高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1測(cè)評(píng)模塊復(fù)習(xí)課第2課時(shí)圓錐曲線的概念標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

模塊復(fù)習(xí)課第2課時(shí)圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知橢圓x29+y2n2=1(n>0)與雙曲線x24-y2m2=1(m>A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分 D.圓的一部分解析∵橢圓x29+y2n2=1與雙曲線x24-y2m2=1有相同的焦點(diǎn),∴9n2=4+m2,答案D2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1A.x24-y212=C.x23-y29=解析由雙曲線的對(duì)稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過(guò)點(diǎn)F作EF⊥CD于點(diǎn)E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=又因?yàn)辄c(diǎn)F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因?yàn)閑=ca=2,c2=a2+b2,所以a答案C3.已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),MA=4MB,若拋物線y2=ax經(jīng)過(guò)A和B兩點(diǎn),則a的值為()A.2 B.2C.4 D.4解析∵A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3λ,4λ)(λ≠0),∴直線AB的方程為y=43(x1),與y2=ax聯(lián)立可得y234aya=∴y1+y2=34a,①y1y2=a,②∵M(jìn)A=4MB,∴y1=4y2.③由①②③可得a=4.故選D.答案D4.如果過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點(diǎn),那么直線l的斜率k的取值范圍是(A.-∞,-2C.-12,解析設(shè)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l的方程為y=k(x+2),聯(lián)立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)∵過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點(diǎn),∴Δ=64k44(2k2+1)(8k22)整理得k2≤12解得22≤k≤2∴直線l的斜率k的取值范圍是-2故選D.答案D5.已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓C1的兩條切線互相垂直A.22,3C.32,1解析設(shè)P(m,n),由題意知m∴e2m2=b2,又0<|m|<a,∴0<m2≤a2,即b2e2≤a2,解得22≤e<1答案D6.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2|12≤λ≤2,A.0,22C.23,5解析設(shè)F1(c,0),F2(c,0),由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a,可設(shè)|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a.①由∠F1PF2=π2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2即為(λ2+1)t2=4c2.②由②÷①2,可得e2=λ2令m=λ+1,可得λ=m1,即有λ2+1(λ由12≤λ≤2,可得32≤m≤3,即則當(dāng)m=2時(shí),取得最小值12當(dāng)m=32或m=3時(shí),取得最大值5即有12≤e2≤59,解得22≤e故選B.答案B7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)解析因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線y=±bax的距離為|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因?yàn)閍2=c2b2=c234c答案28.拋物線y2=8x上到焦點(diǎn)距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析∵拋物線方程為y2=8x,可得2p=8,p2=∴拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線為x=2.設(shè)拋物線上點(diǎn)P(m,n),到焦點(diǎn)F的距離等于6,根據(jù)拋物線的定義,得點(diǎn)P到F的距離等于P到準(zhǔn)線的距離,即|PF|=m+2=6,解得m=4,∴n2=8m=32,可得n=±42,因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,±42).答案(4,±42)9.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若F解析如圖,由F1A=AB,得又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由F1B·F2B=0,得F1B⊥F2B.則OA⊥F1A,故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.則ba=tan60°=3所以e=ca=1+答案210.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過(guò)點(diǎn)3,12,焦點(diǎn)為F1(3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);②直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△OAB的面積為267,求直線l解(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(3,0),F2(3,0),可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y又點(diǎn)3,12在橢圓所以3a2因此,橢圓C的方程為x24+y2=因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.(2)①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02所以直線l的方程為y=x0y0(xx0)即y=x0y0由x24+y(4x02+y02)x224x0x+364y0因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以Δ=(24x0)24(4x02+y02)(364y02因?yàn)閤0,y0>0,所以x0=2,y0=1.因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).②因?yàn)槿切蜲AB的面積為26所以12AB·OP=267,從而設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y0因?yàn)閤02所以AB2=16(x02-2)(x0解得x02=52(x02=20舍去綜上,直線l的方程為y=5x+32.能力提升1.已知點(diǎn)A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線相交于M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若|FM|∶|MN|=2∶5,則a=()A.2 B.4 C.6 D.8解析依題意點(diǎn)F的坐標(biāo)為a4,0,設(shè)M由拋物線的定義知|MF|=|MK|,∴|FM|∶|MN|=2∶5,則|KN|∶|KM|=1∶2,kFN=0-1a4-0=4∴4a=2,求得a=2.故選A答案A2.雙曲線C:x24-y22=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則A.324 B.322 C.22解析由已知可得a=2,b=2,則c=a2+b2=6,∵|PO|=|PF|,∴xP=62又P在C的一條漸近線上,不妨設(shè)在漸近線y=22x上∴yP=22∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6答案A3.設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2b2=16,∴c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,∴x02解得x0=3或x0=3(舍去).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).答案(3,15)4.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓解析根據(jù)題意可畫(huà)出下圖,其中BD和AC為雙曲線的漸近線,ABF2CDF1是正六邊形.由題意可知∠BOF2=π3,故雙曲線的漸近線BD的方程為y=nmx=3x,故雙曲線的離心率e1=m2設(shè)AB=x,由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2答案3125.已知橢圓C:x225+y2m2=1(0<m<5)的離心率為154(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面積.解(1)由題設(shè)可得25-m25=154所以C的方程為x225+(2)設(shè)P(xP,yP),Q(6,yQ),根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)yQ>0,由題意知yP>0.由已知可得B(5,0),直線BP的方程為y=1yQ(所以|BP|=yP1+yQ2,因?yàn)閨BP|=|BQ|,所以yP=1,將yP=1代入C的方程,解得xP=3或3.由直線BP的方程得yQ=2或8.所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直線P1Q1的方程為y=13x,點(diǎn)A(5,0)到直線P1Q1的距離為102,故△AP1Q1的面積為|P2Q2|=130,直線P2Q2的方程為y=79x+103,點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為13026,故△AP2Q2綜上,△APQ的面積為526.已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為22,且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值.解(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+∴ca=22,c∴橢圓M的方程為x24+(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=4,化為(1+2k2)x2+4kmx+2m24=0,Δ=16k2m24(1+2k2)(2m24)設(shè)A(x1,