1.3.1　空間直角坐標(biāo)系 導(dǎo)學(xué)案正文

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在空間向量基本定理的基礎(chǔ)上,知道空間直角坐標(biāo)系的概念.2.結(jié)合簡單幾何體,能寫出有關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo).◆知識點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系定義:如圖,在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k}.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫作.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫作,i,j,k都叫作,通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫作,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

2.空間直角坐標(biāo)系的畫法(1)空間直角坐標(biāo)系的畫法:畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=,∠yOz=.

(2)右手直角坐標(biāo)系:在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

◆知識點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)1.空間中點(diǎn)的坐標(biāo)如圖,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=.在單位正交基底{i,j,k}下與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫作點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作,其中x叫作點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫作點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫作點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

2.空間中向量的坐標(biāo)如圖,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作OA=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組叫作a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作.

【診斷分析】判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示點(diǎn). ()(2)點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的y軸上. ()(3)點(diǎn)(0,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的Oxy平面上. ()(4)已知i,j,k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量,且AB=-i+j-k,則點(diǎn)B的坐標(biāo)一定是(-1,1,-1).()◆探究點(diǎn)一求空間點(diǎn)的坐標(biāo)例1已知在正四棱錐P-ABCD中,O為底面中心,底面邊長和高都是2,E,F分別是側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn).(1)如圖①,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,OP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)A,B,C,D,P,E,F的坐標(biāo);(2)如圖②,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)A,B,C,D,P,E,F的坐標(biāo).變式(1)(多選題)在棱長為1的正方體中,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則下列各點(diǎn)在正方體內(nèi)或正方體表面上的是 ()A.(1,0,1) B.25,-15,15 (2)如圖,棱長為2的正四面體A-BCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系的x,y,z軸的正半軸上,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.(2,2,2)C.(3,3,3) D.(2,2,2)[素養(yǎng)小結(jié)](1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原則:①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);②充分利用幾何圖形的對稱性.(2)求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法:作MM'垂直于平面Oxy,垂足為M',求M'的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,再求點(diǎn)M在z軸上射影的豎坐標(biāo)z,即為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)z,于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y,z).◆探究點(diǎn)二求空間向量的坐標(biāo)例2如圖,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中有一長方體OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5.(1)寫出點(diǎn)B'的坐標(biāo),并將OB'用單位正交基底{i,j,k}表示(2)求OC'的坐標(biāo)變式如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點(diǎn),G在棱CD上,且CG=14CD,H為C1G的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出EF和GH的坐標(biāo)[素養(yǎng)小結(jié)]用坐標(biāo)表示空間向量的步驟:◆探究點(diǎn)三空間中點(diǎn)的對稱問題例3在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,1,4).(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo);(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo);(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,-4)的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo).變式關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)P(1,2,3),有下列說法:①OP的坐標(biāo)為(1,2,3);②點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3);③點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3);④點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3).其中正確說法的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2C.3 D.4[素養(yǎng)小結(jié)]在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)如下:(1)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y,-z);(2)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y,-z);(3)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y,-z);(4)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y,z);(5)關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,-z);(6)關(guān)于Oyz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y,z);(7)關(guān)