湖南省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………PAGEPAGE26湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題（含解析）一、單選題1.已知復(fù)數(shù)z滿意(z+1)i=1+iA.

i

B.

?i

C.

1+i

D.

2?i2.已知某地近三天每天下雨的概率為0.5，現(xiàn)采納計算機模擬的方法估計這三天中至少有兩天下雨的概率，先由計算機產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：162471據(jù)此估計，三天中至少有兩天下雨的概率為（

）A.

0.5

B.

0.55

C.

0.6

D.

0.653.已知三個函數(shù)y=aA.

a>b>c

B.

c>a>b

C.

a>c>b

D.

c>b>a4.已知函數(shù)y=ln(x2?ax+3a)A.

(?4,+∞)

B.

(0,4]

C.

[4,+∞)

D.

(?4,4]5.經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是利用三維空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系.能夠標(biāo)示地球上任何一個位置，其中緯度是地球重力方向上的鉛垂線與赤道平面所成的線面角.如世界最高峰珠穆朗瑪峰就處在北緯30°，若將地球看成近似球體，其半徑約為6400km，則北緯A.

64003km

B.

64003πkm

C.

320036.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的終邊與以原點為圓心的單位圓相交于點P(?35,45)，角A.

?43

B.

?34

C.

?837.如圖，為測量樓房的高度PQ，選擇A和另一座樓房的房頂C作為測量基點，從A測得P點的仰角為∠PAQ=60°，C點的仰角∠CAB=45°,∠PAC=75°.從C點測得A.

75m

B.

752m

C.

753m

8.在平面中的向量a,b滿意|a|=|b|=1且a?b=0，OA.

[0,1]

B.

[2?1,2+1]

C.

[1,3]

D.

二、多選題9.下列命題中，真命題有（

）A.

若復(fù)數(shù)z1=z2，則z1?z2∈R

B.

若復(fù)數(shù)z1,z2滿意|z1|=|z2|，則10.下列關(guān)于概率的命題，正確的有（

）A.

若事務(wù)A,B滿意P(A)=13,P(B)=23，則A,B為對立事務(wù)

B.

若事務(wù)A，B滿意P(A)=13,P(B)=23,P(AB)=29，則A，B相互獨立

C.

若對于事務(wù)11.已知函數(shù)f(x)={?A.

方程f(x)?12=0的全部解之和為32?22

B.

若直線y=t與y=f(x)的圖象有且僅有兩個公共點，則t∈(?∞,0)∪(1,+∞)

C.

若方程f(x)=m恰有四解x1,x12.如圖，在正方體ABCD?A1B1CA.

三棱錐P?A1C1D的體積為定值

B.

異面直線AP與A1D所成的角的取值范圍為[45°,90°]

