4.2.3二項分布與超幾何分布課件高二上學期數(shù)學人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計4.2.3二項分布與超幾何分布人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.理解n次獨立重復試驗的模型,掌握二項分布,并能利用它們解決一些簡單的實際問題.2.理解超幾何分布的意義,能夠利用超幾何分布的概率公式解決實際問題.3.通過本節(jié)的學習,體會模型化思想在解決問題中的作用,感受概率在生活中的作用,提高數(shù)學應用能力.基礎落實·必備知識全過關知識點一

n次獨立重復試驗與二項分布1.n次獨立重復試驗在相同條件下重復n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是相互獨立的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.2.二項分布一般地,如果一次伯努利試驗中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨立重復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=

,k=0,1,…,n.

因此X的分布列如下表所示.上述X的分布列第二行中的概率值都是二項展開式

中對應項的值,因此稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記作X~

.

B(n,p)名師點睛1.二項分布是n次獨立重復試驗在k取遍0,1,2,…,n各種情況下的一個分布列.2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次獨立重復試驗中,X卻是一個具體結果;注意掌握表示符號n,p的具體含義,并習慣用符號表示具體的分布列.3.兩點分布是二項分布在參數(shù)n=1時的特殊情況.過關自診1.設隨機變量X~B(6,),則P(X=3)等于(

)A2.某電子管的正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子管進行測試,那么在三次測試中恰有一次測到正品的概率是(

)C知識點二

超幾何分布1.定義一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=

,k=t,t+1,…,s,這里的X稱為服從參數(shù)N,n,M的超幾何分布,記作X~

.

H(N,n,M)2.超幾何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時X的分布列如下表所示.名師點睛判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應看三點:(1)總體是否可分為兩類明確的對象.(2)是否為不放回抽樣.(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).過關自診1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4個白球,5個紅球,從中任取3個球,則恰好取出2個紅球的概率是(

)C解析

設取出紅球的個數(shù)為X,則X~H(9,3,5),2.有8件產品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)等于(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一n次獨立重復試驗概率的求法【例1】

[人教A版教材例題]將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次,求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內的概率.解

設A=“正面朝上”,則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(10,0.5).(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5,于是(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內等價于4≤X≤6,于是規(guī)律方法

n次獨立重復試驗概率求法的三個步驟(1)判斷:依據n次獨立重復試驗的特征,判斷所給試驗是否為獨立重復試驗;(2)分拆:判斷所求事件是否需要拆分;(3)計算:就每個事件依據n次獨立重復試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計算.變式訓練1某籃球運動員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率為

;(2)至少有4次投中的概率為

;(3)至多有4次投中的概率為

.(結果保留三位小數(shù))

0.1360.9420.194解析

(1)某籃球運動員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,恰有4次投中的概率為(2)至少有4次投中的概率為(3)至多有4次投中的概率為探究點二二項分布【例2】

某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進行復審,若能通過復審則予以錄用,否則不予錄用.設應聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復審能通過的概率為,各專家評審的結果相互獨立.(1)求某應聘人員被錄用的概率;(2)若4人應聘,設X為被錄用的人數(shù),試求隨機變量X的分布列.解

設“兩位專家都同意通過”為事件A,“只有一位專家同意通過”為事件B,“通過復審”為事件C.(1)設“某應聘人員被錄用”為事件D,則D=A∪(BC),所以X的分布列為

規(guī)律方法

1.當X服從二項分布時,應弄清X~B(n,p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2.解決二項分布問題的關鍵對于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用,否則不能應用該公式.變式訓練2為增強學生體質,某學校組織體育社團,某班級有4人積極報名參加籃球和足球社團,每人只能從兩個社團中選擇其中一個社團,大家約定:每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個社團,擲出點數(shù)為5或6的人參加籃球社團,擲出點數(shù)小于5的人參加足球社團.(1)求這4人中恰有1人參加籃球社團的概率;(2)用ξ,η分別表示這4人中參加籃球社團和足球社團的人數(shù),記隨機變量X為ξ和η之差的絕對值,求隨機變量X的分布列.探究點三超幾何分布【例3】

老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學只能背誦其中的6篇,求:(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列;(2)他能及格的概率.規(guī)律方法

求超幾何分布列的步驟(1)驗證隨機變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n;(2)確定X的所有可能取值;(3)利用超幾何分布公式計算P(X=k);(4)寫出分布列(用表格或式子表示).變式訓練3在箱子中有10個小球,其中有3個紅球,3個白球,4個黑球.從這10個球中任取3個.求:(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列;(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率.

