高中數(shù)學乘法原理與加法原理教學教案

第一章分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

教學目標：

知識與技能：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；

過程與方法：培養(yǎng)學生的歸納概括能力；

情感、態(tài)度與價值觀：引導學生形成“自主學習〃與“合作學習〃等良好的學習方式

教學重點：分類計數(shù)原理（加法原理）與分步計數(shù)原理（乘法原理）

教學難點：分類計數(shù)原理（加法原理）與分步計數(shù)原理（乘法原理）的準確理解

授課類型：新授課

教具：多媒體、實物投影儀

引入課題

先看下面的問題：

①從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？

②把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？

要解決這些問題，就要運用有關(guān)排列、組合知識.排列組合是一種重要的數(shù)學計數(shù)方法.

總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.

在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.這節(jié)課,

我們從具體例子出發(fā)來學習這兩個原理.

1分類加法計數(shù)原理

（1）提出問題

問題1.1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里?的座位編號，總共能夠編

出多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車

有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？

⑵發(fā)現(xiàn)新知

分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類.方案中有加種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N—m+n

種不同的方法.

⑶知識應(yīng)用

例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣

的強項專業(yè)，具體情況如下：

A大學B大學

化學會計學

醫(yī)學,信息技術(shù)學

物理學法學

工程學

如果這名同學只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?

分析：由于這名同學在A,B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又

由于兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學可以

選擇A,B兩所大學中的一所.在A大學中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學中有4種

專業(yè)選擇方法.又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理,

這名同學可能的專業(yè)選擇共有

5+4=9(種).

變式：假設(shè)還有C大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名

同學可能的專業(yè)選擇共有多少種？

探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有外種不同的方法，在第2

類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有加3種不同的方法，那么完成這件事共有多

少種不同的方法？

如果完成一件事情有〃類不同方案，在每一類中都有假設(shè)干種不同方法，那么應(yīng)當如何

計數(shù)呢？

一般歸納

完成一件事情，有n類方法，在第1類方法中有〃％種不同的方法，在第2類方法中有機2

種不同的方法……在第n類方法中有種不同的方法.那么完成這件事共有

N-mx+m2H----Fmn

種不同的方法.

理解分類加法計數(shù)原理：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類〃問題，完成一件事要分為假設(shè)干類，各類的方法相

互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件

事.

例2.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少

條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,

所以

第一類，ml=1X2=2條

第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1義2=2條

所以，根據(jù)加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條

練習

1.填空：

(1)一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人

只會用第2種方法完成，從中選出I人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是—；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的

路線有一條.

2分步乘法計數(shù)原理

(1)提出問題

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數(shù)字，以4，人2,…，B[,B2,…

的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

字母數(shù)字得到的號碼

A?

A、

Z

A、

A

A7

A

4

我們還可以這樣來思考：畝宇鼐6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中.的任

何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54個不同的號碼.

探究：你能說說這個問題的特征嗎？

⑵發(fā)現(xiàn)新知

分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的

方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N—mxn

種不同的方法.

⑶知識應(yīng)用

例1.設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比

賽，共有多少種不同的選法？

分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有

30X24=720

種不同的選法.

探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有外種不同的方法，做第2步有7%種

不同的方法，做第3步有機3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事情需要〃個步驟，做每一步中都有假設(shè)干種不同方法，那么應(yīng)當如何

計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有町種不同的方法，做第2步有機2種不

同的方法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有

N—mn

種不同的方法.

理解分步乘法計數(shù)原理：

分步計數(shù)原理針對的是“分步〃問題，完成一件事要分為假設(shè)干步，各個步驟相互依存,

完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.

3.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類〃問題，完成一件事要分為假設(shè)干類，各類的

方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完

成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步〃問題，完成一件事要分為假

設(shè)干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完

成后，才算完成這件事，是合作完成.

例2.如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別，涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一

種顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

解：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，

第一步，ml=3種，

第二步，m2=2種，

第三步，m3=1種，

第四步，m4=1種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2X1X1=6

變式

L如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同

一種顏色使用屢次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

2假設(shè)顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結(jié)果呢？

練習

2.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.（1）

從中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C村，不同（2）從3個

年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

3綜合應(yīng)用

例1.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層

放2本不同的體育書.

