高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題2第1講平面向量(學(xué)生版+解析)

專題二第1講平面向量【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)如圖所示，AD是△ABC的中線，O是AD的中點(diǎn)，若eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)(2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則eq\f(m,n)＝________.(3)A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是________．【拓展訓(xùn)練】1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.(2)如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則x＋3y的取值范圍是________．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1．若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉等于()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C.eq\f(17,35)D.eq\f(19,35)(2)已知扇形OAB的半徑為2，圓心角為eq\f(2π,3)，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值為()A．3B．4C．－3D．－4(3)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若點(diǎn)M在線段AC上，則|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范圍為________________．【拓展訓(xùn)練】2(1)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)(2)(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)(3)設(shè)A，B，C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，則(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))的最大值是()A．1＋eq\r(2)B．1－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D．1專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，則eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))A．63B．69C．75D．813．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，則λ等于()A．－2B．－1C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)4．(2020·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(eq\r(3)，1)，將向量eq\o(OP,\s\up6(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up6(→))，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，1)B．(－1，eq\r(2))C．(－eq\r(3)，1)D．(－1，eq\r(3))5．(2020·泰安模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n等于()A．0B．1C．2D．36．在同一平面中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→)).若eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m＋n等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,6)D．17．若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PC,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．已知P是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值為()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．5eq\r(3)9．如圖，圓O是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(2)二、多項(xiàng)選擇題10．(2020·長(zhǎng)沙模擬)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2B．a(chǎn)與b垂直C．a(chǎn)與a－b的夾角為eq\f(π,4)D．|a－b|＝111．設(shè)向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯(cuò)誤的是()A．若k<－2，則a與b的夾角為鈍角B．|a|的最小值為2C．與b共線的單位向量只有一個(gè)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))D．若|a|＝2|b|，則k＝2eq\r(2)或－2eq\r(2)12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1B.eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)D.eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(7,6)三、填空題13．(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________.14．在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1，若O是△ABC的重心，則eq\o(BO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.15．(2020·石家莊模擬)在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心，A＝eq\f(π,3)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λμ的最大值為________．16．(2020·浙江)已知平面單位向量e1，e2滿足|2e1－e2|≤eq\r(2)，設(shè)a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夾角為θ，則cos2θ的最小值是________．專題二第1講平面向量【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)如圖所示，AD是△ABC的中線，O是AD的中點(diǎn)，若eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)【答案】A【解析】由題意知，eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ＋μ＝－eq\f(1,2).(2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則eq\f(m,n)＝________.【答案】－2【解析】∵a∥b，∴m×(－1)＝2×n，∴eq\f(m,n)＝－2.(3)A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是________．【答案】(1，＋∞)【解析】由題意可得，eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0<k<1)，又A，D，B三點(diǎn)共線，所以kλ＋kμ＝1，則λ＋μ＝eq\f(1,k)>1，即λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)．易錯(cuò)提醒在平面向量的化簡(jiǎn)或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當(dāng)?shù)剡x取基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化．【拓展訓(xùn)練】1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】由題意可設(shè)eq\o(CG,\s\up6(→))＝xeq\o(CE,\s\up6(→))(0<x<1)，則eq\o(CG,\s\up6(→))＝x(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(x,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋xeq\o(CB,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，所以λ＝eq\f(x,2)，μ＝x，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,2).(2)如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則x＋3y的取值范圍是________．