數(shù)字信號處理（第3版）課件 第04章 LTI系統(tǒng)的變換域分析

第4章LTI系統(tǒng)的變換域分析4.1系統(tǒng)函數(shù)4.2頻率響應4.3差分方程、系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應間的關系4.4廣義線性相位系統(tǒng)的變換域分析4.1系統(tǒng)函數(shù)

1.定義對LTI系統(tǒng)2.差分方程與系統(tǒng)函數(shù)間的關系差分方程對應的系統(tǒng)函數(shù)是有理系統(tǒng)函數(shù)；零點和極點個數(shù)相等；當差分方程或H(z)是實系數(shù)或h[n]是實序列時，復數(shù)零點（或極點）兩兩共軛。3.收斂域與系統(tǒng)類型間的關系（1）因果系統(tǒng)

因果LTI系統(tǒng)的h[n]是因果序列，z變換的ROC包括z＝∞（是系統(tǒng)因果的充要條件）（2）穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的h[n]絕對可和，z變換的ROC包括單位圓（是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件）（3）因果穩(wěn)定系統(tǒng)

ROC是從單位圓內(nèi)的某個圓到∞的整個區(qū)域，表示成其中。

所以H(z)的全部極點必須都在單位圓以內(nèi)（是系統(tǒng)因果穩(wěn)定的必要條件）1或者ROC是整個平面，無極點，例如h[n]=δ[n]1因果穩(wěn)定系統(tǒng)的極點和ROC舉例h[n]有限長，ROC是整個平面（z=0和∞可能例外），所以一定包括|z|=1（一定穩(wěn)定），并且除了z=0和∞沒有其他極點（又稱全零點型系統(tǒng)）?？梢酝茢喑鯤(z)化簡后是有限項整式，差分方程無遞歸或有遞歸。因果FIR系統(tǒng)只有z=0的極點。注意：互相抵消的零點和極點不能算作系統(tǒng)的零點和極點。（4）FIR系統(tǒng)

1z=1處的零點和極點互相抵消，只有極點z=0,所以是因果FIR通過對H(z)添加相同的零點和極點，可以構造無窮多的差分方程舉例h[n]無限長，所以ROC不是整個平面，又因為ROC以極點為界，所以z平面上一定有除z=0和∞以外的極點。ROC可以是一個圓的內(nèi)部、外部或圓環(huán)，不一定包含單位圓，即系統(tǒng)不一定穩(wěn)定?？梢酝茢喑鯤(z)一定是有理分式（不可以化簡成有限項整式），差分方程一定有遞歸。如果除z=0外沒有其他零點，則稱全極點型系統(tǒng)：（5）IIR系統(tǒng)IIR與FIR的比較

FIR IIRh[n] 有限長 無限長y[n]由x[n]加權求和 有限項 無限項實現(xiàn) 卷積（無遞歸）

差分方程（有遞歸）

或差分方程（有遞歸）穩(wěn)定性

一定穩(wěn)定 不一定穩(wěn)定H(z) 除原點和無窮遠外無有不位于原點和無窮遠其他極點的極點

（ROC幾乎是整個平面）例題4.逆系統(tǒng)

如果兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)滿足要使

滿足,H(z)和Hi(z)的ROC必須有交集則稱二者互為逆系統(tǒng)

舉例舉例（1）不是所有系統(tǒng)均有逆系統(tǒng)，

例如:理想選頻濾波器;

y[n]=nx[n];y[n]=Re{x[n]}。具有有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)均有逆系統(tǒng)。（2）逆系統(tǒng)可能不唯一。（3）因果穩(wěn)定系統(tǒng)的逆系統(tǒng)不一定因果穩(wěn)定。原系統(tǒng)和逆系統(tǒng)均因果穩(wěn)定的條件是：零點和極點均在單位圓內(nèi)。說明零點和極點都在單位圓內(nèi)的因果穩(wěn)定系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)用表示；極點全在單位圓內(nèi)，而零點全在單位圓外的因果穩(wěn)定系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)用表示。相應的時域序列分別稱最小相位序列和最大相位序列

