高考數(shù)學二輪復習講義(新高考版)專題2培優(yōu)點11向量極化恒等式(學生版+解析)

培優(yōu)點11向量極化恒等式【要點總結】極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).如圖，在△ABC中，設M為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.【典例】(1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．【方法總結】利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題．【拓展訓練】1．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值是________．培優(yōu)點11向量極化恒等式【要點總結】極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).如圖，在△ABC中，設M為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.【典例】(1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．【答案】eq\f(7,8)【解析】設BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．【答案】[0,2]【解析】由正方體的棱長為2，得內切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq\r(3).當弦MN的長度最大時，MN為球的直徑．設內切球的球心為O，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P為正方體表面上的動點，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．【方法總結】利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題．【拓展訓練】1．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC【答案】D【解析】如圖所示，取AB的中點E，因為P0B＝eq\f(1,4)AB，所以P0為EB的中點，取BC的中點D，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2.又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點，所以AC＝BC.2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值是________．【答案】2【解析】如圖，取BC的中點M，AD的中點N，連接MN，ON，則eq\o(OC,\s