05中考數(shù)學(xué)幾何輔助線：巧作輔助線 妙證幾何題

巧作輔助線妙證幾何題作輔助線是證明平面幾何題的重要手段．本文結(jié)合今年部分中考題，說明幾種常見的作輔助線的方法．一、構(gòu)造平行四邊形例1如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝，BC＝4，連結(jié)BD，∠BAD的平分線交BD于點(diǎn)E，且AE∥CD，則AD的長為()(A) (B) (C) (D)2 分析如圖1，延長AE交BC于F，根據(jù)角平分線的定義，可得∠BAF＝∠DAF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAF＝∠AFB，然后求出∠BAF＝∠AFB．再根據(jù)等角對等邊求出AB＝BF，然后求出FC，根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFCD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等解答．解延長AE交BC于F∵AE是∠BAD的平分線， ∴∠BAF＝∠DAF．∵AE∥CD，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF．∵AB＝，BC＝4，∴CF＝4－＝．∵AD//BC，AE//CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴AD＝CF＝，故選B．點(diǎn)評(píng)梯形中構(gòu)造平行四邊形是常用方法．二、構(gòu)造相似三角形例2如圖2，在△ABC中，BC＝6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP＋BP＝_______．分析延長BQ交射線EF于點(diǎn)M．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠M＝∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM＝∠CBM，從而得到∠M＝∠PBM．根據(jù)等角對等邊，可得BP＝PM，求出EP＋BP＝EM，再根據(jù)CQ＝CE求出EQ＝2CQ．然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．解如圖2，延長BQ交射線EF于點(diǎn)M．∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM．∵BQ是∠CBP的平分線，∴∠PBM＝∠CBM．∴∠M＝∴PBM，∴BP＝PM，∴EP＋BP＝EP＋PM＝EM．∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ．由EF∥BC，得△MEQ∽△BCQ， ∴＝2．∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP＋BP＝12．故答案為12．點(diǎn)評(píng)延長BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP＋BP＝EM，并得到相似三角形，是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．三、取中點(diǎn)，構(gòu)造中位線例3某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：操作發(fā)現(xiàn)在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示．其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則下列結(jié)論正確的是_______．①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；∠DAB＝∠DMB．?dāng)?shù)學(xué)思考在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖4所示．M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程．類比探索在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖5所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，試判斷△MED的形狀．解操作發(fā)現(xiàn)答案：①②③④；數(shù)學(xué)思考答案：(1)MD＝ME，證明如下：如圖6，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連結(jié)DF，MF，MG，EG．∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MF//AC，MF＝AC．又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，∴EG⊥AC，且FG＝AC，∴MF＝EG，同理可證DF＝MG．∵M(jìn)F∥CG，∴∠MFA＋∠BAC＝180°．同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°，∴∠MFA＝∠MGA．又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°．同理可得∠DFA＝90°，∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA，即∠DFM＝∠MEG．又MF＝EG，DF＝MG，∴△DFM≌△MGE，∴MD＝ME．(2)MD⊥ME，證明如下：∵M(jìn)G∥AB，∴∠MFA＋∠FMG＝180°．又∵△DFM≌△MGE．∴∠MEG＝∠MDF，∴∠MFA＋∠FMD＋∠DME＋∠MDF＝180°，其中∠MFA＋∠FMD＋∠MDF＝90°．∴∠DME＝90°，即MD⊥ME，類比探究答案：等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)本題取中點(diǎn)是解題關(guān)鍵，既構(gòu)造了中位線，又可利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)等．四、旋轉(zhuǎn)變換例4如圖7，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連結(jié)EF，則EF＝BE＋DF，試說明理由．(1)思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°'∴∠FDG＝180°，點(diǎn)F、D、G共線．根據(jù)_______，易證△AFG≌_______，得EF＝BE＋DF．(2)類比引申如圖8，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系_______時(shí)，仍有EF＝BE＋DF．(3)聯(lián)想拓展如圖9，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．解(1)SAS、△AFE；(2)互補(bǔ)；(3)BD2＋EC2＝DE2，理由如下：如圖9，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACF，連EF．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知△ACF≌△ABD，∴CF＝BD，AF＝AD．又AE＝AE、∠DAE＝∠FAE．∴△ADE≌AAFE，∴EF＝DE