【答案】[1,3]【解析】設(shè)扇形的半徑為1，以O(shè)B所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B(1,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠BOC＝θ，0≤θ≤\f(π,3))).則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋y(1,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y＝cosθ，,\f(\r(3),2)x＝sinθ，))解得x＝eq\f(2\r(3)sinθ,3)，y＝cosθ－eq\f(\r(3)sinθ,3)，故x＋3y＝eq\f(2\r(3)sinθ,3)＋3cosθ－eq\r(3)sinθ＝3cosθ－eq\f(\r(3),3)sinθ，0≤θ≤eq\f(π,3).令g(θ)＝3cosθ－eq\f(\r(3),3)sinθ，易知g(θ)＝3cosθ－eq\f(\r(3),3)sinθ在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減，故當(dāng)θ＝0時(shí)，g(θ)取得最大值為3，當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，g(θ)取得最小值為1，故x＋3y的取值范圍為[1,3]．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1．若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉等于()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C.eq\f(17,35)D.eq\f(19,35)【答案】D【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(a2＋a·b,|a||a＋b|)＝eq\f(25－6,5×7)＝eq\f(19,35).(2)已知扇形OAB的半徑為2，圓心角為eq\f(2π,3)，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值為()A．3B．4C．－3D．－4【答案】C【解析】如圖，連接CO，∵點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，又∵OA＝OB＝2，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq\f(1,2)×4＝－3.(3)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若點(diǎn)M在線段AC上，則|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范圍為________________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2)))【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，則M(λ，2λ)，故eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－λ，2－2λ)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2－λ，－2λ)，則eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝(2－2λ，2－4λ)，∴|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\r(2－2λ2＋2－4λ2)＝eq\r(20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(3,5)))2＋\f(4,5))，0≤λ≤1，當(dāng)λ＝0時(shí)，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|取得最大值為2eq\r(2)，當(dāng)λ＝eq\f(3,5)時(shí)，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|取得最小值為eq\f(2\r(5),5)，∴|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).易錯(cuò)提醒兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量的夾角可能是0或π的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線．【拓展訓(xùn)練】2(1)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)【答案】B【解析】方法一設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以2|b|2cosθ－|b|2＝0，即cosθ＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3)，故選B.方法二如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b.因?yàn)?a－b)⊥b，所以∠OBA＝eq\f(π,2)，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，即a與b的夾角為eq\f(π,3)，故選B.(2)(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)【答案】A【解析】如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq\r(3))，F(xiàn)(－1，eq\r(3))．設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1<x<3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．(3)設(shè)A，B，C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，則(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))的最大值是()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D．1【答案】A【解析】如圖，作出eq\o(OD,\s\up6(→))，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).則(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OC,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝1－eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在OD的反向延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))取得最小值，最小值為－eq\r(2)，此時(shí)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))取得最大值，最大值為1＋eq\r(2).故選A.專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，則eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】A【解析】由題意可知，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).A．63B．69C．75D．81【答案】B【解析】設(shè)該學(xué)生的體重為m，重力為G，兩臂的合力為F′，則|G|＝|F′|，由余弦定理得|F′|2＝4002＋4002－2×400×400×coseq\f(2π,3)＝3×4002，∴|F′|＝400eq\r(3)，∴|G|＝mg＝400eq\r(3)，m＝40eq\r(3)≈69kg.3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，則λ等于()A．－2B．－1C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【答案】A【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4,2)，又c＝(λ，－1)，c∥(2a＋b)，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故選A.4．(2020·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(eq\r(3)，1)，將向量eq\o(OP,\s\up6(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up6(→))，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，1)B．(－1，eq\r(2))C．(－eq\r(3)，1)D．(－1，eq\r(3))【答案】D【解析】由P(eq\r(3)，1)，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,6)，2sin\f(π,6)))，∵將向量eq\o(OP,\s\up6(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up6(→))，∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))))，又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，∴Q(－1，eq\r(3))．5．