二次函數(shù)y=ax²bxc的圖象與性質(zhì)

22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會用配方法或公式法將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k(a≠0).2.會熟練求出拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.重點(diǎn)：能夠熟練地求出二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.難點(diǎn)：會用配方法或公式法將一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k(a≠0).知識點(diǎn)一二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)用配方法化二次函數(shù)解析式為的形式====∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，我們把它叫做頂點(diǎn)坐標(biāo)公式.拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的兩種求法：(1)運(yùn)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可直接求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)利用配方法將函數(shù)化為頂點(diǎn)式,進(jìn)而求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).即學(xué)即練（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)，根據(jù)B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中對稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項(xiàng)，即可得出C為正確答案．【詳解】解：對于二次函數(shù)，令，則，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，∴可以排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中，拋物線的對稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項(xiàng)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)圖象的兩種畫法（1）描點(diǎn)法①利用配方法把二次函數(shù)化成的形式②確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)標(biāo)③在對稱軸兩側(cè)，以頂點(diǎn)為中心,左右對稱點(diǎn)描點(diǎn)畫圖平移法①利用配方法把二次函數(shù)化成的形式，確定其頂點(diǎn)②作出函數(shù)的圖象③將函數(shù)的圖象進(jìn)行平移，使其頂點(diǎn)平移到點(diǎn)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)（,,是常數(shù)，）函數(shù)圖象（拋物線）開口方向向上向下對稱軸直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性如果，當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大.如果，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小.最值拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)時，有最小值,拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)時，有最大值,二次函數(shù)的圖象特征與a,b,c的符號之間的關(guān)系字母的符號圖象的特征開口向上開口向下對稱軸為軸（,同號）對稱軸在軸左側(cè)（,異號）對稱軸在軸右側(cè)圖象過原點(diǎn)與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交二次函數(shù)重要結(jié)論（1）當(dāng)時,.此時若,則;若則;若，則（2）當(dāng)時,（3）當(dāng)時,.此時若,則;若,則;若,則.（4）當(dāng)時,.即學(xué)即練（2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，與x軸交于，兩點(diǎn)，若，則下列四個結(jié)論：①，②，③，④．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可判斷①；由開口方向和對稱軸即可判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)已經(jīng)x=-1時的函數(shù)的取值，即可判斷③；根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸，與y軸的交點(diǎn)以及a－b＋c＜0，即可判斷④．【詳解】∵對稱軸為直線x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正確，∵=1，∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2-4ac>0，根據(jù)題意可知x=-1時，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④錯誤；故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的對稱性．題型一把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式例1（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，所得圖象的解析式為，則，的值為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)平移的規(guī)律求得解析式，化成一般式即可求得．【詳解】由，，，∵拋物線的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，∴所得圖象的解析式為，即，∴，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律．舉一反三1（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）拋物線向上平移2個單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后再按平移的規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴向上平移2個單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谀佄锞€的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到的拋物線的頂點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移性質(zhì)“左加右減，上加下減”，得出將拋物線的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到的拋物線的解析式，求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】解：將拋物線化為頂點(diǎn)式，即：，將拋物線的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，根據(jù)函數(shù)圖像平移性質(zhì)：左加右減，上加下減得：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，一般先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式：即的形式，然后按照“上加下減，左加右減”的方式寫出平移后的解析式，能夠根據(jù)平移方式寫出平移后的解析式是解題關(guān)鍵．題型二二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號例2（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，則．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，可得，，，故①不符合題意；當(dāng)與時的函數(shù)值相等，可得，故②符合題意；當(dāng)時函數(shù)值最大，可得，故③不符合題意；由點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越小，可得④符合題意．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，∴，，，∴，∴，故①不符合題意；∵對稱軸為直線，∴當(dāng)與時的函數(shù)值相等，∴，故②符合題意；∵當(dāng)時函數(shù)值最大，∴，∴；故③不符合題意；∵點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越小，∴．故④符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸方程，增減性的判定，函數(shù)的最值這些知識點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，拋物線的對稱軸是直線，并與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實(shí)數(shù)，則，其中正確的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，判定；對稱軸的位置，判定；拋物線與y軸的交點(diǎn)，判定，從而判定；根據(jù)對稱軸是直線，確定；根據(jù)，得，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到，確定，可以判定②③；計(jì)算函數(shù)的最小值為：，從而得到，代入化簡，判定④．【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的開口方向，所以；因?yàn)閷ΨQ軸是直線，所以，；因?yàn)閽佄锞€與y軸的交點(diǎn)位于負(fù)半軸，所以，所以；故①錯誤；因?yàn)椋?/p>

