2024-2025學年八年級數(shù)學上學期期中核心考點專題02三角形的高中線角平分線含解析新人教版

PAGEPAGE1專題02三角形的高、中線、角平分線重點突破學問點一三角形的高概念：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。學問點二三角形的中線概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形三條中線的交于一點，這一點叫做“三角形的重心”。重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。（選學）三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形。學問點三三角形的角平分線概念：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。考查題型考查題型一畫三角形的高典例1（2024·泉州市期中）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】經(jīng)過一個頂點作對邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高，依據(jù)概念即可得出.【詳解】依據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是作AB邊上的高，D是作AC邊上的高.故選A.變式1-1．（2024·梁平區(qū)期末）在數(shù)學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數(shù)一數(shù)，錯誤的個數(shù)為()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】試題解析：從左向右第一個圖形中，BE不是線段，故錯誤；其次個圖形中，BE不垂直AC，所以錯誤；第三個圖形中，是過點E作的AC的垂線，所以錯誤；第四個圖形中，過點C作的BE的垂線，也錯誤.故選D.變式1-2．（2024·海淀區(qū)期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正確的是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】詳解：三角形的高必需是從三角形的一個頂點向?qū)吇驅(qū)叺难娱L線作的垂線段.可以推斷A,B,C雖然都是從三角形的一個頂點動身的，但是沒有垂直對邊或?qū)叺难娱L線.故選D.變式1-3．（2024·蘇州市期中）如圖，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為點D、點E、點F，△ABC中AC邊上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】試題提示：依據(jù)圖形，BE是△ABC中AC邊上的高．故選B．變式1-4．（2024·杭州市期中）如圖AD⊥BC于點D，那么圖中以AD為高的三角形的個數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】結(jié)合三角形高的定義可知，以AD為高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6個.故選D考查題型二與三角形高有關的計算典例2．（2024·濟南市期中）如圖，在直角三角形ABC中，點B沿CB所在直線遠離C點移動，下列說法錯誤的是()A．三角形面積隨之增大 B．∠CAB的度數(shù)隨之增大C．BC邊上的高隨之增大 D．邊AB的長度隨之增大【答案】C【提示】依據(jù)三角形的面積公式、角和線段大小的比較以及三角形高的定義進行解答即可．【詳解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC?AC，點B沿CB所在直線遠離C點移動時BC增大，則該三角形的面積越大．故A正確；B、如圖，隨著點B的移動，∠CAB的度數(shù)隨之增大．故B正確；C、BC邊上的高是AC，線段AC的長度是不變的．故C錯誤．D、如圖，隨著點B的移動，邊AB的長度隨之增大．故D正確；故選：C．【名師點撥】本題考查了三角形的面積，角和線段大小的比較以及三角形高的定義，解題時要留意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學思想的應用．變式2-1．（2024·畢節(jié)市期末）如圖，△ABC中，D，E分別是BC上兩點，且BD=DE=EC，則圖中面積相等的三角形有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】A【提示】依據(jù)三角形的面積公式，知：只要同底等高，則兩個三角形的面積相等，據(jù)此可得面積相等的三角形．【詳解】由已知條件，得△ABD，△ADE，△ACE，3個三角形的面積都相等，組成了3對，還有△ABE和△ACD的面積相等，共4對.故選A.【名師點撥】本題考查了三角形的相關學問，解題的關鍵是嫻熟的駕馭三角形面積公式與運用.變式2-2．（2024·龍巖市期中）如圖，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD=10，CE=9，AB=12，則BC的長是（）A．10 B．10.8 C．12 D．15【答案】B【解析】∵AD，CE是△ABC的兩條高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC的面積=×12×9=BC?AD=54，即12BC?10=54，解得BC=10.8.故選B.變式2-3．（2024·合肥市期中）如圖所示，是的三條高，，則（）A． B． C． D．【答案】C【提示】依據(jù)三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：因為AD、CE、BF是△ABC的三條高，，所以可得：BC?AD=AB?CE，可得：CE=＝＝．故選C．【名師點撥】此題考查三角形的面積，關鍵是依據(jù)同一三角形面積相等來提示．變式2-4．（2024·煙臺市期末）如圖，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A=50°，則∠BPC等于（）A．90° B．130° C．270° D．