解

(1)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=3,n=3的超幾何分布,故X的分布列為

(2)設“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件A,“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件A1,“恰好取出2個紅球”為事件A2,“恰好取出3個紅球”為事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為

探究點四概率的綜合應用【例4】

甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示甲隊的總得分.(1)求隨機變量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,求P(AB).所以ξ的分布列為

(2)用C表示“甲隊得2分,乙隊得1分”這一事件,用D表示“甲隊得3分,乙隊得0分”這一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,變式探究

在本例條件下,試求事件“甲、乙兩隊總得分之和大于4”的概率.解

用E表示“甲、乙兩隊總得分之和大于4”這一事件,包括“總得分之和等于5”與“總得分之和等于6”.變式訓練4某學校為了解學生課后進行體育運動的情況,對該校學生進行簡單隨機抽樣,獲得20名學生一周進行體育運動的時間數(shù)據如表,其中運動時間在(7,11]的學生稱為運動達人.分組區(qū)間(單位:小時)(1,3](3,5](5,7](7,9](9,11]人數(shù)13475(1)從上述抽取的學生中任取2人,設X為運動達人的人數(shù),求X的分布列;(2)以頻率估計概率,從該校學生中任取2人,設Y為運動達人的人數(shù),求Y的分布列.成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎練1.[探究點二·2023吉林長春校級月考]下列例子中隨機變量ξ服從二項分布的個數(shù)為(

)①某同學投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)ξ;②某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)ξ;③從裝有5個紅球,5個白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球為止,摸到白球時的摸球次數(shù)ξ;④有一批產品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).A.0 B.1 C.2 D.3B123456789101112131415162.[探究點一]某學校成立了A,B,C三個課外學習小組,每位學生只能申請進入其中一個學習小組學習.申請其中任意一個學習小組是等可能的,則該校的任意4位學生中,恰有2人申請A學習小組的概率是(

)D解析

設每位學生申請課外學習小組為一次試驗,這是4次獨立重復試驗,記“申請A學習小組”為事件A,則P(A)=,由獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式可知,恰有2人申請A學習小組的概率是故選D.123456789101112131415163.[探究點四](多選題)某射手射擊1次,擊中目標的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次,且他各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.則下列四個選項中,正確的是(

)A.他第3次擊中目標的概率是0.9B.他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1C.他至少擊中目標1次的概率是1-0.14D.他恰好有連續(xù)2次擊中目標的概率為3×0.93×0.1AC123456789101112131415164.[探究點三·2023四川綿陽高二期中]在含有3件次品的10件產品中,任取4件,X表示取到的次品數(shù),則P(X=2)=

.

123456789101112131415165.[探究點二·人教A版教材習題]雞接種一種疫苗后,有80%不會感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗,求:(1)沒有雞感染病毒的概率;(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.解

設5只接種疫苗的雞中感染病毒的只數(shù)為X,則X~B(5,0.2).(1)P(X=0)=×0.85=0.327

68.(2)P(X=1)=×0.2×0.84=0.409

6.12345678910111213141516B級關鍵能力提升練6.已知某射擊運動員,每次擊中目標的概率都是0.8,則該射擊運動員射擊4次,至少擊中3次的概率為(

)A.0.85 B.0.8192B解析

因為某射擊運動員,每次擊中目標的概率都是0.8,則該射擊運動員射擊4次看作4次獨立重復試驗,則至少擊中3次的概率(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819

2.123456789101112131415167.(多選題)在4件產品中,有一等品2件,二等品1件(一等品與二等品都是正品),次品1件,現(xiàn)從中任取2件,則下列說法正確的是(

)BD123456789101112131415168.(多選題)某城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%,即平均每100個家庭有75個家庭擁有小汽車,若從該城鎮(zhèn)中任意選出5個家庭,則下列結論成立的是(

)ACD123456789101112131415169.(多選題)若隨機變量ξ~B(5,),則P(ξ=k)最大時,k的值可以為(

)A.1 B.2C.4 D.5AB1234567891011121314151610.(多選題)一袋中有6個大小相同的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球,則下列結論中正確的是(

)A.取出的最大號碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個白球的概率為D.若取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,則總得分最大的概率為BD1234567891011121314151611.數(shù)學老師從6道習題中隨機抽3道讓同學檢測,規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學只能求解其中的4道題,則他能及格的概率是

.

1234567891011121314151612.兩名學生一起去一家單位應聘,面試前單位負責人對他們說:“我們要從面試的人中招聘3人,你們倆同時被招聘進來的概率是

.”若每個參加面試的人被招聘的可能性相同,則根據這位負責人的話,可以推斷出參加面試的人數(shù)為

.

211234567891011121314151613.箱中裝有4個白球和m(m∈N+)個黑球.規(guī)定取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分,現(xiàn)從箱中任取3個球,假設每個球被取出的可能性都相等.記隨機變量X為取出的3個球所得分數(shù)之和.(1)若P(X=6)=,求m的值;(2)當m=3時,求X的分布列.

123456789101112131415161234567891011121314151614.[人教A版教材例題改編]一個袋子中有100個大小相同的球,其中有40個黃球、60個白球,從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).分別就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列.