高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 第4講 隨機(jī)變量及其分布列素能訓(xùn)練（文、理）

【成才之路】屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題7第4講隨機(jī)變量及其分布列素能訓(xùn)練（文、理）一、解答題1．(·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接年3月30日在鄭州舉行的“中國鄭開國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動(dòng)推介晚會(huì)上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).抽獎(jiǎng)盒中裝有6個(gè)大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志.搖勻后，參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球(取出后不再放回)，若抽到兩個(gè)球都印有“鄭開馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng)，并停止取球；否則繼續(xù)抽取．第一次取球就抽中獲一等獎(jiǎng)，第二次取球抽中獲二等獎(jiǎng)，第三次取球抽中獲三等獎(jiǎng)，沒有抽中不獲獎(jiǎng)．活動(dòng)開始后，一位參賽者問：“盒中有幾個(gè)印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說“我只知道第一次從盒中同時(shí)抽兩球，不都是'美麗綠城行'標(biāo)志的概率是eq\f(4,5).”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個(gè)數(shù)；(2)若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．[解析](1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個(gè)，同時(shí)抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A,則同時(shí)抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,6))，由對(duì)立事件的概率知P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝eq\f(4,5).即P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，解得n＝3.(2)由已知，兩種球各三個(gè)，η可能取值分別為1、2、3，則η＝2的含義是第一次取到兩球都印有“美麗綠城行”，第二次取球中獎(jiǎng)；或第一次取到兩類球各一個(gè)，第二次取球中獎(jiǎng)，∴P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,5)，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝eq\f(3,5)，則η的分布列為：η123Ρeq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,5)所以Eη＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).2．(·天津理，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)·C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0、1、2、3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0、1、2、3)所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).3．(·石家莊質(zhì)檢)某商場(chǎng)為了了解顧客的購物信息，隨機(jī)的在商場(chǎng)收集了100位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)，整理如下：一次購物款(單位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顧客人數(shù)m2030n10統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：100位顧客中購物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每日大約有5000名顧客，為了增加商場(chǎng)銷售額度，對(duì)一次性購物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件)．(注：視頻率為概率)(1)試確定m、n的值，并估計(jì)該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；(2)現(xiàn)有4人去該商場(chǎng)購物，求獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)由已知，100位顧客中購物款不低于100元的顧客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000×eq\f(60,100)＝3000件．(2)由(1)可知1人購物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率p＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5).故4人購物獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B(4，eq\f(3,5))．P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(3,5))0(eq\f(2,5))4＝eq\f(16,625)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(3,5))1(eq\f(2,5))3＝eq\f(96,625)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(3,5))2(eq\f(2,5))2＝eq\f(216,625)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(3,5))3(eq\f(2,5))1＝eq\f(216,625)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(3,5))4(eq\f(2,5))0＝eq\f(81,625)，ξ的分布列為ξ01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)ξ數(shù)學(xué)期望為Eξ＝0×eq\f(16,625)＋1×eq\f(96,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(216,625)＋4×eq\f(81,625)＝eq\f(12,5).或由Eξ＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).4．(·湖南理，17)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5)，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望．[分析](1)由條件可知甲、乙研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率，求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率可用對(duì)立事件求解．(2)先依據(jù)A、B產(chǎn)品研發(fā)成功的可能性確定利潤(rùn)ξ的取值，再依據(jù)獨(dú)立事件概率求分布列和期望．[解析](1)設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件，則事件B為兩種新產(chǎn)品都沒有成功，因?yàn)榧?、乙成功的概率分別為eq\f(2,3)、eq\f(3,5).則P(B)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的公式可得P(A)＝1－P(B)＝eq\f(13,15)，所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為eq\f(13,15).