河南省馬店市第二初級(jí)中學(xué)2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河南省駐馬店二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列四個(gè)命題中①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；③對(duì)角線相等的四邊形是矩形正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根為0，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．3．（3分）如圖，下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠B＝∠ADE C．∠C＝∠AED D．4．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形5．（3分）已知線段AB的長度為2，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC的長度為（）A． B． C．﹣1或3 D．或﹣26．（3分）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣8＝0的兩個(gè)根，則m2+3m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．127．（3分）若，則直線y＝kx+k的圖象必經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．以上均不正確8．（3分）在“文博會(huì)”期間，某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長60cm2，則絲綢花邊的寬為（）A．5cm或65cm B．10cm或5cm C．10cm D．5cm9．（3分）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長線于點(diǎn)G．若AF＝2，則MG＝（）A．2 B． C．+1 D．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空題（5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．12．（3分）某菱形的兩條對(duì)角線長分別是方程x2﹣8x+4＝0兩個(gè)根，則這個(gè)菱形的面積為．13．（3分）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測(cè)得AB＝1.6m，則樓高CD為m．14．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、BC上，且＝＝．15．（3分）矩形ABCD中，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長為．三.解答題（8個(gè)小題，共75分）16．（9分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）3（x﹣3）2＝12；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；（3）3x2﹣x﹣1＝0．17．（8分）我校開展“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有名；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法分析甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率．18．（8分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且．連接CE，OE（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若AD＝10，求OF的長．19．（10分）閱讀下列材料：換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣5）＝9，求x2+y2的值；（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．20．（9分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，BC，AC邊上，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC；（2）設(shè)．①若BC＝20，求線段BE的長；②若△EFC的面積是36，求△ABC的面積．21．（9分）為了滿足初中學(xué)業(yè)水平體育與健康考試的需求，某體育用品專賣店從廠家以單價(jià)40元進(jìn)購了一種排球，如果以單價(jià)60元出售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元（1）設(shè)銷售單價(jià)提高x元，則每個(gè)排球獲得的利潤是元；這種排球這個(gè)月的銷售量是個(gè)；（2）若該專賣店準(zhǔn)備在這種排球銷售上一月獲利10500元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？22．（10分）已知：如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，交AB于點(diǎn)E，且CF＝AE．（1）的值為；（2）試判斷四邊形BECF的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，四邊形BECF是正方形？畫出草圖，并證明你的結(jié)論．23．（12分）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD＝．（3）【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．若，AB＝6

2023-2024學(xué)年河南省駐馬店二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列四個(gè)命題中①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；③對(duì)角線相等的四邊形是矩形正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【分析】根據(jù)平行四邊形、正方形、矩形、菱形的判定方法，針對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析，即可選出答案．【解答】解：①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；②一組鄰邊相等的矩形是正方形，是假命題；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，是假命題；④對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．本題關(guān)鍵是要熟練掌握平行四邊形、正方形、矩形、菱形的判定方法．2．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根為0，則m的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．【分析】根據(jù)一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根為0和一元二次方程的定義，可以求得m的值，本題得以解決．【解答】解：∵一元二次方程（m+2）x2+x+m4﹣4＝0有一根為5，∴，解得，m＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一元二次方程的解和定義求出m的值．3．（3分）如圖，下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠B＝∠ADE C．∠C＝∠AED D．【分析】本題中已知∠A是公共角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．【解答】解：由圖得：∠A＝∠A∴當(dāng)∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB時(shí)，△ABC與△ADE相似；也可AE：AD＝AC：AB．D選項(xiàng)中角A不是成比例的兩邊的夾角．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．4．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形【分析】根據(jù)矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的判定方法．5．（3分）已知線段AB的長度為2，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC的長度為（）A． B． C．﹣1或3 D．或﹣2【分析】分兩種情況討論：當(dāng)AC＞BC和AC＜BC兩種情況．【解答】解：∵線段AB＝2，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴當(dāng)AC＞BC時(shí)，AC＝＝﹣1，當(dāng)AC＜BC時(shí)，BC＝＝﹣1，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣．故答案為：﹣1或8﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，熟記黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．6．