與圓有關(guān)的最值問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

與圓有關(guān)的最值問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)，第四章“圓、方程與方程組”的4.3節(jié)“與圓有關(guān)的最值問(wèn)題”。教學(xué)內(nèi)容主要包括：

1.探索圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題；

2.探究圓與直線(xiàn)、圓與圓之間的最值問(wèn)題，如圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值、兩圓相切時(shí)圓心距的最小值等；

3.利用代數(shù)方法解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，如運(yùn)用函數(shù)思想、不等式等方法。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升直觀(guān)想象和邏輯推理素養(yǎng)。通過(guò)探究與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，使學(xué)生能夠：

1.理解數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀(guān)和空間想象能力，發(fā)現(xiàn)圓的性質(zhì)及其與最值之間的關(guān)系；

3.培養(yǎng)邏輯推理能力，使學(xué)生能夠運(yùn)用代數(shù)方法合理解決問(wèn)題，形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程以及圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些基本的幾何問(wèn)題。

2.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一定的學(xué)習(xí)興趣，具備一定的空間想象能力和邏輯推理能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生喜歡采用直觀(guān)和探索的方式，但部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)可能會(huì)顯得信心不足。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的能力不足，對(duì)于與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略和方法掌握不夠熟練；在運(yùn)用代數(shù)方法解決問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或邏輯混亂等問(wèn)題。此外，部分學(xué)生可能在團(tuán)隊(duì)協(xié)作中缺乏主動(dòng)性和溝通能力。教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、圓規(guī)、直尺、計(jì)算器。

2.軟件資源：PPT課件、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)。

3.信息化資源：電子教材、教學(xué)視頻、數(shù)學(xué)題庫(kù)、在線(xiàn)測(cè)評(píng)系統(tǒng)。

4.教學(xué)手段：講授、小組討論、案例分析、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、課后作業(yè)、線(xiàn)上互動(dòng)。教學(xué)過(guò)程課前準(zhǔn)備：

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)，今天我們將探討與圓有關(guān)的最值問(wèn)題。請(qǐng)大家在上課前準(zhǔn)備好教材、筆記本和計(jì)算器，確保我們能夠高效地進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)。

一、導(dǎo)入新課

上課開(kāi)始，我們先來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)半徑為1的圓，圓心在原點(diǎn)O(0,0)?，F(xiàn)在有一個(gè)點(diǎn)A在圓外，坐標(biāo)為(2,0)，我們需要找到圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)。

【提問(wèn)】同學(xué)們，你們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題該如何解決呢？

二、課堂探究

1.探索圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題

【活動(dòng)】請(qǐng)大家分組討論，嘗試用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

【講解】經(jīng)過(guò)討論，我們發(fā)現(xiàn)，圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)B和最遠(yuǎn)的點(diǎn)C，分別位于圓心O到點(diǎn)A的連線(xiàn)上。這是因?yàn)?，?duì)于圓上任意一點(diǎn)P，其到點(diǎn)A的距離|AP|是由圓心O到點(diǎn)A的距離|OA|和線(xiàn)段OP的長(zhǎng)度共同決定的。

【總結(jié)】因此，我們可以得出結(jié)論：圓上離圓外一點(diǎn)A最近的點(diǎn)在圓心O到點(diǎn)A的連線(xiàn)上，最遠(yuǎn)的點(diǎn)也在該連線(xiàn)上。

2.探究圓與直線(xiàn)、圓與圓之間的最值問(wèn)題

【例題】請(qǐng)大家嘗試解決以下問(wèn)題：

(1)在平面上，有一個(gè)半徑為r的圓，圓心在原點(diǎn)O(0,0)，求圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=kx+1的距離的最大值。

(2)兩個(gè)半徑分別為R和r的圓相切，求它們的圓心距的最小值。

【講解】解決這些問(wèn)題，我們需要運(yùn)用到圓的方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及兩圓相切的性質(zhì)。

(1)首先，設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y=kx+1的距離為：d=|kx-y+1|/√(1+k^2)。

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以有x^2+y^2=r^2。通過(guò)代換和求導(dǎo)，我們可以得到d的最大值。