①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？

【分析】

①要完成的事是“取一本書"，由于不管取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因

此是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.

②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書"，由于取一層中的一本書都只

完成.了這件事的一局部，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，

應(yīng)用分步計數(shù)原理.

③要完成的事是“取2本不同學科的書〃，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算

機和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這

件事的一局部，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些

選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.

解：⑴從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書,

有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層

取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N=叫+祇，+/=4+3+2=9;

（2）從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層

取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步

從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N=叫xHi]xzn,=4X3X2=24.

⑶7V=4x3+4x2+3x2=26。

例2.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,

問共有多少種不同的掛法？

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步,

從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛

在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=3X2=6.

6種掛法可以表示如下:

左邊右邊得到的掛法

―一乙左甲右乙

甲V：

丙左甲右丙

--甲左乙右甲

乙V

丙左乙右丙

一甲左丙右甲

丙V

一一-乙左丙右乙

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，答復(fù)的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問

題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類〃問題，其中各種方法相互獨立，用其中

任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的

方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事.

例3.隨著人們生活水平的提高，某城家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通

管理部門出臺了一種汽車牌照組成方法,每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和

3個不重復(fù)的阿拉伯數(shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出

現(xiàn).那么這種方法共能給多少輛汽車上牌照？

分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右.確定一個

牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟.

解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右.字母組合

在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：

第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法

第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；

第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；

第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法；

第5步，從剩下的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法；

第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有

26X25X24X10X9X8=11232000〔個）,

同理，字母組合在右的牌照也有11232000個.

所以，共能給

11232000+11232000=22464000〔個）輛汽車上牌照.

用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析一需要

分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏〃.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分

類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整〃一完成了所有步驟，恰好完成

任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)

原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).

練習

1.乘積（6+g+。3）（4+b2+&）（。1+。2+C3+C4+C5）展開后共有多少項？

2.某局管轄范圍內(nèi)的號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四

位數(shù)字都是。到9之間的一個數(shù)字，那么這個局不同的號碼最多有多少個？3.從5

名同學中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法？

4.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出

去，共有多少種不同的進出商場的方式？

例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A-G或U?Z,后

兩個要求用數(shù)字1?9.問最多可以給多少個程序命名？

分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中

間字符；第3步，選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類.

解：先計算首字符的選法.由分類加法計數(shù)原理，首字符共有

7+6=13

種選法.

再計算可能的不同程序名稱.由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有

13X9X9==1053

個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名.

例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分一個RNA分子是一個有著

數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù).

總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示.在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任

意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān).假設(shè)有一類RNA分

子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？

分析：用圖1.1—2來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每

個位置都可以從A,C,G,U中任選一個來占據(jù).

第1位第2位第3位第100位

4種4種4種4種

解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1—2所示.從左到右依次在每

一個位置中，從A,C,G,U中任選一個填人，每個位置有4種填充方法.根據(jù)分步乘

法計數(shù)原理，長度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有

4-4…-4=4100〔個）

'ioo'

例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易

控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進

制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來

表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.問：

(1)一個字節(jié)〔8位)最多可以表示多少個不同的字符？

(2)計算機漢字國標碼〔GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這

些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的

順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解此題.

解：(1)用圖1.1—3來表示一個字節(jié).

圖1.1一3

一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以

表示2X2X2X2X2><2X2><2=28=256個不同的字符；

(2)由11)知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們就考慮用2

個字節(jié)能夠表示多少個字符.前一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256

種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256X256=65536

個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763.所以要表示這些漢字，每個

漢字至少要用2個字節(jié)表示.

例4.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有

多少條執(zhí)行路徑〔即程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般

地，一個程序模塊由許多子模塊組成.如圖1/一4,它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模

塊.問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試

方法，以減少測試次數(shù)嗎？

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第

2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成;第2

步可由子模塊4或子模塊5來完成.因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到

兩個計數(shù)原理.

解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的.子路徑共有

18+45+28=91（條）；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有

38+43=81（條）.

又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有

91X81=7371（條）.

在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正

確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個

子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和

第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為

3X2=6.

如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模

塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=1781次）.

顯然，178與7371的差距是非常大的.

你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？

穩(wěn)固練習：

1.如圖，從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路

可通，從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

（1）假設(shè)從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2