2025屆上海市高三數(shù)學一模暨春考數(shù)學試卷1

2025屆高三數(shù)學一模暨春考數(shù)學試卷1時間：120分鐘滿分：150一?填空題：1.已知集合，集合，則__________.2.若復數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)__________.3.現(xiàn)從甲?乙?丙3人中隨機選派2人參加某項活動，則甲被選中的概率為__________.4.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則該組數(shù)據(jù)的方差__________.5.在平面直角坐標系中，若中心在坐標原點上的雙曲線的一條準線方程為，且它的一個頂點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為__________.6.設函數(shù)，若成等差數(shù)列（公差不為零），則__________.7.已知下列兩個命題：，不等式恒成立；有最小值.若兩個命題中有且只有一個是真命題，則實數(shù)的取值范圍是__________.8.設中心在原點的雙曲線與橢圓有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程是__________.9.已知，求使向量與向量的夾角為銳角的的取值范圍__________.10.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.11.如圖，用一塊形狀為半橢圓的鐵皮截取一個以短軸為底的等腰梯形，記所得等腰梯形的面積為，則的最小值是__________.12.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題：①函數(shù)的定義域為，值域為；②函數(shù)的圖象關于直線對稱；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)在上是增函數(shù).其中正確的命題的序號是__________.二?選擇題：13.設都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件14.關于函數(shù)有下述四個結論：①是偶函數(shù)；②的最大值為2；③在有4個零點；④在區(qū)間單調(diào)遞減.其中所有正確結論的編號是（）A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③15.如圖，平面為的中點，為內(nèi)的動點，且到直線的距離為，則的最大值為（）A.B.C.D.16.已知數(shù)列滿足：.若正整數(shù)使得成立，則（）A.16B.17C.18D.19三?解答題：17.在平面直角坐標系中，已知點，其中.（1）若，求證：.（2）若，求的值.18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.19.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？20.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，以橢圓左頂點為圓心作圓，設圓與橢圓交于點與點.（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；（3）設點是橢圓上異于的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值.21.已知函數(shù)（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.參考答案及逐題解析：一?填空題：1.【答案】解：由題意可知集合表示四個實數(shù)，而集合表示非負實數(shù)，所以兩個集合交集為.2.【答案】解：先由復數(shù)乘法化為，再由純虛數(shù)的概念得即.3.【答案】解：從甲?乙?丙3人中隨機選派2人，共有甲乙?甲丙?乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙?甲丙兩種選法，所以甲被選中的概率為.4.【答案】解：..5.【答案】解：因為拋物線的焦點為，所以.又，所以.而雙曲線的漸近線方程為，即.6.【答案】2【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，.7.【答案】或.解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值為2，故為真命題時，有最小值.表示以為底的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且恒成立即，解得故為真命題時，兩個命題中有且只有一個是真命題，當真假時，或或，當假真時，這樣的值不存在故實數(shù)的取值范圍是或8.【答案】【詳解】：橢圓中中心在原點的雙曲線與橢圓有公共的焦點，雙曲線中橢圓的離心率為，橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).雙曲線的離心率為，雙曲線中雙曲線的方程為.9.【答案】且【詳解】，，即，又不共線，，且.10.【答案】【詳解】當時，在上單調(diào)遞減，所以，即，，當時，，所以，可得在單調(diào)遞增，所以，即，所以的值域為，因為且，所以，即，因為，所以，所以所以的值域為，因為存在，使得成立，所以，若，則或，此時或，所以當時，的取值范圍是：.所以實數(shù)的取值范圍是.11.【答案】【詳解】設，因為，可得且，所以梯形的面積為，則，所以，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，即.12.【答案】①②③【詳解】①由定義知：，所以，即的值域為；故①對；②因為，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱；故②對；③因為，所以函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；故③對；④當時，；當時，，此時，故④錯.故答案為：①②③二?選擇題：13.【答案】C【解析】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C.14.【答案】A【解析】的定義域為，因為，故為偶函數(shù)，結論①正確，當，當故當時，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，作出大致圖像，如圖所示故函數(shù)的最大值為2，結論②正確，根據(jù)圖像可得，在有3個零點，故結論③錯誤，由圖象可以看出，在區(qū)間單調(diào)遞減，結論④正確.故選：A.15.【答案】B【解析】空間中到直線的距離為的點構成一個圓柱面，它和面相交得一橢圓，所以在內(nèi)的軌跡為一個橢圓，為橢圓的中心，，則，于是為橢圓的焦點，橢圓上點關于兩焦點的張角，在短軸的端點取得最大，故為.故選B.16.【答案】B【解析】，即，，時，，兩式相除可得，則，由，可得，且，正整數(shù)時，要使得成立，則，則，故選：B.三?解答題：17.【詳解】（1）由題設知.所以因為，所以.故.（2）因為，所以，即，解得.因為，所以.因此，.從而.18.【詳解】（1）連接與交于點，連接；因為為的中點，為的中點.所以，又平面平面.所以平面.（2）由于點到平面的距離為1，故三棱錐的體積.19.【詳解】（1）由題意可知，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為，所以，每噸二氧化碳的平均處理成本為，由基本不等式可得（元），當且僅當時，即當時，等號成立，因此，該單位每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低；（2）令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，即.所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼40000元才能使該單位不虧損.20.【詳解】（1）依題意，得，，故橢圓的方程為.（2）點與點關于軸對稱，設，設，由于點在橢圓上，所以，由，則，.由于故當時，的最小值為，所以，故，又點在圓上，代入圓的方程得到.故圓的方程為：（3）設，則直線的方程為：，令，得，同理：.故又點與點在橢圓上，故，代入上式得：，所以21.解：（1）因為為的極值點，所以，即，解得.又當時，，從而為的極值點成立.（2）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.①當時，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故符合題意.②當時，由函數(shù)的定義域可知，必