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正確；所以，即③正確；根據(jù)題意，得拋物線有最小值，且最小值為：，所以，所以，所以，所以，④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像及其性質(zhì)、對稱軸、最值、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識點(diǎn)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，特別是對稱性和最值是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·山東德州·九年級德州市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)和，下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】利用拋物線開口方向得，利用對稱軸在軸的右側(cè)得，則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得，則所以，于是可對②④進(jìn)行判斷；由于，利用可得，再根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點(diǎn)在和之間，則時，函數(shù)值為正數(shù)，即，由此可對③進(jìn)行判斷；觀察函數(shù)圖像得到時，拋物線有部分在軸上方，有部分在軸下方，則可對⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，對稱軸位于軸的右側(cè)，，，，故①正確；點(diǎn)和都在拋物線上，，，，，故②錯誤，④正確；，，，即，拋物線與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線的對稱軸位于軸的右側(cè)，在直線的左側(cè)，拋物線與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)在和之間，時，，即，，故③正確；當(dāng)時，拋物線由部分在軸的上方，有部分在軸的下方，或或，故⑤錯誤，綜上所述①③④正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與特征是解答本題的關(guān)鍵．題型三一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷例3（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】對比各個選項(xiàng)中二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的規(guī)律，可分別得到各個函數(shù)系數(shù)的取值范圍；通過函數(shù)系數(shù)對比，即可得到答案．【詳解】解：A選項(xiàng)中，開口朝上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，∴A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中，開口朝上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，∴B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)中，開口朝下，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而減少，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，∴C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中，開口朝下，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，∴，，而函數(shù)y隨x增大而增大，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴，，∴D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，從而完成求解．舉一反三1（2023秋·山西晉城·九年級校考期末）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致是下圖中的（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】直接利用一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，b的符號，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，∴，∴∵二次函數(shù)對稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖象開口方向向上，圖象經(jīng)過原點(diǎn)，對稱軸在y軸左側(cè)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象綜合判斷，正確確定a，b的符號是解題關(guān)鍵．舉一反三2（2023·安徽六安·?？级＃┮阎獟佄锞€和直線分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，則拋物線的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】求出求出交點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知圖象確定，與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的正負(fù)，進(jìn)而推斷新拋物線的圖象的開口方向，對稱軸位置，從而確定答案．【詳解】解：由，得，解得，或，拋物線和直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)為：，拋物線的開口向上，交點(diǎn)在第三象限內(nèi)，，，拋物線中，，對稱軸，此拋物線的開口向下，對稱軸在軸的左邊，符合此條件的圖象是C，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知條件確定和點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值．題型四兩個二次函數(shù)圖象綜合判斷例4（2023春·江蘇南京·九年級南京鐘英中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與軸的交點(diǎn)位置以及對稱軸的位置進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)，，由圖像知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖像開口大于函數(shù)的圖像開口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖像是拋物線，開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，A．圖像開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，故此選項(xiàng)符合題意；B．圖像開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；C．圖像對稱軸在軸的左側(cè)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．圖像開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意：二次函數(shù)的越大，圖像開口越?。e一反三1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線分別交拋物線y＝x2（x≥0）和拋物線y＝x2（x≥0）于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），根據(jù)題意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，從而求得＝．【詳解】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.根據(jù)特征表示出A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2拋物線y1＝（x-h）2＋k與交于點(diǎn)A，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①；②點(diǎn)（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1≥y2，則x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)題意得：拋物線y1＝（x-h）2＋k與的對稱軸分別為直線和，設(shè)直線和分別交BC于點(diǎn)M、N，則MN=h+3，根據(jù)BC=10，可得MN=5，從而得到h=2，可得得到，進(jìn)而得到點(diǎn)A（1，3），繼而得到，故①錯誤；根據(jù)點(diǎn)（，P）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)為，且，可得P＜n＜m，故②正確；根據(jù)y1≥y2，可得或，故③錯誤；分別求出點(diǎn)，可得，故④正確；即可求解．【詳解】解∶根據(jù)題意得：拋物線y1＝（x-h）2＋k與的對稱軸分別為直線和，如圖，設(shè)直線和分別交BC于點(diǎn)M、N，則MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴，∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵點(diǎn)B（3，3），∴3＝（3-2）2＋k，解得：，∴，∵BC∥x軸，∴點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)為3，令，則，解得：，∴點(diǎn)A（1，3），把點(diǎn)A（1，3）代入，得：，解得：，故①錯誤；∵，且對稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x＞2時，y1隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時，y1隨x的增大而減小，∵，∴，∵點(diǎn)（，p）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)為，∴p＜n＜m，故②正確；∵，∴，∵y1≥y2，∴，整理得：，解得：或，故③錯誤；∵，，當(dāng)x=0時，，，∴點(diǎn)，∴，故④正確；∴正確的有②④．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．題型五根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號例5（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？级＃┤鐖D所示，點(diǎn)A，B，C是拋物線（為任意實(shí)數(shù)）上三點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②函數(shù)最大值大于4；③；其中正確的有（