5.最小相位系統(tǒng)舉例4.2頻率響應

1.定義幅度響應或增益

相位響應或相移

對LTI系統(tǒng)任何穩(wěn)定系統(tǒng)都有一個有限且連續(xù)的頻率響應幅度響應或增益幅度平方函數(shù)對數(shù)幅度，以dB計的增益以dB計的幅度衰減幅頻特性對數(shù)幅度在工程上更常用。優(yōu)點：（1）動態(tài)范圍大；（2）系統(tǒng)級聯(lián)時增益做加法而不是乘法。相位響應，相移主值相位群延遲連續(xù)相位相頻特性2.頻率響應的物理意義對LTI系統(tǒng)在整個區(qū)間幅度響應為常數(shù)的系統(tǒng)是沒有幅度失真的系統(tǒng)，并被定義為全通系統(tǒng)。在整個區(qū)間相位響應全為零的系統(tǒng)是沒有相位失真的系統(tǒng)，稱零相位系統(tǒng)。而相位是的線性函數(shù)的系統(tǒng)稱為線性相位系統(tǒng)。幅度響應對信號的幅度譜進行整形；相位響應對信號的相位譜進行調(diào)整；群延遲讓信號作時域的移位（單位是采樣點）幅度響應是常數(shù)，群延遲是常數(shù)nd，任何頻率成分都延遲nd點，所以信號整體平移。理想延遲系統(tǒng)當相位是線性函數(shù)時群延遲是常數(shù)，所有頻率成分延遲相同采樣點。延遲失真(線性相位失真)被認為是很輕微的相位失真，可以接受。無幅度失真無相位失真舉例滑動平均系統(tǒng)

只有幅度失真，無相位失真舉例模擬系統(tǒng)：全通系統(tǒng)的群延遲單位脈沖響應（產(chǎn)生彌散）全通系統(tǒng)無幅度失真，只有相位失真舉例圖片出自《信號與系統(tǒng)》第2版，奧本海默(1)對于輸入輸出是是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)

是其對應的特征值(2)對于輸入輸出是延遲的采樣點數(shù)按復指數(shù)信號分解信號和h[n]的意義特征函數(shù)法求輸出例題穩(wěn)態(tài)響應 暫態(tài)響應

（3）對于因果輸入對于輸入是因果序列的情況，時間足夠長后，穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出為穩(wěn)態(tài)響應，暫態(tài)響應消失或可忽略不計可見暫態(tài)響應隨著時間推移越來越小，直至消失或小到可以忽略不計：所以時間足夠長后，對因果輸入信號的輸出為穩(wěn)態(tài)響應，暫態(tài)響應最終消失的充分條件是系統(tǒng)穩(wěn)定。從數(shù)學上理解暫態(tài)響應輸入因果正弦序列，分別經(jīng)過FIR和IIR，觀察穩(wěn)態(tài)響應和暫態(tài)響應FIR的輸出IIR的輸出輸入信號n=0:100; x=sin(0.1*pi*n); subplot(3,1,1); stem(n,x,'.');h=ones(1,10)/10; y=filter(h,1,x); subplot(3,1,2); stem(n,y,'.');A=[10.810.810.81]; B=[10101]; z=filter(B,A,x); subplot(3,1,3); stem(n,z,'.');舉例特征函數(shù)法、時域極限法求穩(wěn)態(tài)響應例題3.理想選頻濾波器的頻率響應幅度分段恒定,線性相位或零相位b理想選頻濾波器的單位脈沖響應h[n]雙邊無限長，非因果非穩(wěn)定，無法用卷積實現(xiàn)，H(z)不收斂，無法用遞歸的差分方程實現(xiàn)，所以理想選頻濾波器不是在計算上可實現(xiàn)的。求輸入信號x[n]經(jīng)增益為1，截止頻率為0.5π的理想低通濾波后的輸出信號y[n]。