三、填空題13.已知集合A={x∈Z∣32?x∈Z}，用列舉法表示集合A14.若復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=3?i(其中i為虛數(shù)單位)所對應(yīng)的向量分別為OZ15.我省高考實行3+1+2模式，高一學(xué)生A和B兩位同學(xué)的首選科目都是歷史，再選科目兩人選擇每個科目的可能性均等，且他們的選擇互不影響，則他們選科至少有一科不同的概率為________.16.已知，如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為四、解答題17.某地一天的時間x(0?x?24，單位：時)隨氣溫y(oC)（1）依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試求y=Asin（2）該地居民老張因身體不適在家養(yǎng)息 ，醫(yī)生建議其外出進(jìn)行活動時，室外氣溫不低于23o18.已知.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點.（1）BP=12（2）當(dāng)△CPQ的周長為2時，求∠PAQ的大小.19.新冠疫苗接種是能構(gòu)建人群免疫屏陳，阻斷病毒傳挪，國家衛(wèi)健委宣布至2024年6月14日，我國已累計報告接種新冠病毒疫苗超9億劑次.在某社區(qū)接種點，隨機抽取了100名來接種疫苗的市民，統(tǒng)計其在接種點等待接種的時間(等待時間不超過40分鐘)，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按[5,10),?,[35,40]分組，制成以下頻率分布直方圖.（1）由所給的頻率分布直方圖：①估計該接種點市民等待時間的上四分位數(shù)；(結(jié)果保留一位小數(shù))②記A事務(wù)為該接種點居民等待接種時間少于30分鐘”，試估計件A的概率.（2）為激勵市民踴躍接種，在該接種點接種疫苗的市民有機會獲得小禮物；現(xiàn)場有1個箱子，箱子中有質(zhì)地相同的10個小球，其中9個藍(lán)球，1個紅球，每個完成接種的市民有兩種選擇，選擇1：每次摸出1球，有放回地摸10次；選擇2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.兩種選擇至少能摸出一個紅球即可獲贈小禮物，則哪種選擇獲得小禮物的概率較大？說明理由.20.已為a.b.c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對邊，且a（1）求A.（2）若c=2，B的平分線BD=6，求△ABC的面積S21.設(shè)函數(shù)f(x)=a?2x?（1）若不等式f(x)?k?2x?2（2）若f(sin3α?22.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，（1）摸索究在BC1上是否存在點N，使A1（2）若BC1與平面BCM所成角的正弦值為

答案解析部分一、單選題1.已知復(fù)數(shù)z滿意(z+1)i=1+iA.

i

B.

?i

C.

1+i

D.

2?i【答案】B【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】z=1+故答案為：B

【分析】由已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，即可得出答案。2.已知某地近三天每天下雨的概率為0.5，現(xiàn)采納計算機模擬的方法估計這三天中至少有兩天下雨的概率，先由計算機產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：162471據(jù)此估計，三天中至少有兩天下雨的概率為（

）A.

0.5

B.

0.55

C.

0.6

D.

0.65【答案】A【考點】列舉法計算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率【解析】【解答】基本領(lǐng)件的總數(shù)為20種，其中三天中至少有兩天下雨的基本領(lǐng)件有162，151，271，932，408，471，333，730，163，039共10種，所以三天中至少有兩天下雨的概率約為p=故答案為：A

【分析】經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生的20組隨機數(shù)中，利用列舉法求出三天中至少有兩天下雨的隨機數(shù)有10組，據(jù)此以估計三天中至少有兩天下雨的概率。3.已知三個函數(shù)y=aA.

a>b>c

B.

c>a>b

C.

a>c>b

D.

c>b>a【答案】C【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)y=ax圖象可知，由冪函數(shù)y=xb的圖象可知，由對數(shù)函數(shù)y=logcx故可得a>c>b，故答案為：C

【分析】依據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)，分析a，b，c的取值范圍，即可得出答案。4.已知函數(shù)y=ln(x2?ax+3a)A.

(?4,+∞)

B.

(0,4]

C.

[4,+∞)

D.

(?4,4]【答案】D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)【解析】【解答】依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增，需滿意{a2≤2故答案為：D

【分析】由題意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案。5.經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是利用三維空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系.能夠標(biāo)示地球上任何一個位置，其中緯度是地球重力方向上的鉛垂線與赤道平面所成的線面角.如世界最高峰珠穆朗瑪峰就處在北緯30°，若將地球看成近似球體，其半徑約為6400km，則北緯A.

64003km

B.

64003πkm

C.

32003【答案】B【考點】三角形中的幾何計算【解析】【解答】如圖所示，半徑O1C=OC?cos故答案為：B.

【分析】利用球的截面，結(jié)合球與截面之間的關(guān)系，在直角三角形中，求出北緯

30°緯6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的終邊與以原點為圓心的單位圓相交于點P(?35,45)，角A.

?43

B.

?34

C.

