初中數(shù)學因式分解的12種方法

因式分解常用12種方法及應用【因式分解的種方法】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：1.提公因法多項式化成兩個因式乘積的形式。例1.分解因式3-2x-x3-22-x2-2-1)2.應用公式法(2003淮安市中考題)用來把某些多項式分解因式。@初中生家長例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考題)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分組分解法要把多項式am+an+bm+bn式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式2+5n-mn-5m解：2+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n@初中生家長=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法對于2+px+q形式的多項式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例4.分解因式72196分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：72196=(7x+2)(x-3)5.配方法后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例5.分解因式26x-40解2+6-40=2+6x+(9)-(9)-40=(+3)2-(7)2@初中生家長=[(+3)+7][(+3)–7]=(+10)(-4)6.拆、添項法可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。例6.分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7.換元法行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例7.分解因式2x4–3-6x2x+2(也叫相反式，在這里以二次項系數(shù)為中心對稱項一起)@初中生家長解：2x–3-6x2x+2=2(4+1)-x2+1)-622{2[x2+()]-(x+)-6}令x+，2{2[2]-(x+)-6}=2[2(2-2)--6]=2(22-10)x+2)(2-5)2++2)(2+-5)=(22x+1)(22-5+2)=(+1)2(2xx-2)8.求根法令多項式f(x)=0，求出其根為x，x，x，……x，則多項式可因式分解為123nf(x)-x)(x-x)……(xx)(一般情況下是試根法，并且一般試-3，-2，-1，123n0，1，2，3這些數(shù)是不是方程的根)例8.分解因式24+73-22-13解：令f(x)=24+73-22-13通過綜合除法可知，f(x)根為，-3，-2，1，則2x+7x-2x-13+6=(2x-1)(+3)(+2)(x-1)@初中生家長9.圖象法(八種方法是類似的)令yf(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與x軸的交點x，x，12x，……x，則多項式可因式分解為3nf(x)=f(x)xx)(xxx)……(xx)123n例9.因式分解3+22-5-6解：令=x3+22-5-6作出其圖象，可知與x軸交點為-3，-1，2則3+2x-5-6=(xx+3)(x-2)10.主元法分解。例10.分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2)+bc(b-c)=(b-c)2-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)利用特殊值法將2或10(或其它數(shù))代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M2或102或10還原成x，即得因式分解式。例分解因式x+92+23x+15解：令=2，則x3+9x+23+15=8+36+46+15=105將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為+1，+3，x+5，在x=2時的值則3+92+23+15=(x+1)(+3)(+5)12.待定系數(shù)法@初中生家長而把多項式因式分解。例12.分解因式4–3-5x2-6x如果已知道這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。解：設(shè)4–3-5x2-6x-4=(2+ax+b)(x2cx+d)=4a+c)3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)+bd從而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4所以解得則4–3-5x2-6x=(x++1)(x2-2x-4)【專題綜述】因式分解初中代數(shù)中一種重要的恒等變形，也是中考數(shù)學試題中比較常見的題選擇方法，同時，由于種種原因，因式分解時常常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，下面舉例予以剖析，望有則改之，無則加勉?！痉椒ń庾x】一.曲解概念，局部分解1例1：分解因式：+)+(y.414錯解：原式=(yx.111正解：原式=(y+2+)+()2=(y+.222必須是積的形式這一本質(zhì)?！九e一反三】@初中生家長下列各式從左到右的變形是因式分解的是()B.xyxyx2yA.xC.x222x3x12222y2xyD.2x2y2xy【答案】D【解析】選項。x22x3x122不是因式分解選項B。