）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】B【分析】由圖可得：拋物線的開口方向向下，當(dāng)，，即，可判斷結(jié)論③正確；當(dāng)與時，函數(shù)值不相等，可得拋物線的對稱軸不是直線，即，函數(shù)最大值大于4，即可得出答案.【詳解】解：由圖可得：拋物線的開口方向向下，當(dāng)時，，當(dāng)，，即，結(jié)論③正確；∴當(dāng)與時，函數(shù)值不相等，∴拋物線的對稱軸不是直線，即，函數(shù)最大值大于4；故結(jié)論①錯誤，②正確；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.舉一反三1（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線是對稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點(diǎn)，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)對稱軸為求出，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大即可判斷③；求出，結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)對稱軸為直線，，即，故①正確；二次函數(shù)經(jīng)過，二次函數(shù)與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，，故②正確；拋物線開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，是拋物線上兩點(diǎn)，，且，，故③正確；，，，即，故④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023·湖南懷化·統(tǒng)考三模）函數(shù)（，）的圖象是由函數(shù)（，）的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點(diǎn)．

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對稱軸為，進(jìn)而可得，故①正確；由圖象可得，當(dāng)時，，可判段②；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知，故③錯誤；求出翻折前的二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1和3，∴對稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；由圖象可得，當(dāng)時，，故②正確；∵與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿軸向上翻折而成，∴，故③錯誤；設(shè)拋物線的解析式為，代入得：，解得：，∴，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)向上平移1個單位后的坐標(biāo)為，∴將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點(diǎn)，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．題型六已知拋物線上對稱的兩點(diǎn)求對稱軸例6（2023·陜西西安·?？级＃┮阎獟佄锞€過不同的兩點(diǎn)和，若點(diǎn)在這條拋物線上，則的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)對稱性可得，代入解方程即可求解．【詳解】解：∵拋物線，對稱軸為直線，又拋物線過不同的兩點(diǎn)和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知拋物線過點(diǎn)、，則a的取值范圍是．【答案】或【分析】由題意可得過，可知對稱軸為，得，由拋物線過，可知存在使得，分和討論最值即可求解．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，，即：過，∵過，，∴的對稱軸為：，即：，則當(dāng)時，，∵過，即存在使得，當(dāng)時，有最小值，故存在使得；當(dāng)時，有最大值，要使得存在使得，則，即：；∴或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握并理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）坐標(biāo)平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點(diǎn)，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸，結(jié)合即可求解．【詳解】解：設(shè)對稱軸與交于點(diǎn)．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖形，找到線段的長度是解題的關(guān)鍵．題型七根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值例7（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出的取值范圍．【詳解】解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線對稱軸為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確找到對稱軸，利用對稱軸表示出是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，有最大值為，對稱軸為直線，根據(jù)，，設(shè)的對稱點(diǎn)為，得出，則在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，則當(dāng)時，．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時，有最大值為，∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線，設(shè)的對稱點(diǎn)為，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)，拋物線開口向下；對稱軸為直線，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減?。e一反三2（2023·浙江溫州·校考三模）已知二次函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到對稱軸為直線，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)對各項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為：，∴當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大；∵，∴，∴，∴，故錯誤；∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為：，∴拋物線的對稱軸為直線，若，∴解得：，∴當(dāng)時，和關(guān)于對稱，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，故錯誤，正確；當(dāng)時，隨的增大而增大，∵，∴，故錯誤；故選．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八求二次函數(shù)最值問題例8（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)，且，記代數(shù)式，記分別為代數(shù)式的最大值與最小值，則的值為．【答案】4【分析】由得到，則．根據(jù)可求a的取值范圍為，由此可得代數(shù)式的最大值與最小值，從而解決問題．【詳解】∵，∴，∴．∵，∴，∴∴當(dāng)或時，有最大值，為，當(dāng)時，有最小值，為，∴．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，則b的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，則離對稱軸越近函數(shù)值越小，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)時，函數(shù)的最小值為進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，∴離對稱軸越近函數(shù)值越小，當(dāng)時，∵當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，∴，解得（舍去）；當(dāng)時，則，∵當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，∴當(dāng)時，，∴，解得；綜上所述，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，正確得到離對稱軸越近函數(shù)值越小是解題的關(guān)鍵.