?83【答案】B【考點】兩角和與差的余弦公式，隨意角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】由P(?35因為cos(α+β)=0所以cosα即tanβ=所以sin2β故答案為：B

【分析】由三角函數(shù)定義可知，tanα=45?35=?7.如圖，為測量樓房的高度PQ，選擇A和另一座樓房的房頂C作為測量基點，從A測得P點的仰角為∠PAQ=60°，C點的仰角∠CAB=45°,∠PAC=75°.從C點測得A.

75m

B.

752m

C.

753m

【答案】A【考點】解三角形的實際應(yīng)用【解析】【解答】在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=50m，所以AC=502在△APC中，∠PAC=75°，∠PCA=60°，從而∠APC=45°，由正弦定理得，ACsin45°=在RT△PQA中，AP=503m，∠PAQ=60°得PQ=503故答案為：A

【分析】由題意，可先求出AC的值，從而由正弦定理可求AP的值，在RT△PQA中，由AP=503m，8.在平面中的向量a,b滿意|a|=|b|=1且a?b=0，OA.

[0,1]

B.

[2?1,2+1]

C.

[1,3]

D.

【答案】C【考點】向量的模，向量的減法及其幾何意義【解析】【解答】∵PQ∴|∵向量a,b滿意|a|=|b|=1且∴|∵θ∈[0,2π),∴sin∴|∴|PQ故答案為：C

【分析】由PQ→=OQ→?OP→=(2二、多選題9.下列命題中，真命題有（

）A.

若復(fù)數(shù)z1=z2，則z1?z2∈R

B.

若復(fù)數(shù)z1,z2滿意|z1|=|z2|，則【答案】A,C【考點】復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)求?！窘馕觥俊窘獯稹緼.由條件z1=z2可知，z1和z那么z1B.兩個復(fù)數(shù)的模相等，不能推出兩個復(fù)數(shù)相等或是共軛復(fù)數(shù)，比如，z1=1+iC.由條件z1=z2可知，z1D.若z1=1+i，z2=1?i，滿意故答案為：AC

【分析】利用復(fù)數(shù)的共軛，復(fù)數(shù)的模，及復(fù)數(shù)的運算，逐項進(jìn)行分析，即可得出答案。10.下列關(guān)于概率的命題，正確的有（

）A.

若事務(wù)A,B滿意P(A)=13,P(B)=23，則A,B為對立事務(wù)

B.

若事務(wù)A，B滿意P(A)=13,P(B)=23,P(AB)=29，則A，B相互獨立

C.

若對于事務(wù)【答案】B,D【考點】互斥事務(wù)的概率加法公式，相互獨立事務(wù)的概率乘法公式【解析】【解答】A.因為P(A)+P(B)=1，是A,B為對立事務(wù)的必要條件，不是充分條件，如單位圓的一條直徑把圓分成兩部分，即區(qū)域M和區(qū)域N（不包括邊界），向這兩個區(qū)域投一枚繡花針，如針尖落在區(qū)域M內(nèi)記為事務(wù)A，針尖落在區(qū)域N內(nèi)記為事務(wù)B，滿意P(A)+P(B)=1，但A,B不是對立事務(wù)，因為針尖還有可能落在直徑上，故錯誤；B.若P(AB)=P(A)?P(B)，則A，B相互獨立，故正確；C.若A,B,C兩兩獨立，則P(AB)=P(A)?P(B),P(AC)=P(A)?P(C)，P(BC)=P(B)?P(C)，故錯誤；D.若事務(wù)A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)?P(B)=0.42，P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.88，故正確；故答案為：BD

【分析】干脆利用對立事務(wù)的定義，相互獨立事務(wù)的定義的應(yīng)用推斷A,B,C,D的結(jié)論。11.已知函數(shù)f(x)={?A.

方程f(x)?12=0的全部解之和為32?22

B.

若直線y=t與y=f(x)的圖象有且僅有兩個公共點，則t∈(?∞,0)∪(1,+∞)

C.

