84-第八章第四節(jié)(概率統(tǒng)計)

第八章假設檢驗*8.4總體分布假設檢驗的檢驗法2c

內容簡介:

給出關于總體的分布類型的假設檢驗方法,這是非參數(shù)假設檢驗問題.

這些方法在解決實際問題中首先得到使用.在確定了總體服從正態(tài)分布后，才可以利用先前學習的關于均值、方差的區(qū)間估計方法和假設檢驗方法.第八章假設檢驗

*8.4

總體分布假設檢驗的檢驗法2c8.4.1

問題提出 前面我們討論了當總體分布形式已知時,

對正態(tài)總體中未知參數(shù)的假設檢驗.

而當總體分布類型未知時,

則需要根據樣本觀察值對總體的分布進行推斷,

這就是總體分布的擬合優(yōu)度檢驗.

擬合檢驗法不止一種,

本書只介紹其中最常用的皮爾遜(Pearson)的檢驗法.皮爾遜資料8.4.2預備知識

假設檢驗,

檢驗法,頻數(shù),頻率,直方圖,上分位點

,最大似然估計.2c這里F0(x)是待接受的總體分布函數(shù),

現(xiàn)在已知,

但其中所含的參數(shù)可以未知.

關于分布函數(shù)F0(x)中的未知參數(shù),

可先利用最大似然法求出其估計值,

然后再接著進行總體分布的假設檢驗.(8.4.1)設總體X的分布函數(shù)F(x)未知,

為來自該總體的樣本.

檢驗假設:

8.4.3

方法研究

檢驗法2c總體分布假設檢驗的檢驗法2c若總體為離散型,

則需檢驗假設:H0:

總體X的分布律為

P{X=xi}=pi,

i=1,2,…

(pi已知).

(8.4.2)

若總體為連續(xù)型,

則待檢驗假設是

H0:

X的概率密度為f(x)

(f(x)已知).(8.4.3)至于概率密度f(x)或分布律的具體形式,

可由經驗或根據樣本的觀測值，利用直方圖來推測.

檢驗法的基本思想是:

將隨機試驗的可能結果的全體分為k個互不相容的事件,在成立的條件下計算

,

i=1,2,…,k.

在n次試驗中,事件出現(xiàn)的頻率(其中)與常有差異,

但由伯努利大數(shù)定律可知,

如果試驗次數(shù)很多,

在

成立的條件下,

的值應該比較小.

過大就應該拒絕H0

.

基于此,

皮爾遜選用檢驗統(tǒng)計量

(8.4.4)

并證明了如下定理.

定理若n充分大(一般要求n≥50),則當成立時,

不論總體X服從何種分布,

統(tǒng)計量(8.4.4)近似地服從自由度為k-r-1的分布.其中r是待檢驗分布中未知參數(shù)的個數(shù).

若,

則拒絕

,

否則,

接受

.在H0成立時,利用樣本數(shù)據可計算(8.4.4)中的觀測值,對于給定的顯著性水平

,查表得

注意：概率pi的確定：當待接受的總體分布律或概率密度已知時即可得到pi；當待接受的總體分布律或概率密度未知時，通過最大似然估計法計算得到pi.

檢驗法實施步驟是:

(1)

提出原假設:

(或:

服從某種分布);

(2)

將實數(shù)軸分為個不相交的區(qū)間其中可取至-∞,

可取至+∞,

一般取5≤k≤16;

(3)

計算觀測值頻數(shù),

即個樣本觀測值,

…,

中落入第i個區(qū)間(,

]中的個數(shù)

(i=1,2,…,k);(4)在成立的條件下,計算X落入各區(qū)間的概率,進而得到理論頻數(shù)(i=1,2,…,k);(5)將,

代入(8.4.4)求出的值;(6)查分布表得;(7)作出推斷結論:若,則拒絕,否則可接受.

應注意的是,

利用檢驗法時一般要求

≥5(i=1,2,…,k),

否則應適當?shù)貙⑾噜彽膮^(qū)間合并,

以滿足此要求.

例8.4.1

檢驗6.2節(jié)例6.2.3中刀具壽命是否服從正態(tài)分布?取顯著性水平=0.05.

解根據頻率直方圖的分布形狀,

我們可以推斷總體“可能服從正態(tài)分布”.

8.4.4方法應用

以隨機變量X表示刀具壽命,需要檢驗原假設待檢驗正態(tài)總體中的兩個參數(shù)μ與

都是未知的,我們先用最大似然法求其估計值:將例6.2.3中的樣本觀測值代入上述公式,

計算得到所以，現(xiàn)在需要檢驗假設將實數(shù)軸分為10個區(qū)間,

第一個區(qū)間是(-∞,

339.5],

最后一個區(qū)間為(363.5,+∞)

,

其它各區(qū)間保持不變

.

下面計算落入各區(qū)間的概率.i=1,2,…,10.類似地,

計算可得的

值.

結果見表8-1.

通用公式：具體計算各區(qū)間概率,得到：

表8-1

例8.4.1頻率,概率與統(tǒng)計量值組號區(qū)間nipinpi(ni-npi)2/npi12(-∞,339.5](339.5,342.5]0.01830.0460.02883(342.5,345.5]110.109310.930.00044(345.5,348.5]180.185818.580.01815(348.5,351.5]240.227722.770.06646(351.5,354.5]200.198119.810.00187(354.5,357.5]120.129512.950.06978910(357.5,360.5](360.5,363.5](363.5,+∞]0.05970.01970.00590.0259合計1000.2111

所以，接受

,

即認為刀具壽命服從正態(tài)分布

N(350.38,5.22).合并后區(qū)間個數(shù)k=7,

這里有兩個待估參數(shù),

故r=2.

對于α=0.05,

查表得因為講評(1)要解決的問題是“刀具壽命是否服從正態(tài)分布?”，提示我們應該進行總體分布類型的假設檢驗，人們常用“總體分布的假設檢驗法”.

(2)施行“總體分布的假設檢驗法”的

步驟，提示讀者分解劃分,

注意處理npi≥5和5≤k≤16.

(3)在理論上得到了可以接受的

結論“認為刀具壽命服從正態(tài)分布

N(350.38,5.22)”,我們就知道了正態(tài)總體的均值為350.38,其方差為5.22.

當然，也可以再對其進行假設檢驗，計算有關的估計可信度、估計的誤差精度等問題.

(4)由于接受了結論“認為刀具壽命

服從正態(tài)分布N(350.38,5.22)”,我們完全

可以進一步分析、討論和預測該正態(tài)總體的概率問題.

例如進一步結合第七章的區(qū)間估

計,結合第八章的假設檢驗,結合第九章的線性回歸分析等知識進行數(shù)據統(tǒng)計分析.8.4.5

內容小結

(1)關于總體分布類型或者分布表達式

的確定,

常用χ2檢驗法;

(2)χ2檢驗法與直方圖結合使用;

(3)F0(x)中可以含有待定參數(shù),用最大

似然法求得;

(4)注意處理npi≥5和5≤k≤16.

8.4.6

習題布置習題8.4:1、2

.參考文獻與聯(lián)系方式[1]鄭一,王玉敏,馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.大連理工大學出版社，2015年8月.[2]鄭一,戚云松,王玉敏.概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導書.大連理工大學出版社，2015年8月.[3]鄭一,戚云松,陳倩華,陳健.光盤：概率論與數(shù)理

統(tǒng)計教案作業(yè)與試卷及答案數(shù)學實驗視頻.大

連理工大學出版社，2015年8月.[4]王