(2020·泰安模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n等于()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】如圖，連接AO，由O為BC的中點(diǎn)可得，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.∴m＋n＝2.6．在同一平面中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→)).若eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m＋n等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,6)D．1【答案】A【解析】由題意得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(1,3)，故m＋n＝eq\f(2,3).7．若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PC,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|，兩邊平方整理得，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，∴△ABC為直角三角形．故選C.8．已知P是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值為()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．5eq\r(3)【答案】D【解析】設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，則圓的半徑為eq\f(3,\f(\r(3),2))×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))2＝51＋8eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))≤51＋24＝75，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))≤5eq\r(3)，當(dāng)eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))同向共線時(shí)取最大值．9．如圖，圓O是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(2)【答案】C【解析】方法一如圖，連接DA，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則圓心為坐標(biāo)(0，r)，根據(jù)三角形面積公式，得eq\f(1,2)×l△ABC×r＝eq\f(1,2)×AB×AC×sin60°(l△ABC為△ABC的周長(zhǎng))，解得r＝1.易得B(－eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，A(0,3)，D(0,0)，設(shè)M(cosθ，1＋sinθ)，θ∈[0,2π)，則eq\o(BM,\s\up6(→))＝(cosθ＋eq\r(3)，1＋sinθ)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0)，故eq\o(BM,\s\up6(→))＝(cosθ＋eq\r(3)，1＋sinθ)＝(eq\r(3)x＋eq\r(3)y,3x)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\r(3)x＋\r(3)y－\r(3)，,sinθ＝3x－1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋sinθ,3)，,y＝\f(\r(3)cosθ,3)－\f(sinθ,3)＋\f(2,3)，))所以2x＋y＝eq\f(\r(3)cosθ,3)＋eq\f(sinθ,3)＋eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋eq\f(4,3)≤2.當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)等號(hào)成立．故2x＋y的最大值為2.方法二因?yàn)閑q\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＝3(4x2＋2xy＋y2)＝3[(2x＋y)2－2xy]．由題意知，x≥0，y≥0，|eq\o(BM,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，又eq\f(2x＋y2,4)≥2xy，即eq\f(－2x＋y2,4)≤－2xy，所以3×eq\f(3,4)(2x＋y)2≤9，得2x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)．二、多項(xiàng)選擇題10．(2020·長(zhǎng)沙模擬)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2B．a(chǎn)與b垂直C．a(chǎn)與a－b的夾角為eq\f(π,4)D．|a－b|＝1【答案】BC【解析】|a＋b|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a與b垂直，故B正確；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝eq\r(2)，故D錯(cuò)誤；cos〈a，a－b〉＝eq\f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以a與a－b的夾角為eq\f(π,4)，故C正確．11．設(shè)向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯(cuò)誤的是()A．若k<－2，則a與b的夾角為鈍角B．|a|的最小值為2C．與b共線的單位向量只有一個(gè)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))D．若|a|＝2|b|，則k＝2eq\r(2)或－2eq\r(2)【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0且a與b不共線，則k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，|a|＝eq\r(k2＋4)≥eq\r(4)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，|b|＝eq\r(2)，與b共線的單位向量為±eq\f(b,|b|)，即與b共線的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，∵|a|＝2|b|＝2eq\r(2)，∴eq\r(k2＋4)＝2eq\r(2)，解得k＝±2，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1B.eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)D.eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(7,6)【答案】BCD【解析】因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，△ABC是等邊三角形，所以CE⊥AB，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，設(shè)O(0，y)，y∈(0，eq\r(3))，則eq\o(BO,\s\up6(→))＝(1，y)，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，y－\f(2\r(3),3)))，又eq\o(BO,\s\up6(→))∥eq\o(DO,\s\up6(→))，所以y－eq\f(2\r(3),3)＝－eq\f(1,3)y，解得y＝eq\f(\r(3),2)，即O是CE的中點(diǎn)，eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以選項(xiàng)B正確；|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以選項(xiàng)C正確；eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(\o(ED,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,3)＋2,2)＝eq\f(7,6)，所以選項(xiàng)D正確．三、填空題13．(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________.【答案】eq\f(\r(2),2)【解析】由題意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因?yàn)閍，b為單位向量，且夾角為45°，所以k×12－1×1×eq\f(\r(2),2)＝0，解得k＝eq\f(\r(2),2).14．在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1，若O是△ABC的重心，則eq\o(BO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.【答案】5【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．∵AB＝1，∠ABC＝60°，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).設(shè)C(a,0)．∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))