若方程f(x)=m恰有四解x1,x【答案】A,B,D【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】【解答】A.首先畫出函數(shù)的圖象，f(x)?12=0的全部解，即y=f(x)與y=12的交點的橫坐標(biāo)，如圖可知有4個交點，設(shè)四解x1,x2,x3,x4B.由圖象可知，當(dāng)直線y=t與y=f(x)的圖象有且僅有兩個公共點，則t∈(?1,0)∪(1,+∞)，B不正確；C.由A可知x1+x2=2×(?12)=?1，D.由C的證明可知D符合題意.故答案為：ABD

【分析】畫出函數(shù)的圖象，依據(jù)對稱性可知x1+x12.如圖，在正方體ABCD?A1B1CA.

三棱錐P?A1C1D的體積為定值

B.

異面直線AP與A1D所成的角的取值范圍為[45°,90°]

【答案】A,C,D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角【解析】【解答】如圖，對于A，VP?A1C1D=VC1?A1PD,因為點對于B，當(dāng)點P與線段B1C的端點重合時,AP與A1對于C，因為直線BD1⊥平面A1C1D,所以若直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值最大,則直線C對于D，連接B1D,由正方體可得BC1⊥B1C,且DC⊥平面B1C1CB,則DC⊥BC1,所以故答案為：ACD

【分析】在A中，由B1C//平面A1C1

D,得到P到平面A1C1D的距離為定值，再由△A1C1D的面積是定值，從而三棱錐P?A1C1D的體積為定值；

在B中，異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[60°，90°]

;

在C中，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線

C三、填空題13.已知集合A={x∈Z∣32?x∈Z}，用列舉法表示集合A【答案】{?1,1,3,5}【考點】集合的表示法【解析】【解答】∵A={x∈Z∣3∴A={?1,1,3,5}故答案為：{?1,1,3,5}

【分析】用特別值代入，從而得出A中的元素。14.若復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=3?i(其中i為虛數(shù)單位)所對應(yīng)的向量分別為OZ【答案】7【考點】余弦定理【解析】【解答】因為OZ1=(1,2)，O所以|OZ1|=1由余弦定理可得cos∠所以sin∠所以△OZ1Z故答案為：7

【分析】由題意求出各復(fù)數(shù)的模，再依據(jù)余弦定理求出sin∠Z1OZ215.我省高考實行3+1+2模式，高一學(xué)生A和B兩位同學(xué)的首選科目都是歷史，再選科目兩人選擇每個科目的可能性均等，且他們的選擇互不影響，則他們選科至少有一科不同的概率為________.【答案】5【考點】列舉法計算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率【解析】【解答】每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個科目中選擇兩科的選法共有:{化學(xué)，生物}，{化學(xué)，政治}，{化學(xué)，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6種選法.由于兩人選科互不影響，所以兩人選科的種類共有N=6×6=36種，其中兩人的選科完全相同的選法有6種，所以她們的選科至少有一科不相同的概率P=1?故答案為：5

【分析】利用列舉法求出每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個科目中選擇兩科的選法共有6種選法，由于兩人選科互不影響，所以兩人選科的種類共有N=6×6=36種，由此利用對立事務(wù)概率計算公式能求出她們的選科至少有一科不相同的概率。16.已知，如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為【答案】2+【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】如圖，將△D1A1P沿A1P∠D故∠AA從而，AP+D當(dāng)且僅當(dāng)P為AD2與故答案為：2+