(2)由題可設(shè)該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為ξ，則ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(2,15)；P(ξ＝120)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(4,15)；P(ξ＝100)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)；P(ξ＝220)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)eq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)則數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×eq\f(2,15)＋120×eq\f(4,15)＋100×eq\f(1,5)＋220×eq\f(2,5)＝32＋20＋88＝130.5.當(dāng)前人們普遍認(rèn)為拓展訓(xùn)練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓(xùn)練，某大學(xué)生拓展訓(xùn)練中心著眼于大學(xué)生的實(shí)際情況，精心地設(shè)計(jì)了三個(gè)相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)極限項(xiàng)目，并設(shè)置如下計(jì)分辦法：項(xiàng)目甲乙丙挑戰(zhàn)成功得分103060挑戰(zhàn)失敗得分000據(jù)調(diào)查，大學(xué)生挑戰(zhàn)甲項(xiàng)目的成功概率為eq\f(4,5)，挑戰(zhàn)乙項(xiàng)目的成功概率為eq\f(3,4)，挑戰(zhàn)丙項(xiàng)目的成功概率為eq\f(1,2).(1)求某同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率，(2)記該同學(xué)挑戰(zhàn)三個(gè)項(xiàng)目后所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列并預(yù)測(cè)該同學(xué)所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．[解析](1)甲、乙、丙這三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率P＝1－(1－eq\f(4,5))(1－eq\f(3,4))(1－eq\f(1,2))＝1－eq\f(1,40)＝eq\f(39,40)；(2)由題意，X的可能取值為0、10、30、40、60、70、90、100.P(X＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,40)，P(X＝10)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，P(X＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,40)，P(X＝40)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(X＝60)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,40)，P(X＝70)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，P(X＝90)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,40)，P(X＝100)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以X的分布列為X0103040607090100Peq\f(1,40)eq\f(1,10)eq\f(3,40)eq\f(3,10)eq\f(1,40)eq\f(1,10)eq\f(3,40)eq\f(3,10)E(X)＝0×eq\f(1,40)＋10×eq\f(1,10)＋30×eq\f(3,40)＋40×eq\f(3,10)＋60×eq\f(1,40)＋70×eq\f(1,10)＋90×eq\f(3,40)＋100×eq\f(3,10)＝60.5(分)．所以該同學(xué)所得分的數(shù)學(xué)期望為60.5分．6．(·唐山模擬)某籃球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在本賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下：(1)比較這兩名隊(duì)員在比賽中得分的均值和方差的大小；(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名隊(duì)員得分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名隊(duì)員在同一場(chǎng)比賽中得分多少互不影響，預(yù)測(cè)在本賽季剩余的2場(chǎng)比賽中甲、乙兩名隊(duì)員得分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙兩名隊(duì)員的得分均值相等；甲的方差較大(乙的方差較小)．(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在一場(chǎng)比賽中，甲、乙得分超過15分的概率分別為p1＝eq\f(3,8)，p2＝eq\f(1,2)，則兩人得分均超過15分的概率為p1p2＝eq\f(3,16)，依題意，X～B(2，eq\f(3,16))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)(eq\f(3,16))k(1－eq\f(3,16))2－k，k＝0,1,2，X的分布列為X012Peq\f(169,256)eq\f(78,256)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).7．(·合肥質(zhì)檢)某電視臺(tái)組織一檔公益娛樂節(jié)目，規(guī)則如下：箱中裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，參與者從中隨機(jī)摸出一球，若為白球，將其放回箱中，并再次隨機(jī)摸球；若為紅球，則紅球不放回并往箱中添加一白球，再次隨機(jī)摸球．如果連續(xù)兩次摸得白球，則摸球停止．設(shè)摸球結(jié)束時(shí)參與者摸出的紅球數(shù)是隨機(jī)變量ξ，受益人獲得的公益金yξ與摸出的紅球數(shù)ξ的關(guān)系是yξ＝0＋5000ξ(單位：元)．(1)求在第一次摸得紅球的條件下，贏得公益金為30000元的概率；(2)求隨機(jī)變量yξ的分布列與期望．[分析](1)在第一次摸得紅球的條件下，再摸球時(shí)口袋中有1紅4白共5個(gè)球，當(dāng)yξ＝30000時(shí)，ξ＝2，因此需再摸得一紅球，有兩種可能，①第二次摸得紅球；②第二次摸得白球，第三次摸得紅球．(2)關(guān)鍵是ξ＝1的含義要弄清：ξ＝1包括第一次摸得紅球，第二、三次均摸得白球，或第一次摸得白球，第二次摸得紅球，第三、四次都摸得白球．[解析](1)在摸得第一個(gè)紅球的條件下，箱內(nèi)有1個(gè)紅球4個(gè)白球，摸球結(jié)束時(shí)贏得公益金為30000元的情形是：先摸得紅球或先摸得白球再摸得紅球，其概率為P＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(9,25).(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0、1、2，，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量yξ的取值分別為0、25000、30000.∵P(ξ＝0)＝(eq\f(3,5))2＝eq\f(9,25)，P(ξ＝1)＝(eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,5))(eq\f(4,5))2＝eq\f(256,625)，P(ξ＝2)＝1－eq\f(9,25)－eq\f(256,625)＝eq\f(144,625).∴隨機(jī)變量yξ分布列為yξ02500030000Peq\f(9,25)eq\f(256,625)eq\f(144,625)隨機(jī)變量ξ的期望Eyξ＝0×eq\f(9,25)＋25000×eq\f(256,625)＋30000×eq\f(144,625)＝24352.8．(·衡水中學(xué)二調(diào))今年年初，我國多個(gè)地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產(chǎn)生了巨大的威脅．私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634(1)完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；(2)若從年齡在[15,25)、[25,35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)各組的頻率分別是0.1、0.2、0.3、0.2、0.1、0.1.所以圖中各組的縱坐標(biāo)分別是0.01、0.02、0.03、0.02、0.01、0.01.(2)ξ的所有可能取值為：0、1、2、3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o