xyxyx2y2不是因式分解y2xy不是因式分解2選項C。x2選項。2x2y2xy是因式分解故選。二.提公因式，不翼而飛例2：分解因式：4ab-6ab+2ab.錯解：原式=2ab(2a-3b).正解：原式=2ab(2a-3b+1).【解讀】當各項的公因式恰與某一項相同或互為相反數(shù)時，提取公因式后，該項的位置必須由1(或1翼而飛。@初中生家長【舉一反三】因式分解：ab﹣2aba=_____．【答案】ab﹣1)2【解析】ab﹣2aba=a(b-2b+1)=ab﹣1)，故本題的答案為ab﹣1)2地運用完全平方式。三.盲目變換，符號出錯例3：分解因式：3qp-1)-2(1-p.錯解：原式=3q(p-1)-2(p-1)=(p-1)［3q-2(p-1)］=(p-1)(3q-2p正解：原式=3q(1-p-2(1-p)=(1-p(3qp【解讀】錯因在于把(1-p)3化為p-1)3時出現(xiàn)了符號錯誤，誤認為(1-pp-1).n(1-p=(p-1)n為奇數(shù)時，(1-p=-(p-1)題中若選擇把p-1)2化為(1-p，可避免符號的干擾.【舉一反三】因式分解：xx232x2x3【答案】x【解析】試題分析：提公因式-2)進行因式分解；解：原式＝x2x3四.忘記初衷，背道而馳例4：分解因式：(2+)x-2).錯解：原式［(2y)+(x-2y］［(2x+y)-(x-2)］=(3y)(+3yx+8x-3.=(3x)(x+3).@初中生家長【解讀】錯解的最后一步與因式分解背道而馳，是整式乘法。這種走“回頭路”是“把多項式化為幾個整式積的形式”不夠明確?！九e一反三】分解因式：9(a+b﹣4(a﹣b)2【答案】(5a+ba+5b)【解析】利用平方差公式即可分解因式。解：9(a+b﹣4(a﹣b)，=[3(ab)+2(a﹣b)][3(a+b﹣2(a﹣b)]，=(5aba+5b)五.半途而廢，前功盡棄例5：分解因式：+4)-16x.錯解：原式=(+4)-(4x)+4+4x+4-4正解：原式+4+4+4-4x+2)2(-2).可以繼續(xù)分解，所以錯解由于半途而廢，而導致“前功盡棄”?！九e一反三】分解因式：4﹣16=_____．【答案】4(+2)(x﹣2)【解析】4﹣16，=4(﹣4)，=4(+2)(﹣2)故答案是：4(+2)(x﹣2).【強化訓練】@初中生家長1．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是(．A.xyxyx2y2；B.42=2×3×7；D.2xx1x2x11．C.x2x2x2x1；2【答案】C【解析】A.xyxyx2y2是乘法運算，故不正確；B.42=2×3×7是分解因數(shù)，故不正確；xx2x2x12C.是因式分解；D.2xx1x2x112的右邊不是積的形式，不是因式分解，故不正確。2ababaa結(jié)果再進行分解因式，則為(3)A.aa2a2B.aa4a4C.a4a4D.aa42【答案】B【解析】∵aba3∴aa-16a=aa-16)=aa+4)(a-4).故選B.3.因式分解：(1)2a(－)－3bx－；(2)－x．【答案】(1)(－)(2a＋3b)(2)x＋1)(－1)．(1)將原式第二項括號里面變形為y－－x提取出來即可；(2)先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可。試題解析：@初中生家長(1)原式＝2a(－)+3b(－)＝－x)(2a＋3b)；(2)原式＝x－1)＝x＋1)(x－1)．4.分解因式：x52x8x．3【答案】xx2x2x22x，為止。xx2x842xx4x222xx2x2x225.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為()x1x1yA.xabB.x21y221x1x1D.cxabcC.x2【答案】C【解析】A.是多項式乘法，不是因式分解，錯誤；B.不是化為幾個整式的積的形式，錯誤；C.是公式法，正確；D.不是化為幾個整式的積的形式，錯誤；故選：C.6．代數(shù)式2x218因式分解，結(jié)果正確的是()2A.2x29B.2x3C.2(+3)(x-3)D.2(xx-9)【答案】C【解析】∵2x22x292x3x3，@初中生家長∴C中的結(jié)果是正確結(jié)果。故選C.7．因式分解：①5－20xy；②x－1)(－3)－8【海南省定安縣2017-2018學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題】【答案】①5x2yx2y；②x5x1【解析】用提公因式法5x3y2035xyx4y225xyx2yx2y用十字相乘法xx38x4x52x5x8．因式分解：(1)2x-8(2)m3n10mn252(3)a2ab9ba【答案】(1)2(x+2)(-2)(2)mn-5);(3)(a+3)(a-3)(ab).【解析】試題分析：(1)原式提取2，再利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(3)原式變形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可。試題解析：(1)原式=2(-4)=2(+2)(x-2)；@初中生家長(2)原式=mn-10+25)=mn-5)；(3)原式=aa-b)-9(ab)=(ab)(a+3)(a-3)．9．分解因式：(1)10a－5a－5；(2)(＋3x－(－1).【答案】(1)－5(a－1)；(2)x＋4－1)(＋1).【解析】(1)提取公因式-5后，再用完全平方式進行分解即可10a5aa22aa252(2)原式運用平方差公式進行分解后，再用完全平方式進行分解即可x3xx222x3xxx3xx22x4xx2x22x24xx210(1)a(a-3)+2(3-a)@初中生家長2(2)abc2abc2(3)4xy(4)4abxy226ab2【答案】(1)(a-3)(a-2)(2)4abc)(3)2x2y5