（3分）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣8＝0的兩個(gè)根，則m2+3m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【分析】由韋達(dá)定理和方程的解的定義得出m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，代入原式＝m2+2m+m+n計(jì)算可得．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的兩個(gè)根，∴m+n＝﹣2，m4+2m﹣8＝5，即m2+2m＝7，則原式＝m2+2m+m+n＝2﹣2＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均為常數(shù)且a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．7．（3分）若，則直線y＝kx+k的圖象必經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．以上均不正確【分析】分類討論：當(dāng)a+b+c＝0，則可得k＝﹣1，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷直線y＝﹣x﹣1的圖象經(jīng)過的象限；當(dāng)a+b+c≠0，利用比例的性質(zhì)可得k＝2，則可判斷直線y＝2x+2的圖象經(jīng)過的象限，最后綜合判斷必經(jīng)過的象限．【解答】解：當(dāng)a+b+c＝0，則有a+b＝﹣c＝＝﹣1，∴直線y＝kx+k變?yōu)閥＝﹣x﹣2，它經(jīng)過第二，三；當(dāng)a+b+c≠0，所以k＝＝＝＝，∴直線y＝kx+k變?yōu)閥＝8x+2，它經(jīng)過第一，二；綜上所述，所以直線y＝kx+k的圖象必經(jīng)過第二．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的性質(zhì)．它的圖象為直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一，三象限，y隨x的增大而大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二，四象限，y隨x的增大而減??；當(dāng)b＞0，直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方；當(dāng)b＝0，直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)b＜0，直線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方．同時(shí)考查了比例的性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．8．（3分）在“文博會(huì)”期間，某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長60cm2，則絲綢花邊的寬為（）A．5cm或65cm B．10cm或5cm C．10cm D．5cm【分析】設(shè)絲綢花邊的寬為xcm，根據(jù)絲綢花邊的面積為650cm2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)絲綢花邊的寬為xcm，根據(jù)題意得：（60+40×2）x﹣2x3＝650，整理得：x2﹣70x+325＝0，解得：x8＝5，x2＝65（不符合題意，舍去），∴絲綢花邊的寬為2cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長線于點(diǎn)G．若AF＝2，則MG＝（）A．2 B． C．+1 D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定結(jié)合正方形的性質(zhì)證得△AEF∽△ACB，求得AC＝3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AE＝2，CE＝，證得△ADE∽△CME，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CM＝＝BM，證得△CDM≌△BGM，求出BG，根據(jù)勾股定理即可求出MG．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AF＝2，∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴AC＝＝3，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴EF＝2，∴AE＝＝2，∴CE＝AC﹣AE＝，∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴＝，∴＝＝2，∴CM＝＝BM，在△CDM和△BGM中，，∴△CDM≌△BGM（SAS），∴CD＝BG＝3，∴MG＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；通過證明△BDE∽△DPE，可得∠EPD＝∠BDE＝45°，可求∠DPF＝∠BHP＝105°，可證△BHP∽△DPF，故④正確；由相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，故③錯(cuò)誤，根據(jù)∠BPC＝∠EPF＝60°，得∠ABE＝30°，△BPC是等邊三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE＝2AE②正確；即可求解．【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等邊三角形，∴PE＝PF，∴CP+PF＝CP+PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正確；∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正確；∴，∴＝，∵∠DCF＝30°，∴DC＝DF，∴＝，∴＝＝，故③錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．二.填空題（5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＞﹣1且k≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴k≠0且Δ＞8，即（﹣2）2﹣5×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣5且k≠0．∴k的取值范圍為k＞﹣1且k≠3，故答案為：k＞﹣1且k≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．12．（3分）某菱形的兩條對(duì)角線長分別是方程x2﹣8x+4＝0兩個(gè)根，則這個(gè)菱形的面積為2．【分析】設(shè)菱形的對(duì)角線長為a、b，先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到ab＝4，再根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半求解即可．【解答】解：設(shè)菱形的對(duì)角線長為a、b，∵菱形的兩條對(duì)角線長分別是方程x2﹣8x+2＝0兩個(gè)根，且Δ＝（﹣8）5﹣4×1×7＝48＞0，∴ab＝4，∴這個(gè)菱形的面積為．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、菱形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1、x2，則，x1x2＝．13．（3分）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測(cè)得AB＝1.6m，則樓高CD為10.5m．【分析】先證明△ABE∽△ACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得＝，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案為10.7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．14．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、BC上，且＝＝．【分析】先由＝＝，設(shè)AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，證明＝，又∠B＝∠B，可證明△DBE∽△ABC．進(jìn)而可得相似比為，面積比＝＝，從而可得S△DBE：S四邊形ADEC＝4：21．【解答】解：∵＝＝，則設(shè)AD＝6m，CE＝3k，∴＝，＝，∴＝，又∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC．相似比為，面積比＝＝，設(shè)S△DBE＝4a，則S△ABC＝25a，∴S四邊形ADEC＝25a﹣7a＝21a，∴S△DBE：S四邊形ADEC＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△DBE∽△ABC得出相似比是解題的關(guān)鍵．15．（3分）矩形ABCD中，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長為2或1+．【分析】以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：如圖1，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，如圖2，當(dāng)∠NMD＝90°時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)①如圖1，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，則MN⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M(jìn)為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝7AN＝2；②如圖2，當(dāng)∠NMD＝90°時(shí)，則MN⊥BD，∵M(jìn)為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝8，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝8+，綜上所述，AD的長為2或8+．