舉一反三2（2023·河南周口·河南省淮陽中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知拋物線和直線，點(diǎn)、均在直線上．(1)求直線的表達(dá)式；(2)若拋物線與直線有交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)當(dāng)，二次函數(shù)的自變量滿足時，函數(shù)的最大值為，求的值．【答案】(1)(2)且(3)或【分析】（1）將、代入直線得，解方程組即可得到答案；（2）聯(lián)立與，則有，拋物線與直線有交點(diǎn)，則，求解即可得到答案；（3）分在對稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：將、代入直線得，，解得，∴；（2）解：聯(lián)立與，則有，∵拋物線與直線有交點(diǎn)，∴，∴且；（3）解：根據(jù)題意可得，，∴拋物線開口向下，對稱軸為：直線，∵時，有最大值，∴當(dāng)時，有，∴或，①在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴時，y有最大值，∴；②在對稱軸右側(cè)，隨增大而減小，∴時，有最大值；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖形及性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最大值是解題的關(guān)鍵．題型九利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑例9（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為B，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形的面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最小，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）將、代入，求解可得坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求值，最后代入化簡成一般式即可；（2）如圖1，過作于F，交于E，，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）線段與對稱軸的交點(diǎn)即為使的值最小的點(diǎn)P，將代入直線的解析式即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而得解．【詳解】（1）解：將代入得，，∴，將代入得，解得，∴，∵對稱軸為直線，∴，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，，解得，∴，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖1，過作于F，交于E，

∴，，則，∵，∴當(dāng)時，四邊形面積最大，值為；將代入得，，∴，∴四邊形面積S的最大值為，此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸直線，∴當(dāng)點(diǎn)P是線段與對稱軸的交點(diǎn)時，的值最小，標(biāo)記點(diǎn)P如下，連接，

將代入直線的解析式可得：，∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)與面積綜合，線段和最小問題(將軍飲馬問題)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．舉一反三（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線解析式；(2)若是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求周長的最小值；(3)點(diǎn)為第二象限拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)(3)四邊形面積最大值為，此時【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得拋物線對稱軸為直線，依題意，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，的周長最小連接交直線于點(diǎn)，連接，，根據(jù)，，利用勾股定理即可求解；（3）先求得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，根據(jù)得出關(guān)于的二次函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴；（2）解：∵∴拋物線對稱軸為直線，依題意，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，的周長最小如圖所示，設(shè)交直線于點(diǎn)，連接，，由，令，得，∴∵，，∴的周長為（3）設(shè)過點(diǎn)，的直線解析式為，則解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，∴∴∴當(dāng)時，四邊形面積最大值為，此時．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對稱最短路徑問題等等，正確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．題型十利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式例10（2023春·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸分別相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是的中點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)，均在拋物線上．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)在第二象限，平行四邊形的面積是13，①求直線的解析式；②求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，連接，求證：直線過一定點(diǎn)．【答案】(1)(2)①；②(3)見解析【分析】（1）令，求出點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)是的中點(diǎn)，即可求解；（2）①先求出點(diǎn)，即可求得直線的解析式，②過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，再由平行四邊形的面積是13，可得，再根據(jù)，列出關(guān)于的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（3）設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)，可得，，再由點(diǎn)在拋物線上，可得，從而得到直線的解析式為，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，則，解得：，，，，是的中點(diǎn)，；（2）解：①點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，直線的解析式為，②如圖（1），過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，平行四邊形的面積是13，，，，解得：或（舍去），點(diǎn)，點(diǎn)先向右平移3個單位，再向上平移2個單位到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)先向右平移3個單位，再向上平移2個單位到達(dá)點(diǎn)；（3）解：設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得：，整理得：，，四邊形為平行四邊形，，，，，點(diǎn)在拋物線上，，解得：，直線的解析式為，直線過定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為B．