【分析】將△D1A1P沿A1P翻轉(zhuǎn)，使點D1轉(zhuǎn)到的對應(yīng)點四、解答題17.某地一天的時間x(0?x?24，單位：時)隨氣溫y(oC)（1）依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試求y=Asin（2）該地居民老張因身體不適在家養(yǎng)息 ，醫(yī)生建議其外出進(jìn)行活動時，室外氣溫不低于23o【答案】（1）解：依題意可得{A+B=26?A+B=14解得{A=6B=20，又T2=15?3即T=24=2πω，解得ω=π12，所以y=6sin(π12x+φ)+20，又函數(shù)過點(3,14)，所以6sin(所以π解得11+24k≤x≤19+24k,k∈Z因為0?x?24所以11≤x≤19，又19?11=8即老張可在11:00～19:00外出活動，活動時長最長不超過8小時；【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【解析】【分析】（1）利用圖像中的最值求解A,B，由周期求解ω，特別點求解φ，即可得到函數(shù)解析式；（2）由（1）中的結(jié)論，建立三角不等式求解，即可得到答案。

18.已知.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點.（1）BP=12（2）當(dāng)△CPQ的周長為2時，求∠PAQ的大小.【答案】（1）因為BP=1∴==

（2）設(shè)∠CQP=θ,θ∈(0,π2)，∠DAQ=α，∠BAP=β，其中α、β則CP=PQsinθ，CQ=PQcosθ，解得PQ=則tanα=DQDA∴===1+∴α+β=π∴∠PAQ=π【考點】平面對量數(shù)量積的運算，兩角和與差的正切公式【解析】【分析】（1）因為

BP=12BC,AP→?AQ→=AB→?AD→+23AB→2+12AD→2+13AD→則

CP=PQsinθ

，

CQ=PQcosθ，由△CPQ

的周長為2得PQ=

19.新冠疫苗接種是能構(gòu)建人群免疫屏陳，阻斷病毒傳挪，國家衛(wèi)健委宣布至2024年6月14日，我國已累計報告接種新冠病毒疫苗超9億劑次.在某社區(qū)接種點，隨機抽取了100名來接種疫苗的市民，統(tǒng)計其在接種點等待接種的時間(等待時間不超過40分鐘)，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按[5,10),?,[35,40]分組，制成以下頻率分布直方圖.（1）由所給的頻率分布直方圖：①估計該接種點市民等待時間的上四分位數(shù)；(結(jié)果保留一位小數(shù))②記A事務(wù)為該接種點居民等待接種時間少于30分鐘”，試估計件A的概率.（2）為激勵市民踴躍接種，在該接種點接種疫苗的市民有機會獲得小禮物；現(xiàn)場有1個箱子，箱子中有質(zhì)地相同的10個小球，其中9個藍(lán)球，1個紅球，每個完成接種的市民有兩種選擇，選擇1：每次摸出1球，有放回地摸10次；選擇2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.兩種選擇至少能摸出一個紅球即可獲贈小禮物，則哪種選擇獲得小禮物的概率較大？說明理由.【答案】（1）①前兩組的頻率和是0.012×5+0.040×5=0.26>0.25，所以四分位數(shù)在其次組，設(shè)四分位數(shù)為x，滿意0.012×5+(x?10)×0.040=0.25，解得：x=14.75≈14.8，所以估計該接種點市民等待時間的上四分位數(shù)是14.8；②[30,40]的頻率為0.012×10=0.12，所以P(A)=1?0.12=0.88，

（2）選擇1：10次都沒有摸到紅球的概率P=(所以至少有一次摸到紅球的概率P=1?(910選擇2：1次沒有摸到紅球的概率P=C92C102=∵1?(【考點】頻率分布直方圖，n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率【解析】【分析】（1）①依據(jù)頻率分布直方圖可得，前兩組的頻率和是

0.012×5+0.040×5=0.26>0.25

，所以四分位數(shù)在其次組，設(shè)四分位數(shù)為

x

，滿意

0.012×5+(x?10)×0.040=0.25

，

解等式，即可得出；

②由

[30,40]

的頻率為

0.012×10=0.12

，可得P(A)=1?0.12=0.88

；

（2）選擇1：10次都沒有摸到紅球的概率

P=(910)10

,所以至少有一次摸到紅球的概率

P=1?(910)1020.已為a.b.c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對邊，且a（1