315°【答案】B【詳解】依據(jù)∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，依據(jù)CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，則∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，則∠BPC=180°－50°=130°.故選：B.變式2-5．（2024·荊門市期末）如圖，三角形ABC，∠BAC=，AD是三角形ABC的高，圖中相等的是（）．A．∠B=∠C B．∠BAD=∠B C．∠C=∠BAD D．∠DAC=∠C【答案】C【提示】依據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠B+∠C=，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC=，再運用三角形內(nèi)角和定理依次推斷即可.【詳解】∵∠BAC=，∴∠B+∠C=，故選項A錯誤；∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA=，∴∠BAD+∠B=，故選項B錯誤；∵∠BAC=，∴∠BAD+∠DAC=，又∵∠ADC=，∴∠DAC+∠C=，∴∠C=∠BAD，故選項C正確，選項D錯誤.故選C.【名師點撥】本題考查了三角形的高線以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎題型.變式2-6．（2024·濟南市期中）如圖△ABC中，分別延長邊AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面積為1，則△DEF的面積為()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】連接AE和CD，要求三角形DEF的面積，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）來分別計算，三角形ABC是一個重要的條件，抓住圖形中與它同高的三角形進行提示計算，即可解得△DEF的面積．【詳解】解：連接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，則S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故選：D．【名師點撥】本題考查三角形面積及等積變換的學問，留意高相等時三角形的面積與底成正比的關系，并在實際問題中的敏捷應用，有肯定難度．考查題型三三角形中線有關的長度計算典例3．（2024·秦皇島市期中）如圖，AE是的中線，已知，，則BD的長為A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】試題解析：∵AE是△ABC的中線，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故選A．變式3-1．（2024·肇慶市期中）已知AD是△ABC的中線，且△ABD比△ACD的周長大3cm，則AB與AC的差為()A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【提示】依據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后依據(jù)三角形的周長公式列式計算即可得解．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，∴△ABD與△ACD的周長之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，∵△ABD比△ACD的周長大3cm，∴AB與AC的差為3cm．故選B．【名師點撥】本題考查了三角形的中線，熟記概念并求出兩三角形周長的差等于AB-AC是解題的關鍵．變式3-2．（2024·哈爾濱市期中）如圖，三角形ABC中，D為BC上的一點，且S△ABD=S△ADC，則AD為（）A．高 B．角平分線 C．中線 D．不能確定【答案】C【解析】解：設BC邊上的高為h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中線．故選C．變式3-3．（2024·臨清市期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為13cm，那么AC的長為（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】依據(jù)中線的定義知CD=BD．結(jié)合三角形周長公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的長度．【詳解】∵AD是BC邊上的中線，∴D為BC的中點，CD=BD．∵△ADC的周長-△ABD的周長=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的長度是9cm．故選B.【名師點撥】本題考查了三角形的中線，依據(jù)周長的差表示出AC-AB=5cm，是解題的關鍵．考查題型四三角形中線有關的面積計算典例4．（2024·渠縣期中）如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點，且△ABC的面積為4cm2，則△BEF的面積等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．0．5cm2 D．0．25cm2【答案】B【提示】依據(jù)三角形的面積公式及點D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點，推出從而求得△BEF的面積．【詳解】解：∵點D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點，∵△ABC的面積是4，∴S△BEF=1．故選：B【名師點撥】本題主要考查了與三角形的中線有關的三角形面積問題，關鍵是依據(jù)三角形的面積公式S=×底×高，得出等底同高的兩個三角形的面積相等．變式4-1．（2024·鄂爾多斯市期中）如圖，△ABC的面積為12cm2，點D在BC邊上，E是AD的中點，則△BCE的面積是（）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．6cm2【答案】B【解析】∵E是AD的中點，∴S△BDE=S△ABD，S△DEC=S△ADC，∴△BCE的面積=S△BDE+S△DEC=×（S△ABD+S△ADC）=×△ABC的面積=6，故選B．