(1)求該拋物線的解析式；(2)平行于x軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊），若，求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)C是線段上的動點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與y軸交于點(diǎn)D，連接，求的面積的最大值和最小值．【答案】(1)(2)的坐標(biāo)是(3)當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法把代入即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和PQ的距離得到二元一次方程組，求解即可；（3）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，得，求出臨界情況的面積即可．【詳解】（1）如圖.

把代入，得．拋物線的解析式為．（2）由（1）知，拋物線的對稱軸為，設(shè)，依題意，知，解得．把代入拋物線，得，所以的坐標(biāo)是．（3）由（1）知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，得，所以的取值范圍是：．設(shè)直線的解析式為：，將的坐標(biāo)代入得，解得，所以直線的解析式為：．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，直線與拋物線交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，直線與拋物線交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；(3)H是直線CB上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；(4)P是軸上一點(diǎn)，Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？者存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或(4)或或【分析】（1）先求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入求得a、b、c的值即可解答；（2）根據(jù)對稱軸直線求出對稱軸，即可得出最小值，再分別求出和時的函數(shù)值，即可確定n取值范圍；（3）先求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后再運(yùn)用勾股定理逆定理說明，設(shè)，再分H在上方和下方兩種情況，分別根據(jù)三角形面積和中點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（4）先求出的長，然后當(dāng)為菱形一邊和對角線兩種情況分別畫圖，再結(jié)合菱形的性質(zhì)、勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,∴,，∵直線與x軸交于點(diǎn)A，∴，∵拋物線與軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）解：∵，∴拋物線的對稱軸為，∵點(diǎn)在拋物線上，，∴當(dāng)時，拋物線有最小值，即n有最小值；∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，即n有最大值14．∴的取值范圍為．（3）解：∵直線與y軸交于點(diǎn)E，∴，∵，即得：，∴，∴，∴∴．設(shè)．①當(dāng)H在上方，∵，∴，∴，即F是的中點(diǎn)，∴，解得：，∴；②當(dāng)H在下方，∵，∴，∴，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖，即C是的中點(diǎn)，∴，解得：，∴．∵，∴設(shè)點(diǎn)，由為的中點(diǎn),∴，解得：,∴；綜上，點(diǎn)H的坐標(biāo)為或．（4）解：存在一點(diǎn)Q使存在以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：∵,,∴，①當(dāng)為菱形一邊時，則，∴,即，②當(dāng)為菱形對角線時，則，設(shè)，，∵，∴，解得：，∴，∴．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與面積的綜合、二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合等知識點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．題型十一拋物線的平移變換例11（2023春·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校佄锞€向下平移2個單位，所得拋物線頂點(diǎn)一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合的取值范圍判斷新拋物線的頂點(diǎn)所在的象限即可．【詳解】解：∵，∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是，將其向下平移2個單位，得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵，∴，則，，∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是一定在第一象限，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023春·廣東云浮·九年級?？计谥校┤魭佄锞€可由拋物線平移得到，則下列平移方式正確的是（）A．先向右平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度B．先向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度C．先向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度D．先向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度【答案】C【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移4個單位可得到拋物線，拋物線，再向上平移3個單位即可得到拋物線．故平移過程為：先向左平移4個單位，再向上平移3個單位．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．舉一反三2（2023秋·云南昆明·九年級昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？计谥校佄锞€沿直角坐標(biāo)平面先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線的解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線解析式為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象的平移法則是解題的關(guān)鍵．題型十二利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)值的大小例12（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）已知拋物線，點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，若，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法比較【答案】B【分析】先求出拋物線的對稱軸為直線，得出，得出拋物線開口向下，則拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越近，對應(yīng)的函數(shù)值越大，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向下，拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越近，對應(yīng)的函數(shù)值越大，∵點(diǎn)到對稱軸的距離為，點(diǎn)到對稱軸的距離為，又∵，∴點(diǎn)到對稱軸的距離近．∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的對稱軸，熟練掌握拋物線開口向下，拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越近，對應(yīng)的函數(shù)值越大．舉一反三1（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（是常數(shù)）上，若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，有最大值為，對稱軸為直線，根據(jù)，，設(shè)的對稱點(diǎn)為，得出，則在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，則當(dāng)時，．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時，有最大值為，∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線，設(shè)的對稱點(diǎn)為，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)，拋物線開口向下；對稱軸為直線，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減?。e一反三2（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（是常數(shù)）上，若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，有最大值為，對稱軸為直線，根據(jù)，，設(shè)的對稱點(diǎn)為，得出，則在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，則當(dāng)時，．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時，有最大值為，∴拋物線開口向下，∵拋物線對稱軸為直線，設(shè)的對稱點(diǎn)為，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)，拋物線開口向下；對稱軸為直線，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減?。}型十三動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象例13（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形是邊長為6，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，兩點(diǎn)均到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間是，的面積是，則能正確反應(yīng)關(guān)于的函數(shù)圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】首先根據(jù)正方形的邊長與動點(diǎn)M、N的速度可知動點(diǎn)始終在邊上，而動點(diǎn)M可以在邊、邊、邊上，再分三種情況進(jìn)行討論；；，分別得出關(guān)于的函數(shù)解析式，即可解答．【詳解】由題意可得，，①時，M在邊上，，則的面積是，即，②時，M在邊上，則的面積是，即，③時，M在邊上，，則的面積是，即，綜上所述，關(guān)于的函數(shù)解析式是，由此可得到關(guān)于的函數(shù)圖象是