例題4.3有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應

1.公式法舉例原點的零點/極點對相位的影響2.幾何法（根據(jù)零點和極點的位置確定頻響）零點矢量的模極點矢量的模B不影響幅度的基本特征原點處的零/極點不影響幅度離零點近的ω處的幅度響應為極小值，單位圓上的零點使幅度為0；離極點近的ω處的幅度響應為極大值。圓點處的零極點不影響幅度，但影響相位。演示如果a<0,則是高通演示舉例零極點圖幅度響應梳狀濾波器舉例B=1；A=[1,-0.5]figure(1);zplane(B,A)figure(2);freqz(B,A)figure(3);grpdelay(B,A,10)3.matlab法舉例4.全通系統(tǒng)幅度響應是常數(shù)無幅度失真無相位失真理想延遲系統(tǒng)(FIR)舉例無幅度失真有相位失真

舉例其中A是正常數(shù)（定義為正數(shù)是為了使相位為負，群延遲大于0），dk是實數(shù),ek是復數(shù)全通系統(tǒng)的零點和極點互為共軛倒數(shù);若實系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)，則零點對互為共軛，極點對互為共軛。具有實系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的IIR全通系統(tǒng)的一般形式

YYYN判斷以下系統(tǒng)是否是全通系統(tǒng)z=∞有零點a+bj1/(a-bj)a+bj1/(a+bj)rejθ(1/r)ejθ例題例題所以可采用級聯(lián)全通系統(tǒng)（即把極點反演）的方式，將不穩(wěn)定系統(tǒng)變成幅度響應相同的穩(wěn)定系統(tǒng)。因果不穩(wěn)定因果穩(wěn)定穩(wěn)定和全通分解：任何因果不穩(wěn)定系統(tǒng)可以分解成因果穩(wěn)定系統(tǒng)和全通系統(tǒng)的級聯(lián)全通系統(tǒng)舉例本質(zhì)就是將原系統(tǒng)單位園外的所有極點取共軛倒數(shù)變到單位圓內(nèi)變成最小相位系統(tǒng).不同系統(tǒng)中互為共軛倒數(shù)的零點（極點）對幅度響應的作用相同最小相位和全通分解：任何單位圓上無零點和極點的有理系統(tǒng)函數(shù)可以分解成最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)的級聯(lián)舉例本質(zhì)就是將原系統(tǒng)單位園外的所有零點和極點取共軛倒數(shù)變到單位圓內(nèi)變成最小相位系統(tǒng).群延遲大于0群延遲最小相位延遲最小若

是因果穩(wěn)定的非最小相位失真系統(tǒng)失真系統(tǒng)級聯(lián)補償系統(tǒng)后整個系統(tǒng)是全通系統(tǒng)，無幅度失真最小相位全通分解的應用

補償非最小相位系統(tǒng)的幅度失真3.補償相位失真（相位均衡，相位校正）2.補償幅度失真有相位失真補償相位失真無相位失真（線性相位系統(tǒng)）有幅度失真補償幅度失真（最小相位系統(tǒng)）無幅度失真全通系統(tǒng)的應用1.將不穩(wěn)定系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定穩(wěn)定4.1-4.3小結4.1系統(tǒng)函數(shù)零點極點ROC特點：（1）零點和極點個數(shù)相等.（2）若實系數(shù)H(z)或h[n]是實序列,則復數(shù)零點(或極點)兩兩共軛.（3）若因果,則ROC包括z=∞.（4）若穩(wěn)定,則ROC包括|z|=1.（5）若因果穩(wěn)定,則極點全在單位圓內(nèi).（6）FIR:沒有原點和無窮大以外的極點.（7）IIR:有原點和無窮大以外的極點.逆系統(tǒng)、最小相位系統(tǒng)的定義用途：（1）根據(jù)h[n]或差分方程求系統(tǒng)的輸出（人工求解）（2）h[n]或卷積式或H(z)

