1.4.2第1課時　用空間向量研究距離問題 導(dǎo)學(xué)案正文

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助直線的方向向量和平面的法向量,能計算點到直線的距離、點到平面的距離,并知道兩條平行直線之間的距離、直線與平面平行時兩者間的距離、兩個平行平面之間的距離.2.能分析和解決一些立體幾何中的距離問題,體會向量方法與綜合幾何方法的共性和差異,體會直線的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究幾何問題的有效工具.◆知識點用空間向量研究距離問題1.點到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點,設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ==.

2.點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ=AP·n|n|3.用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題;(3)把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面α外一點A到平面α的距離,就是點A與平面α內(nèi)一點B所成向量AB的長度. ()(2)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離. ()(3)若平面α∥平面β,則兩平面α,β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離,也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點到平面β的距離. ()◆探究點一點到直線的距離例1(1)[2024·重慶開州中學(xué)高二月考]已知直線l過點A(1,-1,2),直線l的一個方向向量為n=(-3,0,4),則P(3,5,0)到直線l的距離等于 ()A.5 B.23C.22265 D(2)[2024·江蘇淮安高二期中]已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,點E是BC的中點,則點E到直線PD的距離是 ()A.54 B.C.22 D.變式如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,且∠A1AC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,點P,Q分別在AB,A1C1上,且AP=A1Q.(1)求證:PQ∥平面B1BCC1;(2)當(dāng)點P是棱AB的中點時,求點B1到直線PQ的距離.[素養(yǎng)小結(jié)]用向量法求點到直線的距離的一般步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量;(3)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線上的投影向量的長度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.◆探究點二點到平面的距離例2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分別為AD,PC的中點.(1)求證:DE∥平面PFB;(2)求點E到平面PFB的距離.變式[2024·廣西玉林高二期中]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=3,點F是棱PD的中點,點E是棱DC上靠近點D的三等分點.(1)證明:AF⊥EF;(2)求點B到平面AEF的距離.[素養(yǎng)小結(jié)]用向量法求點到平面的距離的步驟:(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求點的坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點的坐標(biāo);(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo);(4)利用公式即可求得點到平面的距離.拓展如圖①,平行四邊形AECF由一個邊長為6的正方形(正方形ABCD)和2個等腰直角三角形(△BCE,△ADF)組成,沿AD,BC將2個三角形折起,使得平面ADF、平面BCE均與平面ABCD垂直(如圖②),連接EF,AE,CF,AC,求點E到平面ACF的距離.◆探究點三線面距和面面距例3如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點.求:(1)直線MN到平面OCD的距離;(2)平面MNR與平面OCD的距離.變式設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2.(1)求直線B1C到平面A1BD的距離;(2)求平面A1BD與平面B1CD1的距