浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共15小題，每小題4分，共60分，每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選，錯(cuò)選均不得分1.設(shè)集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的運(yùn)算律可得出集合?！驹斀狻坑深}意可得，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題。2.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率。【詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查直線斜率的計(jì)算，計(jì)算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點(diǎn)、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.3.函數(shù)的定義城是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零這一原則得出關(guān)于的不等式，解出可得出函數(shù)的定義域。【詳解】由題意可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C。【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解，求解時(shí)應(yīng)把握“真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不為”，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題。4.中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算出的值，于此可得出的值?！驹斀狻?，，由余弦定理得，，因此，，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求角，解題時(shí)應(yīng)當(dāng)依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)確定對象角，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題。5.一個(gè)空間幾何體的三規(guī)圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三視圖得知該幾何體是四棱錐，計(jì)算出四棱錐的底面積和高，再利用錐體體積公式可得出答案?！驹斀狻坑扇晥D可知，該幾何體是四棱錐，底面是矩形，其面積為，高為，因此，該幾何體的體積為，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查三視圖以及簡潔幾何體體積的計(jì)算，要依據(jù)三視圖確定幾何體的形態(tài)，再依據(jù)體積公式進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。6.若平面四邊形ABCD滿意，則該四邊形肯定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)?所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.考點(diǎn)：向量在證明菱形當(dāng)中的應(yīng)用.點(diǎn)評：在利用向量進(jìn)行證明時(shí)，要留意向量平行與直線平行的區(qū)分，向量平行兩條直線可能共線也可能平行.7.已知，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，于此可得出的值?！驹斀狻坑捎?、、、成等差數(shù)列，則，又、、成等比數(shù)列，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，或，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡化計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。8.設(shè)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用特別值來得出“”與“”的充分必要性關(guān)系?！驹斀狻咳?，則，但不成立；若，，成立，但不成立。因此，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的推斷，常用集合的包含關(guān)系來進(jìn)行推斷，也可以利用特別值以及邏輯推證法來進(jìn)行推斷，考查邏輯推理實(shí)力，屬于中等題。9.函數(shù)的圖像大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性來辨別函數(shù)的圖象，以及函數(shù)值符號來辨別函數(shù)的圖象?！驹斀狻?，.解不等式，即，得；解不等式，即，得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。令，即，得或；令，即，得.所以，符合條件的函數(shù)為B選項(xiàng)中的圖象，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式辨別函數(shù)的圖象，一般從以下幾個(gè)要素來進(jìn)行分析：①定義域；②奇偶性；③單調(diào)性；④零點(diǎn)；⑤函數(shù)值符號。在考查函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可充分利用導(dǎo)數(shù)來處理，考查分析問題的實(shí)力，屬于中等題。10.設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間線面關(guān)系、面面關(guān)系及其平行、垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行推斷。【詳解】對于A選項(xiàng)，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關(guān)系不確定；對于B選項(xiàng)，若，且，，，依據(jù)直線與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對于C選項(xiàng)，若，，在平面內(nèi)可找到兩條相交直線、使得，，于是可得出，，依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得；對于D選項(xiàng)，若，在平面內(nèi)可找到一條直線與兩平面交線垂直，依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理得知，只有當(dāng)時(shí)，才與平面垂直。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查空間線面關(guān)系以及面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷，推斷時(shí)要依據(jù)空間線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理來進(jìn)行，考查邏輯推理實(shí)力，屬于中等題。11.設(shè)實(shí)數(shù)，滿意不等式組則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線在軸上截距的改變，找到該直線在軸上的截距取得最小值時(shí)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出答案?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)該直線在軸上的截距最小，取得最小值，即，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查簡潔的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線的思想，利用其在坐標(biāo)軸上截距最值的思想找出最優(yōu)來處理，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題。12.若是第四象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導(dǎo)公式求出的值?！驹斀狻渴堑谒南笙藿牵瑒t，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，要確定對象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號，結(jié)合相關(guān)公式求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。13.已知橢圓，設(shè)直線交橢圓所得的弦長為.則下列直線中，交橢圓所得的弦長不行能等于的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在直線中取值，對應(yīng)地找到選項(xiàng)A、B、C中的值，使得直線與給出的直線關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)具有對稱性得出答案?！驹斀狻慨?dāng)直線過點(diǎn)，取，直線和選項(xiàng)A中的直線重合，故解除A；當(dāng)直線過點(diǎn)，取，直線和選項(xiàng)B中的直線關(guān)于軸對稱，被橢圓截得的弦長相同，故解除B；當(dāng)時(shí)，取，直線和選項(xiàng)C中的直線關(guān)于軸對稱，被橢圓截得的弦長相同，故解除C；直線的斜率為，且過點(diǎn)，選項(xiàng)D中的直線的斜率為，且過點(diǎn)，這兩條直線不關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱，故被橢圓所截得的弦長不行能相等。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通過給變量取特別值，舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡潔有效的方法，屬于中等題。14.設(shè).若函數(shù)，的定義域是.則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，都是增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)B.若，都是減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)C.若，都是奇函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)D.若，都是偶函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意得出，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合即可得出答案。