(2)對(duì)于兩圓相切的問(wèn)題，當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為R+r；內(nèi)切時(shí)，圓心距為R-r。

【總結(jié)】通過(guò)以上探究，我們學(xué)會(huì)了如何利用代數(shù)方法解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題。

三、鞏固練習(xí)

現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們嘗試完成教材上的練習(xí)題，檢驗(yàn)一下自己對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握。

【練習(xí)】

1.求圓x^2+y^2=4上離點(diǎn)A(3,0)最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)。

2.求圓x^2+y^2=9上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=2x+1的距離的最大值。

四、課堂小結(jié)

【學(xué)生回答】

1.圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題。

2.圓與直線(xiàn)、圓與圓之間的最值問(wèn)題。

很好，希望大家能夠在課后繼續(xù)鞏固這些知識(shí)，并運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。

五、課后作業(yè)

請(qǐng)同學(xué)們完成以下作業(yè)：

1.教材課后習(xí)題第1、2題。

2.結(jié)合本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，嘗試解決以下實(shí)際問(wèn)題：在一個(gè)圓形花壇中，如何確定一條從花壇邊緣到中心噴泉的最短路徑？

六、課堂反饋

最后，請(qǐng)同學(xué)們填寫(xiě)課堂反饋表，以便我了解大家對(duì)本節(jié)課的掌握程度，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。

同學(xué)們，今天的課就到這里，希望大家能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下節(jié)課，我們將繼續(xù)探討與圓有關(guān)的其他問(wèn)題。下課后，有問(wèn)題的同學(xué)可以隨時(shí)找我討論。謝謝大家！知識(shí)點(diǎn)梳理1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

-圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+y2=r2

-圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

2.圓的性質(zhì)

-圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑。

-圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

-圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角。

3.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

-點(diǎn)P(x?,y?)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)

4.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

-圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題。

-圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值問(wèn)題。

-兩圓相切時(shí)圓心距的最小值問(wèn)題。

5.解決最值問(wèn)題的方法

-幾何方法：利用圓的性質(zhì)和直觀(guān)幾何圖形分析最值。

-代數(shù)方法：通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用函數(shù)思想、不等式等方法求解最值。

6.實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

-將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型。

-運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)模型，得到實(shí)際問(wèn)題的解答。

7.數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用

-使用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）輔助教學(xué)，直觀(guān)展示圓的性質(zhì)和最值問(wèn)題。

-利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的模擬和求解。內(nèi)容邏輯關(guān)系①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

-與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的類(lèi)型及解決方法。

-點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用。

-圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用。

-實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

②關(guān)鍵詞

-最值問(wèn)題

-圓的方程

-點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

-幾何性質(zhì)

-數(shù)學(xué)建模

③重點(diǎn)句子

-圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題可以通過(guò)分析圓心到該點(diǎn)的連線(xiàn)來(lái)解決。

-圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值可以通過(guò)建立函數(shù)模型并求導(dǎo)數(shù)來(lái)求解。

-兩圓相切時(shí)，圓心距的最小值等于兩圓半徑之差。

板書(shū)設(shè)計(jì)：

1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

-最短距離和最長(zhǎng)距離

-點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值

-兩圓相切時(shí)的圓心距最小值

2.解決方法

-幾何方法

-代數(shù)方法（函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式）

3.數(shù)學(xué)模型

-點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)

-圓的方程：x2+y2=r2

4.實(shí)際問(wèn)題抽象

-分析問(wèn)題

-建立模型

-求解答案課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，重點(diǎn)掌握了以下知識(shí)點(diǎn)：

1.圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的最短距離和最長(zhǎng)距離問(wèn)題及其解決方法。

2.圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值問(wèn)題及代數(shù)求解方法。

3.兩圓相切時(shí)圓心距的最小值問(wèn)題。

4.實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

當(dāng)堂檢測(cè)：

為了檢驗(yàn)大家對(duì)這節(jié)課知識(shí)的掌握，請(qǐng)完成以下檢測(cè)題目：

一、選擇題

1.下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（）

A.圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑

B.圓的切線(xiàn)與半徑垂直

C.圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角

D.所有選項(xiàng)都正確

2.求圓x2+y2=4上離點(diǎn)A(3,0)最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)，正確答案是（）

