數(shù)字信號(hào)處理（第3版）課件 第03章 傅里葉變換和離散傅里葉級(jí)數(shù)

第3章傅里葉變換和

離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）3.1傅里葉變換的定義3.2傅里葉變換與z變換的關(guān)系3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4DFS的定義3.5周期信號(hào)的傅里葉變換表示3.6DFS的性質(zhì)傅里葉變換的核心思想任何波都可以用不同頻率的正弦波（復(fù)指數(shù)信號(hào)）加權(quán)組合而成。傅里葉變換就是求不同頻率正弦波的權(quán)重（復(fù)數(shù)函數(shù)，含幅度和相位兩部分信息），得到幅度譜和相位譜。圖片來(lái)自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline周期信號(hào)由有限個(gè)離散頻率的正弦波加權(quán)組合而成，非周期信號(hào)由無(wú)窮多連續(xù)頻率的正弦波加權(quán)組合而成。二者分別做FS和FT得到頻譜，F(xiàn)S離散，F(xiàn)T連續(xù)。圖片出自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline負(fù)頻率和復(fù)數(shù)頻譜的物理意義負(fù)頻率3.1傅里葉變換的定義離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT:Discrete-TimeFourierTransform）,簡(jiǎn)稱(chēng)傅里葉變換。傅里葉變換是離散時(shí)間信號(hào)分析與處理的重要工具之一，它給出了在頻域分析離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的方法。很多序列都能用作為基函數(shù)進(jìn)行正交展開(kāi)，表示成如下的傅里葉積分形式

傅里葉反變換其中傅里葉正變換特殊變換對(duì)周期性把正變換的右邊代入反變換的右邊：證明正反變換互逆證明一般來(lái)說(shuō)，是的復(fù)值函數(shù)，可以表示成

.幅度譜和相位譜圖片來(lái)自《離散時(shí)間信號(hào)處理》（第3版），奧本海默連續(xù)相位主值相位舉例舉例矩形序列的傅里葉變換振幅(實(shí)函數(shù))幅度（大于等于0）舉例振幅取值小于0時(shí)相位+π旁瓣峰值/主瓣峰值

=常數(shù)主瓣寬與窗長(zhǎng)成反比M=8

絕對(duì)可和是收斂的充分條件如果,則收斂性對(duì)于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿(mǎn)足所以其FT收斂，即頻率響應(yīng)存在。舉例有些序列不是絕對(duì)可和但是平方可和，即

也能有傅里葉變換表示

舉例x[n]

還有一些序列,既非絕對(duì)可和也非平方可和，若在頻域引入沖激函數(shù),它們也可以有傅里葉變換表示舉例常用DTFT3.2傅里葉變換與z變換的關(guān)系傅里葉變換是單位圓上的z變換

z變換是對(duì)序列作的傅里葉變換傅里葉變換不收斂的序列，有可能通過(guò)恰當(dāng)選擇r使z變換收斂;z變換的收斂域包括單位圓時(shí)傅里葉變換就收斂;也有z變換不收斂，而傅里葉變換表示存在的情況，例如sinc序列.3.3傅里葉變換的性質(zhì)舉例已知利用線(xiàn)性性質(zhì)寫(xiě)出零相位理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)例題2.時(shí)域移位利用時(shí)移性質(zhì)寫(xiě)出線(xiàn)性相位理想低通濾器的單位脈沖響應(yīng)已知例題3.頻域移位舉例已知利用頻移性質(zhì)寫(xiě)出零相位高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)例題已知矩形序列

的傅里葉變換為

，用

表示以下序列(hanning漢寧窗)的傅里葉變換例題Hanning窗的傅里葉變換的振幅(M=20)4.頻域微分證明5.時(shí)間反轉(zhuǎn)證明6.時(shí)域卷積證明周期卷積7.時(shí)域加窗（調(diào)制/頻域卷積）證明：能量密度譜8.帕斯瓦爾定理（Paswal）證明例題9.對(duì)偶和對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)于實(shí)序列

共軛對(duì)稱(chēng)分量共軛反對(duì)稱(chēng)分量實(shí)序列的FT相對(duì)原點(diǎn)或π共軛對(duì)稱(chēng)實(shí)序列的FT的對(duì)稱(chēng)性舉例例題對(duì)偶、對(duì)稱(chēng)和時(shí)移性質(zhì)的綜合應(yīng)用n0

振幅（是實(shí)函數(shù),可以小于0）廣義線(xiàn)性相位舉例對(duì)偶、對(duì)稱(chēng)和時(shí)移性質(zhì)的綜合應(yīng)用n0

振幅（是實(shí)函數(shù),可以小于0）廣義線(xiàn)性相位舉例3.4DFS的定義

：周期為N

也是周期為N的序列:DFS反變換DFS正變換證明將正變換代入反變換的右邊證明正反變換互逆證明

四種變換對(duì)比時(shí)域連續(xù)非周期頻域非周期連續(xù)時(shí)域連續(xù)周期(T)頻域非周期離散有效頻率成分無(wú)窮多時(shí)域離散非周期頻域周期(2π)連續(xù)時(shí)域離散周期(N)頻域周期(N)離散有效頻率成分N個(gè)周期

N=10廣義線(xiàn)性相位廣義幅度(振幅)舉例時(shí)域周期化導(dǎo)致頻域離散化。時(shí)域離散化導(dǎo)致頻域周期化：若橫坐標(biāo)是ω(FT)則以2π為周期；若將橫軸的頻率ω歸一化成k(DFS)，則頻域以N為周期。周期為N的序列只有N個(gè)頻率分量,在[0,2π)內(nèi)等間隔分布振幅小于0的頻段相位+π3.5周期信號(hào)的傅里葉變換表示DFS是計(jì)算周期信號(hào)頻譜的手段將上式代入FT的反變換得到證明舉例舉例3.6DFS的性質(zhì)1.線(xiàn)性性質(zhì)

若兩個(gè)信號(hào)的周期不同，則N取兩個(gè)信號(hào)周期的公倍數(shù)參見(jiàn)習(xí)題3-25（c）2.時(shí)域移位證明3.頻域移位性質(zhì)

4.對(duì)偶性質(zhì)證明5.對(duì)稱(chēng)性質(zhì)實(shí)序列X[k]相對(duì)k=0和k=N/2共軛對(duì)稱(chēng)。實(shí)周期序列的DFS舉例

定義