．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖像的判斷，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，涉及到有關(guān)動點(diǎn)的問題時，需要分類討論．舉一反三1（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)E是線段上的動點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，M為的中點(diǎn)，且，則線段的最小值是(

)

A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】取的中點(diǎn)N，連接交于P，正方形的邊長為，利用中位線定理求出，利用四邊形是矩形求出EP，繼而求出，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求的最小值，從而得到的最小值．【詳解】解：取的中點(diǎn)N，連接交于P，設(shè)正方形的邊長為，即，

∵N是的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，，∴，，∴又∵四邊形是正方形，∴四邊形是矩形，，，∴∵，∴∴當(dāng)時，，即故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）題目：“如圖，拋物線與直線相交于點(diǎn)和點(diǎn)．點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移3個單位長度得到點(diǎn)，若線段與拋物線只有一個公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，則正確的是（

）

A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)在線段上時，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，分類求解確定的位置，進(jìn)而求解．【詳解】解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得，拋物線的解析式為，直線的解析式為，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，線段與拋物線只有一個公共點(diǎn)，，的距離為3，而A，B的水平距離是3，故此時只有一個交點(diǎn)，即，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，當(dāng)時，拋物線和交于拋物線的頂點(diǎn)，即時，線段與拋物線只有一個公共點(diǎn)，綜上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，分類求解確定位置是解題的關(guān)鍵．題型十四二次函數(shù)面積問題例14（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線運(yùn)動到頂點(diǎn)后，再沿對稱軸l向下運(yùn)動，給出下列說法：①：②拋物線的對稱軸為；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長取最小值時，；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到頂點(diǎn)的過程中，當(dāng)時，的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法即可求得，即可判斷①；求得A、B的坐標(biāo)，利用拋物線的對稱性求得對稱軸，即可判斷②；利用拋物線的對稱性、兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)P為直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時，點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長取最小值，求得直線的解析式，進(jìn)一步求得n的值，即可判斷③；作軸，交與點(diǎn)Q，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，故①說法正確；令，則，解得或1，∴拋物線拋物線與x軸的交點(diǎn)為，，∴拋物線的對稱軸為，故②說法正確；連接，交對稱軸為P，此時，，∵是定值，∴此時點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長最小，∵，，∴直線為，當(dāng)時，，∴，∴n=2，故③說法錯誤；作軸，交與點(diǎn)Q，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，把代入直線的解析式得，∴，∴，∴時，的面積最大，故④說法正確．綜上，正確的有①②④．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，根據(jù)題意求得A、B的坐標(biāo)和對稱軸是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？计谀┰谥?，邊的長與邊上的高的和為8，當(dāng)面積最大時，則其周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則高為，設(shè)面積為S，則，找到面積最大時的值，過A作直線l，作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)E，連接CE交l于點(diǎn)F，則A在F處時，的周長最小，計(jì)算可以解題．