差分方程（計算機遞推求解系統(tǒng)輸出）（3）根據(jù)零點極點判斷系統(tǒng)的類型：因果、穩(wěn)定、FIR/IIR、全通、最小相位、廣義線性相位等（4）分析系統(tǒng)的頻率響應：公式法、幾何法1.定義：幅頻特性:

相頻特性:2.物理意義:(1)

(2)

特征函數(shù)法求輸出；穩(wěn)態(tài)響應、暫態(tài)響應。

(3)時域卷積法或頻域相乘法求輸出。3.理想選頻濾波器的周期性、零相位或線性相位，無法實現(xiàn)4.2頻率響應4.3有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應：公式法和幾何法用公式法和幾何法分析全通系統(tǒng)穩(wěn)定和全通分解、最小相位和全通分解，及其應用4.4廣義線性相位系統(tǒng)的變換域分析4.4.1定義4.4.2充分條件4.4.3因果廣義線性相位FIR系統(tǒng)4.4.1定義

線性相位系統(tǒng)

理想延遲系統(tǒng)舉例具有線性相位的理想低通濾波器舉例廣義線性相位系統(tǒng)線性相位和廣義線性相位系統(tǒng)統(tǒng)稱為常數(shù)群延遲系統(tǒng)

振幅廣義相位希爾博特變換器舉例因果滑動平均系統(tǒng)幅度（不是振幅）幅度過零點時相位突變π，所以是折線，但通帶內(nèi)是直線即嚴格的線性相位；而廣義連續(xù)相位是直線。相位（不是廣義相位）舉例（廣義）線性相位和非（廣義）線性相位低通濾波的比較舉例1.線性相位及廣義線性相位的定義2.線性相位及廣義線性相位選頻濾波器的優(yōu)點：對所有通帶內(nèi)頻率成分在時域延遲相同采樣點4.4.1小結4.4.2充分條件LTI系統(tǒng)是廣義線性相位的兩組充分條件等效表達充分條件非必要條件

設h[n]實數(shù)證明

廣義線性相位理想低通濾波器的單位脈沖響應舉例寫出以下系統(tǒng)的廣義相位和群延遲例題h[n]對稱或反對稱則廣義線性相位：廣義相位=-αω+β

其中α=對稱中心，β=0,若h[n]對稱

π/2,

若h[n]反對稱4.4.2小結4.4.3因果廣義線性相位FIR系統(tǒng)分類1.充分條件nM=4M/2對稱中心01nM=5M/2對稱中心01nM=1M/2對稱中心0-11nM=2M/2對稱中心0-11舉例I類II類III類IV類2.頻率響應

（有下劃線的對應III和IV類）廣義相位廣義幅度（振幅）下劃線上的內(nèi)容只有時域反對稱時才有下劃線上的內(nèi)容只有時域反對稱時才有證明振幅證明見習題4-33振幅廣義相位取主值ππ舉例關注紅色小圈：振幅取值為0的位置如果h[n]是對稱或反對稱的有限長實數(shù)序列,則H(z)具有如下形式:

3.系統(tǒng)函數(shù)的零點特點證明

II類,一定有零點z=-1.III,類,一定有零點

z=1和z=-1.IV,類,一定有零點

z=1.(1)I類(2)II類(3)III類(4)IV類H(1)=H(1)H(-1)=H(-1)H(1)=H(1)H(1)=-H(1)=0H(1)=-H(1)=0H(-1)=-H(-1)=0H(-1)=-H(-1)=0H(-1)=H(-1)證明I類：II類：III類：IV類：采用幾何法，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零點可以得到幅度響應的零值點。與前面采用FT法分析得到的結論相同III舉例幅度和相位IIIIV幅度和相位舉例四種類型廣義線性相位FIR濾波器的應用限制

M偶數(shù)

M奇數(shù)

低通高通帶通帶阻低通