【詳解】依據(jù)題意可知，，則，據(jù)此依次分析選項(xiàng)：對于A選項(xiàng)，若函數(shù)、都是增函數(shù)，可得圖象均為上升，則函數(shù)為增函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若函數(shù)、都是減函數(shù)，可得它們的圖象都是下降的，則函數(shù)為減函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若函數(shù)、都是奇函數(shù)，則函數(shù)不肯定是奇函數(shù)，如，，可得函數(shù)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若函數(shù)、都是偶函數(shù)，可得它們的圖象都關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確。故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，解題時(shí)要理解題中函數(shù)的定義，考查推斷這些基本性質(zhì)時(shí)，可以從定義動(dòng)身來理解，也可以借助圖象來理解，考查分析問題的實(shí)力，屬于難題。15.長方體中，是對角線上一點(diǎn)，是底面上一點(diǎn)，若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，則到平面的距離即為的最小值，利用勾股定理解出即可?！驹斀狻繉⒗@邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，則為的最小值。，，，，，，，，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查空間距離的計(jì)算，將兩折線段長度和的計(jì)算轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路，考查空間想象實(shí)力，屬于中等題。二、填空題（本大題共4小題，每空4分，共16分）16.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________.【答案】【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后利用漸近線與圓相切，轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離等于半徑，因此可得出的值。【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，由于雙曲線的漸近線與圓相切，則，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，考查直線與圓的位置關(guān)系，在求解直線與圓相切的問題時(shí)，常有以下兩種方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：（1）幾何法：圓心到直線距離等于半徑；（2）代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判別式為零進(jìn)行求解?？疾榛瘹w與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。17.已知，是單位向量.若，則向量，夾角的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)向量、的夾角為，在不等式兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求出的取值范圍，于此可求出的取值范圍。【詳解】設(shè)向量、夾角為，，兩邊平方得，、都是單位向量，則有，得，，，因此，向量、的夾角的取值范圍是，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，考查平面對量夾角的取值范圍，在涉及平面對量模有關(guān)的計(jì)算時(shí)，常將等式或不等式進(jìn)行平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題。18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，先令，得出求出的值，再令，得出，結(jié)合的值和的通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式?！驹斀狻吭O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，.也適合上式，.由于數(shù)列是等差數(shù)列，則是關(guān)于的一次函數(shù)，且數(shù)列是等比數(shù)列，，可設(shè)，則，，因此，。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查利用前項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，一般利用作差法求解，即，在計(jì)算時(shí)要對是否滿意通項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。19.如圖，已知正三棱錐，，，點(diǎn)，分別在核，上（不包含端點(diǎn)），則直線，所成的角的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】考查臨界位置，先考查位于棱的端點(diǎn)時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線所成的最小的角，即直線與平面所成的角，以及與所成角的最大值，即，于此得出直線、所成角的取值范圍?！驹斀狻咳缦聢D所示：過點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，則點(diǎn)為等邊的中心，由正弦定理得，平面，易得，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線所成角的最小值，即為直線與平面所成的角，設(shè)這個(gè)角為，則，明顯，當(dāng)點(diǎn)位于棱的端點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，則；當(dāng)點(diǎn)位于棱的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)位于線段上，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平面，平面，則，又，，平面，平面，，此時(shí)，直線與所成的角取得最大值。由于點(diǎn)不與棱的端點(diǎn)重合，所以，直線與所成角的取值范圍是。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍，解這類問題可以利用臨界位置法進(jìn)行處理，同時(shí)留意異面直線所成角與直線與平面所成角定義的區(qū)分，并熟識異面直線所成角的求解步驟，考查空間想象實(shí)力，屬于難題。三、解答題：本大題共5小題，共74分20.設(shè)函數(shù).（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的值域.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）將函數(shù)的解析式利用二倍角降冪公式、協(xié)助角公式化簡，再利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得出的范圍，于此可得出函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查三角函數(shù)的周期和值域問題，首先應(yīng)當(dāng)將三角函數(shù)解析式化簡，并將角視為一個(gè)整體，結(jié)合三角函數(shù)圖象得出相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。21.如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點(diǎn).（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）連接，交于，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，記直線平面所成角為，于是得出可得出直線與平面所成角的正弦值?！驹斀狻浚á瘢┳C明：連接，交于，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，不在面內(nèi)，所以面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系（不妨設(shè)）.所以，，，，設(shè)面的法向量為，則，解得.因?yàn)?，記直線平面所成角為.所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的計(jì)算，常見的有定義法和空間向量法，可依據(jù)題中的條件來選擇，考查邏輯推理實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題。22.設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，.若，，成等比數(shù)列.（I）求及；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（I），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題中條件列方程組求出和的值，于此可得出和的表達(dá)式；（Ⅱ）將的通項(xiàng)表示為，再利用裂項(xiàng)法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（Ⅰ）由題意，得，即，，解得，所以，；（Ⅱ）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)求和法，在求解等差數(shù)列的問題時(shí)，一般都是通過建立首項(xiàng)與公差的方程組，求解這兩個(gè)基本量來解決等差數(shù)列的相關(guān)問題，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題。23.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（I）當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值，井求此時(shí)直線的方程.【答案】（I）2；（Ⅱ），或.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)，，由拋物線的定義得出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用弦長公式并結(jié)合條件，得出，再利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值，求出此時(shí)和的值，可得出直線的方程?！驹斀狻浚á瘢┰O(shè)，，所以，所以；（Ⅱ）設(shè)直線，由，得，所以，.所以.所以，所以，所以，此時(shí)，，所以或