【詳解】設(shè)，則高為，設(shè)面積為S，的面積最大，，即，過A作直線l，作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)E，連接交l于點(diǎn)G，連接CE交l于點(diǎn)F，則A在F處時，的周長最小，，，，的周長最小值為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題，軸對稱的應(yīng)用，是一道二次函數(shù)的綜合題，正確運(yùn)用軸對稱是解題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，在?ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)在?ABCD的邊上，從點(diǎn)A同時出發(fā)，分別沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止，線段EF掃過區(qū)域的面積記為y，運(yùn)動時間記為x，能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三種情況討論，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：當(dāng)0≤x≤1時，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，圖象是一段開口向上的拋物線；當(dāng)1<x<2時，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF=x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，圖象是一條線段；當(dāng)2≤x≤3時，過點(diǎn)E作EI⊥CD于點(diǎn)I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y=AB×DH-CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，圖象是一段開口向下的拋物線；觀察四個選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用分類討論的思想求動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；也考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象．題型十五二次函數(shù)幾何存在性問題例15（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線恰好經(jīng)過，，與軸交于另一點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或或或【分析】（1）用待定系數(shù)法解答即可；（2）先求出直線的解析式和的長，再分當(dāng)邊在下方時和當(dāng)邊在上方時，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分三種情況討論即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將，代入得：

解得：，該拋物線的解析式為；（2）由（1）知，，，如下圖，設(shè)交x軸于點(diǎn)，所在直線解析為，

將，代入得：，解得：，所在直線解析為，當(dāng)時，有，解得：，，，如圖，當(dāng)邊在下方時，，連接并延長交y軸于點(diǎn)，，，，，，由題知：，，，，同理可求所在直線解析式為，時，解得：，（舍去），把代入得，，此時；當(dāng)邊在上方時，，則，設(shè)此時所在直線解析式為，過點(diǎn)，代入可得此時所在直線解析式為，當(dāng)時，，（舍去）把代入得，此時，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）由（2）可得二次函數(shù)的對稱軸為：，所在直線解析為，，，如下圖，

①當(dāng)為等腰三角形的腰，為頂角時，，，；②當(dāng)為等腰三角形的腰，和為頂角時，或，或；③為等腰三角形的底邊時，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)F作直線的垂直平分線，交直線與點(diǎn)，設(shè)的垂直平分線的解析式為，，，將代入得，解得：，即，當(dāng)時，，，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)，三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．舉一反三1（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線交于E點(diǎn)，當(dāng)最長時求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)拋物線頂點(diǎn)為M，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請求出N點(diǎn)坐標(biāo)并在備用圖中畫出圖形；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，，，見解析【詳解】（1）解：在中，令，得，解得：，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得，解得：，；（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

，，當(dāng)時，取得最大值，此時，；（3），拋物線頂點(diǎn)為，如圖2，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，設(shè)，分三種情況：