故答案為：2或5+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．三.解答題（8個(gè)小題，共75分）16．（9分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）3（x﹣3）2＝12；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；（3）3x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）先把方程變形為（x﹣3）2＝4，然后利用直接開平方法解方程；（2）先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2x﹣3＝0或2x﹣3﹣5＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可；（3）先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）3（x﹣3）3＝12，（x﹣3）2＝2，x﹣3＝±2，所以x6＝5，x2＝5；（2）（2x﹣3）8＝5（2x﹣7），（2x﹣3）4﹣5（2x﹣5）＝0，（2x﹣4）（2x﹣3﹣8）＝0，2x﹣5＝0或2x﹣2﹣5＝0，所以x2＝，x8＝4；（3）3x3﹣x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）3﹣4×3×（﹣4）＝1+12＝13＞0，∴x＝，∴，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接開平方法和公式法．17．（8分）我校開展“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有100名；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是18°；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法分析甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率．【分析】（1）用選擇“籃球”的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．（2）用選擇“排球”的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以360°即可．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷30%＝100（名）．故答案為：100．選擇“足球”的人數(shù)為35%×100＝35（名）．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為×360°＝18°．故答案為：18°．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，∴甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．18．（8分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且．連接CE，OE（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若AD＝10，求OF的長．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得OA＝OC＝AC，AC⊥BD，再證四邊形OCED是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）證四邊形OADE是平行四邊形的，得OE＝AD＝10，再由矩形的性質(zhì)得OF＝OE＝5即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∴∠COD＝90°，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）解：由（1）可知，OA＝DE，∵DE∥AC，∴四邊形OADE是平行四邊形，∴OE＝AD＝10，∵四邊形OCED是矩形，∴OF＝OE＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（10分）閱讀下列材料：換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣5）＝9，求x2+y2的值；（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．【分析】（1）設(shè)2x2+2y2＝t，則原方程變形為（t+3）（t﹣5）＝9，利用因式分解法解方程得到t1＝6，t2＝﹣4，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到2x2+2y2＝6，從而得到x2+y2的值；（2）由于（x+y）2＝x2+y2+2xy，則可利用整體代入的方法計(jì)算；利用完全平方公式得到（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后利用整體代入的方法計(jì)算，最后根據(jù)平方根的定義求解．【解答】解：（1）設(shè)2x2+5y2＝t，則原方程變形為（t+3）（t﹣2）＝9，整理，得t2﹣3t﹣24＝0，解得t1＝2，t2＝﹣4（舍去），∴7x2+2y4＝6，∴x2+y5＝3；（2）∵x2+y6＝3，xy＝1，∴（x+y）5＝x2+y2+6xy＝3+2＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y7﹣2xy＝3﹣4＝1，∴x﹣y＝±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程：把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．靈活運(yùn)用完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．20．（9分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，BC，AC邊上，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC；（2）設(shè)．①若BC＝20，求線段BE的長；②若△EFC的面積是36，求△ABC的面積．【分析】（1）由平行線性質(zhì)可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，則△BDE∽△EFC；（2）①由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例可得，故可求得BE＝；②證明△EFC∽△BAC，可得，從而可得S△ABC＝36÷＝81．【解答】（ 1）證明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C，又∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴，∵BC＝20，∴，∴BE＝．②∵，∴，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠C＝∠C．∴△EFC∽△BAC，∴，∵S△EFC＝36，∴S△ABC＝36÷＝81．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（9分）為了滿足初中學(xué)業(yè)水平體育與健康考試的需求，某體育用品專賣店從廠家以單價(jià)40元進(jìn)購了一種排球，如果以單價(jià)60元出售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元（1）設(shè)銷售單價(jià)提高x元，則每個(gè)排球獲得的利潤是（20+x）元；這種排球這個(gè)月的銷售量是（400﹣5x）個(gè)；（2）若該專賣店準(zhǔn)備在這種排球銷售上一月獲利10500元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？【分析】（1）利用每個(gè)排球獲得的利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，即可用含x的代數(shù)式表示出每個(gè)排球獲得的利潤；利用月銷售量＝400﹣5×銷售單價(jià)提高的價(jià)格，即可用含x的代數(shù)式表示出月銷售量；（2）利用月銷售總利潤＝每個(gè)排球的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結(jié)合要使顧客得到實(shí)惠，即可確定x的值，再將其代入（60+x）中即可求出售價(jià)．【解答】解：（1）依題意得：當(dāng)銷售單價(jià)提高x元時(shí)，每個(gè)排球獲得的利潤是60+x﹣40＝（20+x）元．故答案為：（20+x）；（400﹣5x）．（2）依題意得：（20+x）（400﹣5x）＝10500，整理得：x2﹣60x+500＝0，解得：x1＝10，x3＝50．又∵要使顧客得到實(shí)惠，∴x＝10，∴60+x＝60+10＝70．答：售價(jià)應(yīng)定為70元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出每個(gè)排球的銷售利潤及月銷售量；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．22．（10分）已知：如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，交AB于點(diǎn)E，且CF＝AE．（1）的