A.(2,0)和(4,0)

B.(2,√5)和(2,-√5)

C.(3,√5)和(3,-√5)

D.(3,2)和(3,-2)

二、填空題

3.圓x2+y2=9上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=2x+1的距離的最大值是______。

4.兩個(gè)半徑分別為R和r的圓相切，它們的圓心距的最小值是______。

三、解答題

5.求解圓x2+y2=4上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y-3=0的距離的最大值。

6.在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)半徑為1的圓，圓心在原點(diǎn)O(0,0)，點(diǎn)A在圓外，坐標(biāo)為(2,0)。求圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)。

請(qǐng)大家認(rèn)真完成檢測(cè)題目，并在下課前提交。希望通過(guò)檢測(cè)，大家能夠鞏固所學(xué)知識(shí)，提高自己的解題能力。下節(jié)課，我們將針對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行講解和分析。謝謝大家！教學(xué)反思與總結(jié)在本次教學(xué)過(guò)程中，我采用了講授與探究相結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組討論和案例分析來(lái)探索與圓有關(guān)的最值問(wèn)題。從整個(gè)教學(xué)過(guò)程來(lái)看，我覺(jué)得在以下幾方面做得不錯(cuò)：

1.教學(xué)方法：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生的興趣，使他們更容易投入到學(xué)習(xí)中。同時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）進(jìn)行直觀(guān)演示，有助于學(xué)生理解和掌握?qǐng)A的性質(zhì)及最值問(wèn)題。

2.教學(xué)策略：在講解過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和空間想象能力。通過(guò)設(shè)置不同難度的例題和練習(xí)，使學(xué)生在逐步解決問(wèn)題的過(guò)程中，掌握與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的解題方法。

然而，在教學(xué)過(guò)程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處：

1.部分學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)和方程掌握不夠熟練，導(dǎo)致在解決最值問(wèn)題時(shí)遇到困難。在今后的教學(xué)中，我需要加強(qiáng)對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的鞏固。

2.在小組討論環(huán)節(jié)，部分學(xué)生參與度不高，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)問(wèn)題不夠了解，或者缺乏團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。為了提高學(xué)生的參與度，我可以在分組時(shí)更加注意學(xué)生之間的搭配，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)和鼓勵(lì)。

教學(xué)總結(jié)：

1.學(xué)生在知識(shí)方面：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能夠掌握與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的類(lèi)型及解決方法，對(duì)圓的方程和性質(zhì)有了更深入的理解。

2.技能方面：學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力得到了鍛煉和提高。

3.情感態(tài)度方面：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣有所提高，團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和解決問(wèn)題的自信心也得到了增強(qiáng)。

針對(duì)教學(xué)中存在的問(wèn)題和不足，我提出以下改進(jìn)措施和建議：

1.在教學(xué)過(guò)程中，注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，特別是圓的方程和性質(zhì)。

2.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生參與小組討論的引導(dǎo)和鼓勵(lì)，提高他們的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。

3.增加課堂互動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和策略。

4.設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性和實(shí)用性的課后作業(yè)，讓學(xué)生在課后能夠進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。典型例題講解例題1：

已知圓C的方程為x2+y2=4，點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0)，求圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)。

解答：

圓心C坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2。圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)B位于AC上，最遠(yuǎn)的點(diǎn)D位于延長(zhǎng)線(xiàn)AC上。

由于|AC|=3，所以|AB|=|AC|-|BC|=3-2=1，|AD|=|AC|+|CD|=3+2=5。

因此，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3-1,0)即(2,0)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(3+2,0)即(5,0)。

例題2：

求圓x2+y2=9上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=2x+1的距離的最大值。

解答：

設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y=2x+1的距離為：d=|2x-y+1|/√(1+22)=|2x-y+1|/√5。

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以有x2+y2=9。

例題3：

兩個(gè)半徑分別為R和r的圓相切，求它們的圓心距的最小值。

解答：

當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為R+r；內(nèi)切時(shí)，圓心距為R-r。

所以，圓心距的最小值為R-r。

例題4：

求解圓x2+y2=4上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y-3=0的距離的最大值。

解答：

設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y-3=0的距離為：d=|x+y-3|/√(12+12)=