①為對角線時，的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，解得：，，，②為對角線時，的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，解得：，，，③為對角線時，的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，解得：，，，綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，要分情況討論求解，以防遺漏．舉一反三2（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．∵，∴．令中，則，解得或，∴，設(shè)直線為，∵過點(diǎn)，，，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：．設(shè)，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如下圖，連接，，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形．∴，∵，，，∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．如下圖，連接，，，同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．題型十六二次函數(shù)定義新運(yùn)算例16（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線和直線，我們定義新函數(shù)M，若，則；若，則；若，則．下列結(jié)論：①無論k為何值，拋物線與直線總有交點(diǎn)；②若，則當(dāng)時，M有最小值3；③若當(dāng)時，M的值隨x的值增大而增大，則；④當(dāng)時，方程有三個不等實(shí)根．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號）【答案】①②③【分析】①令,再根據(jù)判別式進(jìn)行判斷即可．②在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像，可確定時函數(shù)M的圖像，根據(jù)圖像可求出時，M的最小值．②在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像，根據(jù)圖像可確定k不同取值的情況下M的圖像，根據(jù)圖像可判斷M的增減性，以此反過來確定k的取值即可．④在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像，可確定函數(shù)M的圖像，M的圖像與這條直線交點(diǎn)的個數(shù)即為的實(shí)數(shù)根的個數(shù)．【詳解】解：①令，則有：．整理得：．∵，∴無論k為何值，拋物線與直線總有交點(diǎn)．故①正確．②當(dāng)時，，在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像如下：

由題中M的定義可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)圖像可知，當(dāng)時，M最小值為3．故②正確．③在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像如下：

由圖可知，當(dāng)時，若，M的值隨x的值增大而增大，若，M的值隨x的增大先增大再減小再增大，若，M的值隨x的值增大而增大，∴當(dāng)時，M的值隨x的值增大而增大，則．故③正確．④在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖像如下：

由圖像可以發(fā)現(xiàn)，M的圖像與這條直線只要兩個交點(diǎn)，∴當(dāng)時，方程有兩個不等的實(shí)根，故④不正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖像確定新函數(shù)M的圖像是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；③拋物線上存在兩個點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證即可；②點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義可得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，把代入化簡并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．【詳解】解：①∵，，∴，∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；∵，，∴，∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故①正確，符合題意；②設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，解得：，∴，故②不正確，不符合題意；③設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，整理得：，∵，∴方程有兩個不相等實(shí)根，即拋物線上存在兩個點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故③正確，符合題意；④設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值為，∴的最小值是，故④正確，符合題意；綜上：正確的有①③④，共3個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解．舉一反三2（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？级＃┒x：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最小值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】A【分析】分兩種情況討論：當(dāng)，即時，當(dāng)，即或時，并結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：當(dāng)，即時，，∵，∴當(dāng)時，該函數(shù)的值最小，最小值為；當(dāng)，即即或時，，∵，∴拋物線開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵，∴當(dāng)時，該函數(shù)的值最小，最小值為；綜上所述，該函數(shù)的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．單選題已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將函數(shù)表達(dá)式寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)開口方向和對稱軸即可判斷．【詳解】解：∵∵開口向上，對稱軸為x=1，∴x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較簡單，需要熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．已知拋物線的對稱軸為直線，則關(guān)于x的方程的根是（

）A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為直線可求出m的值，然后解方程即可．【詳解】拋物線的對稱軸為直線，，解得，關(guān)于x的方程為，，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線的對稱軸為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】C【分析】由圖像可知，拋物線開口向上，因此a＞0．由圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上得c＜0．根據(jù)圖像可知，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大．【詳解】拋物線開口向上，因此a＞0，故A選項(xiàng)不符合題意．拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，因此c＜0，故B選項(xiàng)不符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，故D選項(xiàng)不符合題意．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一對點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則稱這兩個函數(shù)互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，這對對稱的點(diǎn)稱為“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如：點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時函數(shù)和互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，點(diǎn)與點(diǎn)則為一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知函數(shù)和互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則n不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)在，則在上，得出，求得最大值為，即可求解．【詳解】解：設(shè)在，則在上，∴∴∴當(dāng)時，的最大值為,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．填空題1．（2023秋·四川南充·九年級四川省南充高級中學(xué)?？计谀┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為．【答案】/【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若；若，即可求解．【詳解】解：，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，若，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，此時當(dāng)時，函數(shù)值y最小，最小值為，不合題意，若，當(dāng)時，函數(shù)值y最小，最小值為1，∴，解得：或（舍去）；綜上所述，a的值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東揭陽·?？家荒＃┌褣佄锞€向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為．【答案】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：，即：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．3．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)到軸的距離小于2，則的取值范圍