Ac,b2a.由|F2Q|>|F2A|,可得3a2>b2a,即3a2>2b2=2(c2-a2),即e=ca<102①.連接PF2,由|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,當(dāng)P為線段F2Q與雙曲線的交點時,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=3a2,此時3c<2a+3a2,即e=c9.BCD[解析]直線x+y+2=0與坐標(biāo)軸的交點分別為A(-2,0),B(0,-2),則|AB|=22,圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離d=|2+0+2|2=22,圓的半徑為2,所以圓周上的點到直線x+y+2=0的距離的最大值為d+2=32,最小值為d-2=2,所以△PAB面積的最大值為12×22×32=6,最小值為12×22×2=10.AC[解析]由A1C1∥EF,知A1C1∥平面CEF,A正確.建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)AB=2,則D(0,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2).設(shè)n=(x,y,z)是平面CEF的法向量,由n⊥EF得-x+y=0,由n⊥CF得-y+2z=0,取z=1,得x=2,y=2,因此n=(2,2,1).又DB1=(2,2,2),由n與DB1不平行,得B1D與平面CEF不垂直,B錯誤.CE=CD+DD1+D1E=12DA+DD1-DC,C正確.∵DC=(0,2,0),設(shè)D到平面CEF的距離為d1,則d1=|DC·n||n|=44+4+1=43,連接B1C,又B1C=(-2,0,11.ABD[解析]設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則kAP=yx+1(x≠-1),kBP=yx-1(x≠1),由已知得,yx+1×yx-1=m(x≠±1),化簡得點P的軌跡方程為x12.ABC[解析]由y=ax2得x2=1ay,當(dāng)a>0時,2p=1a,∴p=12a,焦點F0,14a,準(zhǔn)線方程為y=-14a,∴P0,-14a,A正確;不妨設(shè)A在第一象限,設(shè)切線方程為y=kx-14a,由y=ax2,y=kx-14a,得ax2-kx+14a=0,Δ=k2-4×a×14a=0,解得k=±1,∴A12a,14a,B-12a,14a,因此直線AB的方程為y=14a,B正確;又PA=12a,12a,PB=-12a,113.257[解析]由條件得3+5-2z=0,x-1+5y14.±33[解析]由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+2)2=1,∴圓心坐標(biāo)為(3,-2),半徑r=1.由題知圓心到直線x-ay-3=0的距離d=|3+2a-3|15.1510[解析]因為AD⊥BD,AD⊥DC,所以∠BDC為二面角B-AD-C的平面角,則∠BDC=60°,易知AD=32,BD=CD=12,所以BC=1則D(0,0,0),A0,0,32,C0,12,0,B34,14,0,設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,則n·AC=12y-32z=0,n·BC=-34x+14y=016.2[解析]作PM⊥l,垂足為M,由拋物線定義知|PM|=|PF|,又|PK|=2|PF|,所以在直角三角形PKM中,sin∠PKM=|PM||PK|=|PF||PK|=22,所以∠PKM=45°,所以△PMK為等腰直角三角形,所以|PM|=|MK|=4,又點P在拋物線17.解:由頂點A(5,1),和邊AC上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0,得直線AC的方程為2x+y-11=0①,又中線CM所在直線方程為2x-y-5=0②,由①②解得x=4,y=3,所以頂點C的坐標(biāo)為(4,3).(2)設(shè)頂點B的坐標(biāo)為(m,n),因為AB的中點在直線CM上,所以2×m+52-n+12-5=0③,因為高BH所在直線方程為x-2y-5=0,所以m-2n-5=0④,由③④解得m=-1,n=-3,所以頂點B的坐標(biāo)為(-1,-3).因為頂點B(-1,-3)到直線AC:2x+y-11=0的距離為|2×(-1)-3-11|22+12=16518.解:如圖所示,以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),則AC=(2,4,0),AM=(0,2,2),CD=(-2,0,0),AP=(0,0,4).設(shè)平面ACM的法向量為n=(x,y,z),由n⊥AC,n⊥AM可得2x+4y=0,2y+2z=0(1)設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為α,則sinα=CD·n|CD||(2)設(shè)點P到平面ACM的距離為h,則h=AP·n|n|19.解:(1)因為直線AB的方程為x-3y-6=0且AD⊥AB,所以kAD=-3.又點(-1,1)在邊AD所在的直線上,所以邊AD所在直線的方程是y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.由x-3y-6=0,3x+y+2=0得A(0,-2).所以|AP|=4+4=22(2)直線l的方程可化為k(-2x+y+4)+x+y-5=0,因為k∈R,所以直線l恒過直線-2x+y+4=0與x+y-5=0的交點Q(3,2),由|QP|2=(3-2)2+22=5<8,知點Q在圓P內(nèi),所以l與圓P恒相交.設(shè)l與圓P的兩個交點為M,N,則|MN|=28-d2(d為P到l的距離),設(shè)直線PQ與l的夾角為θ,則d=|PQ|sinθ=5sinθ,當(dāng)θ=90°時,d最大,|MN|最小,此時l的斜率為-12,故l的方程為y-2=-12(x-3),即x+220.解:(1)方案一:選條件①.由條件可知,點A到點12,0的距離與到直線x=-12的距離相等,由拋物線的定義可得p=1,所以拋物線C的方程為y2=2x.方案二:選條件②.因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為p2,0,所以橢圓x234p+y212p=1的一個焦點為p2,0,所以34p-12p=p24,又p>方案三:選條件③.由題意可得,當(dāng)F,A,B三點共線時,|AB|+|AF|=|FB|=52,由兩點間距離公式得p24+1=52,則p=1,所以拋物線C的方程為(2)把D(2,y)的坐標(biāo)代入方程y2=2x,可得D(2,2),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由y=x+m,y2=2x,消去y可得x2+(2m-2)x+m2=0,由Δ=(2m-2)2-4m2>0,解得m<12,又x1+x2=2-2m,x1x2=m2,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=24-8m=221-2m,又D(2,2)到直線l的距離d=|2-2+m|1+1=|m|2,所以S△21.解:(1)證明:因為側(cè)面AA1C1C是