名師點撥：本題考查的是三角形的面積的計算，駕馭三角形的一條中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．變式4-2．（2024·滄州市期末）如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點，若S陰影的面積為3，則△ABC的面積是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【提示】利用三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分，，再得到，所以即可得出.【詳解】∵D為BC的中點∴，∴∴+=+=∴==×3=8故選：D【名師點撥】三角形的中線將三角形分成兩個面積相等的三角形，依據(jù)中線找出圖中三角形的面積關系是解決本題的關鍵.變式4-3．（2024·溫州市期中）如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一點，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點，連結(jié)CE，CF，若S△CEF＝5，則△ABC的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【提示】依據(jù)題意，利用中線分的三角形的兩個圖形面積相等，便可找到答案【詳解】解：依據(jù)等底同高的三角形面積相等，可得∵F是BE的中點，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中點，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故選：B．【名師點撥】熟識三角形中線的拓展性質(zhì)：分其兩個三角形的面積是相等的，這樣便可在實際問題當中家以應用.考查題型五三角形重心的有關性質(zhì)典例5．（2024·北京市期中）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質(zhì)地勻稱的三角形卡片，則他支起的這個點應是三角形的（）A．三邊高的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三邊中線的交點【答案】D【提示】依據(jù)題意得：支撐點應是三角形的重心．依據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點．【詳解】解：∵支撐點應是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三邊中線的交點，故選D．【名師點撥】考查了三角形的重心的概念和性質(zhì)．留意數(shù)學學問在實際生活中的運用．變式5-1．（2024·泉州市期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，AD和BE相交于點G，若AD=6，則AG的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】依據(jù)D、E分別是邊BC，AC的中點，AD、BF相交于G，即可得出G為三角形的重心，利用重心的性質(zhì)得出AG的長即可.【詳解】∵D、E分別是邊BC，AC的中點，AD、BF相交于G∴G為△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故選C.【名師點撥】本題考查的是三角形的重心性質(zhì)，能夠推斷出點G是三角形的重心是解題的關鍵.考查題型六三角形的角平分線典例6．（2024·濱州市期末）如圖，△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59° B．60° C．56° D．22°【答案】A【詳解】依據(jù)題意可得，在△ABC中，，則，又AD為△ABC的角平分線，又在△AEF中，BE為△ABC的高∴變式6-1．（2024·寧德市期末）如圖，已知AE是ΔABC的角平分線，AD是BC邊上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，則∠DAE的大小是（）A．5° B．13° C．15° D．20°【答案】C【提示】由三角形的內(nèi)角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分線，可求∠BAE=41°，再由AD是BC邊上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，問題得解．【詳解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°?∠B?∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°?∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD?∠BAE=15°.【名師點撥】在本題中，我們須要留意到已知條件中已經(jīng)告知三角形的兩個角，所以利用內(nèi)角和定理可以求出第三個角，再有已知條件中提到角平分線和高線，所以我們可以利用角平分線和高線的性質(zhì)計算出相關角，從而利用角的和差求解，在做幾何證明題時需留意已知條件衍生的結(jié)論.變式6-2．（2024·信陽市期中）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點E，△ABC的面積為7，AB=4，DE=2，則AC的長是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故選B.變式6-3．（2024·合肥市期中）如圖所示，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=76°，∠C=36°，則∠DAE等于（）A．20° B．18° C．45° D．30°【答案】A【提示】依據(jù)高線的定義以及角平分線的定義分別得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，進而得出∠DAE的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】∵AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54